24.1.2 垂直于弦的直径课件2024-2025学年人教版九年级数学上册

新知一览 圆的有关性质 点和圆、直线和圆的位置关系 正多边形和圆 圆 弧、弦、圆心角 圆 点和圆的位置关系 切线长定理及三角形的内切圆 圆周角 切线的判定与性质 垂直于弦的直径 弧长和扇形面积 弧长和扇形面积 圆锥的侧面积和全面积 直线与圆的位置关系 24.1 圆的有关性质 第二十四章 圆 24.1.2 垂直于弦的直径 地震造成小区的圆柱形供水管道损坏，现在工人师傅要为我们换管道，如图，他测量出管道有积水部分的最大深度是 2 cm，水面的宽度为 8 cm，这个工人师傅想了又想，也不知道该用多大的水管来替换，你能帮他解决这个问题吗? · O A B C E D 那么直径CD平分弦AB，并且平分AB及ACB． ⌒ ⌒ 即AE＝BE，AD＝BD，AC＝BC． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 如图，如果直径CD⊥弦AB，垂足为点E. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦， 　　　　　　并且平分弦所对的两条弧． 如图，AB是⊙O的一条（非直径）的弦，点E是AB的中点，过点E作直径CD．问：直径CD⊥弦AB吗？为什么？ 你还能得出什么结论？ · O A B C E D 直径CD⊥弦AB.　　 理由：连接OA和OB． ∵ＯA＝ＯB， ∴△AOB是等腰三角形． ∵点E是AB的中点， 直径CD⊥弦AB． 直径CD 平分劣弧AB、 平分优弧ACB． 垂径定理推论　平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 几何语言表达 ③AE=BE, 由 ① CD是直径 ② CD⊥AB 可推得 ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ④AC=BC, ⌒ ⌒ 垂径定理： 推论： ②CD⊥AB, 由 ① CD是直径 ③ AE=BE ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 可推得 Ｃ Ａ Ｂ Ｅ Ｏ D 知二得三 如果我们在⊙O 中任意画一条弦AB，如图，观察下面的图形，它还是轴对称图形吗？ 若是，你能找到它的对称轴吗？ 探究新知 刚刚我们证明了圆是轴对称图形，如果我们在⊙O 中任意画一条弦AB，如图，观察下面的图形，它还是轴对称图形吗？ 若是，你能找到它的对称轴吗？ 7 如果我们在⊙O 中任意画一条弦AB，如图，观察下面的图形，它还是轴对称图形吗？ 若是，你能找到它的对称轴吗？ 探究新知 同学们通过动手实验不难得出只要作出垂直于弦AB的直径，沿着这条直径所在的直线对折，图形的左右两边就可以完全重合，即图形关于这条直径所在直线对称. 8 设直径CD与弦AB垂直于点E（如图），在沿直径CD所在直线对折的过程中，观察图中还有哪些相等的线段和相等的弧？ · O A B C D E 　　　　，　　　　 ，　　　　 ． 探究新知 我们不妨设直径CD与弦AB垂直于点E（如图）,在沿直径CD所在直线对折的过程中，观察图中除了半径，半圆相等，还有哪些相等的线段和相等的弧？ 我们发现，由于圆沿着直径CD所在直线翻折时，CD左右两侧的半圆能够完全重合，因此点A与点B重合，于是我们可以得到下面三组相等关系:AE=BE,弧AC=弧BC，弧AD=弧BD. 9 典型例题 当堂检测 学习目标 课堂总结 概念剖析 试一试： 1.下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 是 不是， 因为CD没有过圆心 注意：垂径定理的本质： （1）过圆心 ；（2）垂直于弦；（3）平分弦； （4）平分弦所对的优弧；（4）平分弦所对的劣弧. 满足其中任两条， 必定同时满足另三条 典型例题 当堂检测 学习目标 课堂总结 概念剖析 能运用垂径定理的几个基本图形: 归纳总结 典型例题 当堂检测 学习目标 课堂总结 概念剖析 例 1：赵州桥主桥拱的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.2 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ （一）垂径定理 37.4 7.2 R D 分析：如图，用弧AB表示主桥拱，则弦AB即是跨度，设 所在圆的圆心为O，半径为R； 经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弦AB相交于点C； 根据前面的结论可知，D是弦AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高． AB ( AB ( 判断下列图形，能否使用垂径定理？ 定理辨析 × √ × √ √ √ 思考 利用前面的证明： 能否说明当CD平分任何一条弦AB时， 都存在CD⊥AB ，说出你的理由 A C B D M . O 一个圆的任意两条 直径总是互相平分但 它们不一定互相垂直. 因此这里的弦如果是直 径，结论不一定成立． 注意 为什么强调这里的弦不是直径？ A B C D M N 1.下列说法中不正确的是(　　) A．经过圆心的直线是圆的对称轴 B．直径是圆的对称轴 C．圆的对称轴有无数条 D．当圆绕它的圆心旋转60°时，仍会与原来的圆重合 B 随 堂 练 习 2.如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10 cm，OE=6 cm，则AB= cm． 16 · O A B E 随 堂 练 习 3.《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，则圆形木材的直径是（　　）（1尺＝10寸） A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸 D 随 堂 练 习 (4)若 ，CD是直径, 则 、 、 . (1)若CD⊥AB, CD是直径, 则 、 、 . (2)若AM=MB, CD是直径, 则 、 、 . (3)若CD⊥AB, AM=MB, 则 、 、 . 1.如图所示: 练习 ●O A B C D └ M AM=BM ⌒ ⌒ AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD CD⊥AB ⌒ ⌒ AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD CD是直径 ⌒ ⌒ AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD ⌒ ⌒ AC=BC CD⊥AB AM=BM ⌒ ⌒ AD=BD 2． 判断： （1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两弧． （ ） （2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧． （ ） （3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦． （ ） （4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行． （ ） （5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧． （ ） √    √ 判断 （6）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心……………………………………..( ) （7）不与直径垂直的弦必不被这条直径平分…………………………………………...( ) （8）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧………………………………………( ) （9）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ） √ × × √ $$