第二十四章 圆 单元测试2024-2025学年人教版九年级数学上册

人教版九年级上册 第二十四章 圆 单元测试 一、选择题 1.AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，∠P＝40°，D为圆上一点，则∠D的度数为（　　） A.20° B.25° C.30° D.40° 2.AB＝12 cm，过A、B两点画半径为6 cm的圆，能画的圆的个数为（　　） A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 3.已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A.相交 B.相切 C.相离 D.平行 4.用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于45°”时，应假设这个直角三角形中（　　） A.有一个锐角小于45° B.两个锐角都小于45° C.两个锐角都大于45° D.有一个锐角大于45° 5.已知圆的直径是8 cm，圆心到直线的距离是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则直线与圆的位置关系是（　　） A.相切 B.相离 C.相交 D.不能确定 6.如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，若OA＝5，AB＝8，则CD的长为（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 7.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA＝5，则△PCD的周长和∠COD分别为（　　） A.5，（90°+∠P） B.7，90°+ C.10，90°﹣∠P D.10，90°+∠P 8.高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面宽AB＝8m，净高CD＝8m，则此圆的半径OA为（　　） A. B.5m C. D.6m 9.如图，在矩形ABCD中，BC＝8，以AB为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点B旋转，使所得矩形A'BC'D'的边C'D'与⊙O相切，切点为E，边A'B与⊙O相交于点F．若BF＝8，则CD长为（　　） A.9 B.10 C.8 D.12 10.如图，以AB为直径的⊙O与CD相切于点B，连结AC，AD，分别交⊙O于点E，F，连结OE，BF，记∠CAD＝α，∠D＝β，若OE∥BF，则α与β的关系式为（　　） A.α＝β B.α+β＝120° C.α+2β＝180° D.2α+β＝180° 11.如图，在△ABC中，∠B＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OA为半径作圆，⊙O恰好与BC相切于点D，连接AD．若AD平分∠CAB，，则线段AC的长是（　　） A.2 B. C. D. 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，平面上有一点P，AP＝1，连接AP，BP，取BP的中点G．连接CG，在AP绕点A的旋转过程中，则CG的最大值是（　　） A.3 B.4 C. D.2 二、填空题 13.用反证法证明命题“是无理数”时，应假设 　      　． 14.利用反证法证明“在△ABC中，∠C＞∠A，求证：AB＞BC”时，第一步应假设：　                 　． 15.用反证法证明“已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A≠45°．求证：AC≠BC”．第一步应先假设　       　． 16.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝40°，则∠D的度数为 　       　． 17.如图，正方形ABCD的边长为2，以A为圆心，AD长为半径画．以D为圆心，DA长为半径画，形成如图“杯子”样的阴影部分，则阴影部分的面积为 　　． 三、解答题 18.如图，△ABC中，∠ABC=75°，∠ACB=75°，点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数. 19.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的圆O分别交AB，AC于点E，F，连接EF．求证：BC是圆O的切线． 20.如图，AC是▱ABCD的对角线，∠BAD+∠ACB＝90°．O是BC垂直平分线与AC的交点，以点O为圆心，OC长为半径作⊙O．求证：AB为⊙O的切线． 21.如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接BC，CD，DA，OC． （1）证明：OC∥AD； （2）若AB＝10，，求AD长． 22.如图，AB是⊙O的直径，点C是直线AB上方的⊙O上一点．点M是△ABC的内心．连结AM，BM，CM，延长CM交⊙O于点D． （1）若AB＝10，AC＝6，求BC的长． （2）求∠AMB的度数． （3）当点C在直线AB上方的⊙O上运动时，求证：． 