精品解析：河南省驻马店市西平县第六初级中学施一公班2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

河南省驻马店市西平县第六初级中学施一公班2024-2025学年 八年级上学期期中考试数学试题 一、选择题 1. 下列说法正确的是（ ） A. 零既不是正数也不是负数 B. 多项式是四次三项式 C. 若，则（a、b、c为有理数） D. 调查一批灯管的使用寿命采用全面调查的方式 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的分类，多项式，等式的性质和调查方式，掌握有理数、多项式定义和等式的性质、调查方式的选择是解题的关键． 【详解】解：A. 零既不是正数也不是负数，说法正确； B. 多项式是二次三项式，原说法错误； C. 若，当时，，故原说法错误； D. 调查一批灯管的使用寿命采用抽样调查的方式，故原说法错误； 故选A． 2. 在射击训练中，某队员的10次射击成绩如图，则这10次成绩的中位数和众数分别是（　　） A. 9.3，9.6 B. 9.5，9.4 C. 9.5，9.6 D. 9.6，9.8 【答案】C 【解析】 【分析】根据折线图将成绩从小到大依次排列，然后求中位数与众数即可． 【详解】解：由图可知，10次的成绩由小到大依次排列为8.8、9.0、9.2、9.4、9.4、9.6、9.6、9.6、9.8、9.8， ∴10次成绩的中位数为，众数为9.6，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了中位数、众数．解题的关键在于熟练掌握中位数与众数的定义与求解方法． 3. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从75 m高空抛物到落地所需时间为．从100 m高空抛物到落地所需时间为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式应用，将和，代入关系式，求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴； 故选C． 4. 下列函数的图象不经过第一象限，且y随x的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的函数解析式，可以分析判断解决问题． 【详解】解：A、函数，，则y随x的增大而增大，故选项A不符题意； B、函数，，y随x的增大而增大，故选项B不符题意； C、函数，，则y随x的增大而减小，，则交在y轴的负半轴，则图象不经过第一象限，故选项C符题意； D、函数，，则y随x的增大而减小，，则交在y轴的正半轴，则图象经过第一象限，故选项D不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 5. 如图，在中，是高和的交点，，则线段的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，根据三角形内角和定理、等腰三角形性质等可得到，根据，推出，根据证，推出即可． 【详解】解：∵是的高， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故选：A． 6. 从全市份数学试卷中随机抽取份试卷，其中份成绩合格，那么可以估计全市数学成绩合格的学生大约有多少人？（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知：抽取400份试卷中合格率为×100%=90%，则估计全市5000份试卷成绩合格的人数约为5000×90%=4500份． 【详解】5000×=4500（人）． 故选A． 【点睛】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法． 7. 已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，AD=2，BC=3，则△ADE的面积为（　　） A. 1 B. 2 C. 5 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】因为知道AD的长，所以只要求出AD边上的高，就可以求出△ADE的面积．过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，构造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的长，即为EF的长，然后利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F， ∵∠EDF+∠FDC=90°， ∠GDC+∠FDC=90°， ∴∠EDF=∠GDC， 于是在Rt△EDF和Rt△CDG中， ， ∴△DEF≌△DCG， ∴EF=CG=BC﹣BG=BC﹣AD=3﹣2=1， 所以，S△ADE=（AD×EF）÷2=（2×1）÷2=1． 故选A． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目需要作辅助线构造直角三角形，利用全等三角形和面积公式来解答．对同学们的创造性思维能力要求较高，是一道好题． 8. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O，且，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，，，再根据等边三角形的判定与性质可得，，求出，最后利用勾股定理可得答案． 【详解】解：在菱形中，，，，， ， 为等边三角形， ，， ∴， ， ， ， 故选C． 【点睛】此题考查的是菱形的性质、等边三角形的判定与性质，含30度角的性质，勾股定理，掌握其性质定理是解决此题的关键． 9. 如图，，平分，交于C，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于M，N两点，再分别以M，N两点为圆心，都以一个大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，射线与相交于点D．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】设交于点O，根据题意得到平分，再根据平行线的性质，易证四边形是菱形，由菱形的性质得到，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：设交于点O， 由作图依据可得：平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形， ， ，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的作法，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握角平分线的作法及菱形的判定定理是解题的关键． 10. 如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝5cm，BC＝2cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B′，C′上．在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为（ ）cm． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】探究点E的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可． 【详解】解：如图1中， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠1=∠3， 由翻折的性质可知：∠1=∠2，BM=MB′， ∴∠2=∠3， ∴MB′=NB′， ∵（cm）， ∴（cm）． 如图2中，当点M与A重合时， 同理可得：AE=EN， 设AE=EN=x cm， 在Rt△ADE中，则有，解得x=， ∴（cm）， 如图3中，当点M运动到MB′⊥AB时，DE′的值最大，DE′=5-1-2=2（cm）， 如图4中，当点M运动到点B′落在CD时， DB′（即DE″）（cm）， ∴点E的运动轨迹E→E′→E″， 运动路径（cm）． 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 二、填空题 11. 下列数据：，，，，，，的中位数是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据中位数的意义，将这7个数据从小到大排列后，找出处在第4位的数即可． 【详解】解：将这7个数从小到大排列得：9，10，11，13，14，17，17，处在第4位的数是13，因此中位数是13， 故答案为：13． 【点睛】考查中位数的意义，将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数即为中位数． 12. 如图，已知AD是的中线，于点E，，交AD的延长线于点F．若，则___________． 【答案】12 【解析】 【分析】证明（AAS），得出DE=DF=EF=3，求出∠DCE=，由直角三角形的性质得出CD=2DE=6，即可得出BC=2CD=12． 【详解】解：∵AD是的中线， ∴BD=CD， ∵CE⊥AD，BF⊥AD， ