函数单调性讲义-2026届高三数学一轮复习（新高考）

全国新高考数学核心考点解读----函数单调性 一．考点解读 （一）．历年真题考查情况：函数单调性是全国新高考卷的核心考点之一，名为单调性但高考题可是一点也不单调，题目变化多端，很好的考查了学生的能力．从2020年开始年年考到了函数单调性.2020年全国新高考第8题和第11题、新高考卷第8题和第12题，2021年全国新高考第4题和第15题、新高考卷第7题，2022年全国新高考第7题、新高考卷第9题，2023年全国新高考第4题、新高考卷第6题，2024年全国新高考第6题和第8题，新高考卷第8题，2025年全国新高考第8题、新高考卷第10题. （二）．历年真题常考题型 题型一：单调性定义的应用 题型二：已知函数单调性求参数的值或取值范围 题型三：复合函数的单调性 题型四：分段函数单调性 题型五：利用函数单调性比较大小 题型六：利用函数单调性求最值 题型七：三角函数的单调性及其应用 题型八：单调性与奇偶性、周期性以及导数的综合应用 （3） 备考建议 预计函数的单调性在未来的全国卷中仍为核心考点，可以想象如果一份高考卷没有考查函数的单调性将会是一份没有灵魂的试卷 ！函数单调性可以在选择题和填空题中，也可以在解答题中作为工具进行考查．大家务必要深刻理解函数单调性的定义，掌握好函数单调性的本质，熟能生巧，万变不离其宗. 2． 真题再现 题型一：单调性定义的应用 例1．（多选）（2020年新高考全国Ⅰ卷数学第11题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ） A． B． C． D． 题型二：已知函数单调性求参数的值或取值范围 例2．（2023年新高考全国Ⅱ卷数学第6题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 题型三：复合函数的单调性 例3．（2020年新高考全国Ⅱ卷数学第7题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例4．（2023年新高考全国Ⅰ卷数学第6题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例5．（2020·全国·统考高考真题）设函数，则f(x)（    ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 题型四：分段函数单调性 例6．（2024年新高考全国Ⅰ卷数学第6题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五：利用函数单调性比较大小 例7．（2021年全国新高考II卷数学第7题）已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 例8．（2022年新高考全国I卷数学第7题）设，则（    ） A． B． C． D． 例9．（2025年新高考全国Ⅱ卷数学第10题）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 题型六：利用函数单调性求最值 例10．（2021年新高考全国Ⅰ卷数学第15题）函数的最小值为 . 题型七：三角函数的单调性及其应用 例11．（2021年新高考全国I卷数学第4题）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 例12．（多选）（2022年新高考全国II卷数学第8题）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 题型八：单调性与奇偶性、周期性以及导数的综合应用 例13．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学第8题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例14．（2024年新高考全国Ⅰ卷数学第8题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 例15．（2024年新高考全国Ⅱ卷数学第8题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 例16．（2025年新高考全国Ⅱ卷数学第10题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国新高考数学核心考点解读----函数单调性 一．考点解读 （一）．历年真题考查情况：函数单调性是全国新高考卷的核心考点之一，名为单调性但高考题可是一点也不单调，题目变化多端，很好的考查了学生的能力．从2020年开始年年考到了函数单调性.2020年全国新高考第8题和第11题、新高考卷第8题和第12题，2021年全国新高考第4题和第15题、新高考卷第7题，2022年全国新高考第7题、新高考卷第9题，2023年全国新高考第4题、新高考卷第6题，2024年全国新高考第6题和第8题，新高考卷第8题，2025年全国新高考第8题、新高考卷第10题. （二）．历年真题常考题型 题型一：单调性定义的应用 题型二：已知函数单调性求参数的值或取值范围 题型三：复合函数的单调性 题型四：分段函数单调性 题型五：利用函数单调性比较大小 题型六：利用函数单调性求最值 题型七：三角函数的单调性及其应用 题型八：单调性与奇偶性、周期性以及导数的综合应用 （3） 备考建议 预计函数的单调性在未来的全国卷中仍为核心考点，可以想象如果一份高考卷没有考查函数的单调性将会是一份没有灵魂的试卷 ！函数单调性可以在选择题和填空题中，也可以在解答题中作为工具进行考查．大家务必要深刻理解函数单调性的定义，掌握好函数单调性的本质，熟能生巧，万变不离其宗. 2． 真题再现 题型一：单调性定义的应用 例1．（多选）（2020年新高考全国Ⅰ卷数学第11题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ） A． B． C． D． 【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以由指数函数的单调性，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：ABD 题型二：已知函数单调性求参数的值或取值范围 例2．（2023年新高考全国Ⅱ卷数学第6题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 题型三：复合函数的单调性 例3．（2020年新高考全国Ⅱ卷数学第7题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可. 【详解】由得或 所以的定义域为 因为在上单调递增 所以在上单调递增 所以 故选：D 例4．（2023年新高考全国Ⅰ卷数学第6题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 例5．（2020·全国·统考高考真题）设函数，则f(x)（    ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果. 【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称， 又， 为定义域上的奇函数，可排除AC； 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，排除B； 当时，， 在上单调递减，在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确. 故选：D. 题型四：分段函数单调性 例6．（2024年新高考全国Ⅰ卷数学第6题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 题型五：利用函数单调性比较大小 例7．（2021年全国新高考II卷数学第7题）已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论. 【详解】，即. 故选：C. 例8．（2022年新高考全国I卷数学第7题）设，则（    ） A． B． C． D． 【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小. 【详解】方法一：构造法 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 方法二：比较法 解： ， ， ， ① ， 令 则 ， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ② ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 例9．（2025年新高考全国Ⅱ卷数学第10题）．若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【解析】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 题型六：利用函数单调性求最值 例10．（2021年新高考全国Ⅰ卷数学第15题）函数的最小值为 . 【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值. 【详解】由题设知：定义域为， ∴当时，，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递增； 又在各分段的界点处连续， ∴综上有：时，单调递减，时，单调递增； ∴ 故答案为：1. 题型七：三角函数的单调性及其应用 例11．（2021年新高考全国I卷数学第4题）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论. 【详解】因为函数的单调递增区间为， 对于函数，由， 解得， 取，可得函数的一个单调递增区间为， 则，，A选项满足条件，B不满足条件； 取，可得函数的一个单调递增区间为， 且，，CD选项均不满足条件. 故选：A. 例12．（多选）（2022年新高考全国II卷数学第8题）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出． 【详解】由题意得：，所以，， 即， 又，所以时，，故． 对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减； 对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点； 对C，当时，，，直线不是对称轴； 对D，由得：， 解得或, 从而得：或, 所以函数在点处的切线斜率为， 题型八：单调性与奇偶性、周期性以及导数的综合应用 例13．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学第8题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 例14．（2024年新高考全国Ⅰ卷数学第8题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 例15．（2024年新高考全国Ⅱ卷数学第8题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 例16．（2025年新高考全国Ⅱ卷数学第10题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 学科网（北京）股份有限公司 $$