人教版九年级上册 第二十四章 圆 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，∠P＝40°，D为圆上一点，则∠D的度数为（　　） A.20° B.25° C.30° D.40° 【答案】B 【解析】如图，连接OC． ∵PC为⊙O的切线， ∴∠OCP＝90°， ∴∠COP+∠P＝90°， ∵∠P＝40°， ∴∠COP＝50°， ∴∠D＝25°， 故选：B． 2.AB＝12 cm，过A、B两点画半径为6 cm的圆，能画的圆的个数为（　　） A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 【答案】B 【解析】这样的圆能画1个．如图： 作AB的垂直平分线l，交AB于O点，然后以O为圆心，以6 cm为半径作圆， 则⊙O为所求． 3.已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A.相交 B.相切 C.相离 D.平行 【答案】C 【解析】解：∵x2﹣2x﹣3＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝3， ∵⊙O的半径为一元二次方程程x2﹣2x﹣3＝0的根， ∴r＝3， ∵d＞r， ∴直线l与⊙O的位置关系是相离， 故选：C． 4.用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于45°”时，应假设这个直角三角形中（　　） A.有一个锐角小于45° B.两个锐角都小于45° C.两个锐角都大于45° D.有一个锐角大于45° 【答案】B 【解析】解：至少有一个锐角不小于45°的反面是两个锐角都小于45° 故选：B． 5.已知圆的直径是8 cm，圆心到直线的距离是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则直线与圆的位置关系是（　　） A.相切 B.相离 C.相交 D.不能确定 【答案】A 【解析】∵x2﹣3x﹣4＝0， ∴（x﹣4）（x+1）＝0， 解得：x1＝4，x2＝﹣1（不合题意舍去）， ∵圆的直径是8 cm，即圆的半径为4 cm， ∴直线l与圆O的位置关系是相切， 故选：A． 6.如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，若OA＝5，AB＝8，则CD的长为（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】D 【解析】解：∵OC⊥AB， ∴AD＝BD＝AB＝4， 在Rt△OAD中，OD＝＝＝3， ∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2． 故选：D． 7.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA＝5，则△PCD的周长和∠COD分别为（　　） A.5，（90°+∠P） B.7，90°+ C.10，90°﹣∠P D.10，90°+∠P 【答案】C 【解析】∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E， ∴PA＝PB＝10，ED＝AD，CE＝BC， ∴△PCD的周长＝PD+DE+PC+CE＝2PA，即△PCD的周长＝2PA＝10； 如图，连接OA、OE、OB． 由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB＝DE，AC＝CE， ∵AO＝OE＝OB， 易证△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS）， ∴∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD， ∴∠COD＝∠AOB， ∴∠AOB＝180°﹣∠P， ∴∠COD＝90°﹣∠P． 故选：C． 8.高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面宽AB＝8m，净高CD＝8m，则此圆的半径OA为（　　） A. B.5m C. D.6m 【答案】B 【解析】解：设⊙O的半径是r米， ∵CD⊥AB， ∴AD＝AB＝4（米）， ∵OA2＝OD2+AD2， ∴r2＝（8﹣r）2+42， ∴r＝5， ∴⊙O的半径OA是5米． 故选：B． 9.如图，在矩形ABCD中，BC＝8，以AB为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点B旋转，使所得矩形A'BC'D'的边C'D'与⊙O相切，切点为E，边A'B与⊙O相交于点F．若BF＝8，则CD长为（　　） A.9 B.10 C.8 D.12 【答案】B 【解析】解：连接OE，延长EO交BF于点M， ∵C'D'与⊙O相切， ∴∠OEC′＝90°， 又矩形A'BC'D'中，A'B∥C'D'， ∴∠EMB＝90°， ∴BM＝FM， ∵矩形ABCD绕点B旋转所得矩形为A′BC′D′， ∴∠C′＝∠C＝90°，AB＝CD，BC＝BC'＝8， ∴四边形EMBC'为矩形， ∴ME＝8， 设OB＝OE＝x，则OM＝8﹣x， ∵OM2+BM2＝OB2， ∴（8﹣x）2+42＝x2， 解得x＝5， ∴AB＝CD＝10． 故选：B． 10.如图，以AB为直径的⊙O与CD相切于点B，连结AC，AD，分别交⊙O于点E，F，连结OE，BF，记∠CAD＝α，∠D＝β，若OE∥BF，则α与β的关系式为（　　） A.α＝β B.α+β＝120° C.α+2β＝180° D.2α+β＝180° 【答案】D 【解析】解：∵CD与⊙O相切于点B， ∴∠ABD＝90°，即∠ABF+∠DBF＝90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°＝∠BFD， ∴∠D+∠DBF＝90°， ∴∠ABF＝∠D＝β， ∵OE∥BF， ∴∠BOE＝∠ABF＝∠D＝β， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA＝∠BOE＝β， ∴∠BAD＝α﹣β， 在Rt△ABD中，∠BAD+∠D＝90°， 即α﹣β+β＝90°， ∴2α+β＝180°． 故选：D． 11.如图，在△ABC中，∠B＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OA为半径作圆，⊙O恰好与BC相切于点D，连接AD．若AD平分∠CAB，，则线段AC的长是（　　） A.2 B. C. D. 【答案】C 【解析】解：连接OD， ∵⊙O与BC相切于点D， ∴∠BDO＝90°， ∵OD＝OA， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵∠OAD＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠ODA， ∴OD∥AC， ∴∠C＝90°， ∵∠B＝30°， ∴∠CAB=60° ∵AD平分∠CAB ∴∠CAD＝∠BAD=30° ∴在Rt△ACD中，∠CAD=30° ∴CD=AD ∵∠B＝∠BAD=30° ∴， ∴CD= 在Rt△ACD中，AD=，CD=，由勾股定理，得 AC= 故答案为：C． 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，平面上有一点P，AP＝1，连接AP，BP，取BP的中点G．连接CG，在AP绕点A的旋转过程中，则CG的最大值是（　　） A.3 B.4 C. D.2 【答案】A 【解析】解：取AB的中点H，连接GH， ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝． ∵点G为BP中点，点H为AB中点， ∴GH为△ABP的中位线， ∴GH＝， 则点G在以点H为圆心，为半径的圆上， 连接CH， ∴CH＝， 则CG的最大值为：． 故选：A． 二、填空题 13.用反证法证明命题“是无理数”时，应假设 　      　． 【答案】是有理数 【解析】用反证法证明命题“是无理数”时，应假设“是有理数”． 14.利用反证法证明“在△ABC中，∠C＞∠A，求证：AB＞BC”时，第一步应假设：　                 　． 【答案】AB≤BC 【解析】解：假设结论：AB＞BC不成立， ∴假设AB≤BC； 故答案为：AB≤BC． 15.用反证法证明“已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A≠45°．求证：AC≠BC”．第一步应先假设　       　． 【答案】AC＝BC 【解析】用反证法证明“已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A≠45°．求证：AC≠BC”． 第一步应先假设AC＝BC． 16.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝40°，则∠D的度数为 　       　． 【答案】110° 【解析】解：∵BC＝CD， ∴＝， ∴∠DAC＝∠BAC， ∵∠DAB＝40°， ∴∠BAC＝∠DAC＝20°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝70°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠D+∠ABC＝180°， ∴∠D＝180°﹣70°＝110°， 故答案为：110°． 17.如图，正方形ABCD的边长为2，以A为圆心，AD长为半径画．以D为圆心，DA长为半径画，形成如图“杯子”样的阴影部分，则阴影部分的面积为 　　． 【答案】 【解析】解：如图，将题中图形简化，连接AG、DG，过G点作EF⊥AD于点E，交BC于F点， 在正方形ABCD中，有EF⊥AD， ∴四边形ABFE是矩形， ∵弧BD和弧AC的半径均为AD，正方形ABCD的边长为2， ∴DG＝AD＝AG＝2， ∴△ADG是等边三角形， ∴∠GAD＝∠ADG＝∠AGD＝60°， ∵EF⊥AD， ∴，EG平分∠AGD， ∴矩形ABFE的面积为：S矩形ABFE＝AB×AE＝2×1＝2， 在正方形ABCD中，∠BAD＝90°， ∴∠BAG＝∠BAD﹣∠GAD＝30°， 在Rt△AGE中，有AE＝1，AG＝2， ∴， ∴△AEG的面积为：， 同理可求得：， ∵AD＝2，∠ADG＝60°， ∴扇形ADG的面积为：， ∴弓形AG的面积为：， ∵AB＝2，∠BAG＝30°， ∴扇形BAG的面积为：， ∴异形BGF的面积为：， 根据图形的对称性可知：阴影部分面积为：S阴影＝（S1+S2+S3）×2， ∴， 即：， 故答案为：． 三、解答题 18.如图，△ABC中，∠ABC=75°，∠ACB=75°，点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数. 【答案】解：∵△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是△ABC的内心， ∴∠OBC=∠ABC=×50°=25°，∠OCB=∠ACB=×75°=37.5°， ∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-37.5°=117.5°． 【解析】 19.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的圆O分别交AB，AC于点E，F，连接EF．求证：BC是圆O的切线． 【答案】证明：连接OD， ∵OD＝OA， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠OAD， ∴∠CAD＝∠ODA， ∴OD∥AC， ∵∠C＝90°， ∴AC⊥BC， ∴OD⊥BC， ∵OD过圆心O， ∴BC是圆O的切线． 【解析】 20.如图，AC是▱ABCD的对角线，∠BAD+∠ACB＝90°．O是BC垂直平分线与AC的交点，以点O为圆心，OC长为半径作⊙O．求证：AB为⊙O的切线． 【答案】证明：连接BO，并延长BO交CD于E， ∵O在BC垂直平分线上， ∴OB＝OC， ∴OB是⊙O的半径，∠ACB＝∠CBE， ∵AC是▱ABCD的对角线， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠BAC＝∠DCA，∠DAC＝∠BCA，∠ABE＝∠BEC， ∵∠BAD+∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠DAC+∠ACB＝90°， ∴∠DCA+∠BCA+∠CBE＝90°， ∴∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠BEC＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ABE＝90°， ∴OB⊥AB， ∴AB为⊙O的切线． 【解析】 21.如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接BC，CD，DA，OC． （1）证明：OC∥AD； （2）若AB＝10，，求AD长． 【答案】（1）证明：如图所示：连接OD， ∵点C是的中点， ∴， ∴∠BOC＝∠COD＝， ∵∠DAB是所对的圆周角， ∴∠DAB＝， ∴OC∥AD； （2）解：如图所示：连接BD交CO于点E， ∵OB＝OD，∠COB＝∠COD， ∴OC⊥BD， ∴∠CEB＝∠OED＝90°，BE＝DE， ∴点E是BD的中点， ∵OB＝OA， ∴OE是△ABD的中位线， ∴AD＝2OE， ∵AB＝10， ∵OD＝OC＝5， 设OE＝x，则CE＝5﹣x， 在Rt△OED中， ∵OD2﹣OE2＝DE2＝CD2﹣CE2， ∴， 25﹣x2＝20﹣25+10x﹣x2， 10x＝30， x＝3， ∴AD＝2x＝6． 【解析】 22.如图，AB是⊙O的直径，点C是直线AB上方的⊙O上一点．点M是△ABC的内心．连结AM，BM，CM，延长CM交⊙O于点D． （1）若AB＝10，AC＝6，求BC的长． （2）求∠AMB的度数． （3）当点C在直线AB上方的⊙O上运动时，求证：． 【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AB＝10，AC＝6， ∴BC＝＝＝8， ∴BC的长为8． （2）解：∵∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵点M是△ABC的内心， ∴AM平分∠CAB，BM平分∠CBA， ∴∠MAB＝∠CAB，∠MBA＝∠CBA， ∴∠MAB+∠MBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°， ∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝135°， ∴∠AMB的度数为135°． （3）证明：连结AD、BD，则∠ADB＝90°， ∵点M是△ABC的内心，∠ACB＝90°， ∴CM平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°， ∴＝， ∴AD＝BD， ∴AB＝＝＝AD， ∵∠DAB＝∠ACD＝45°，∠MAB＝∠MAC， ∴∠DAB+∠MAB＝∠ACD+∠MAC， ∵∠DAM＝∠DAB+∠MAB，∠DMA＝∠ACD+∠MAC， ∴∠DAM＝∠DMA， ∴DM＝AD， ∴AB＝DM， ∴DM＝AB． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$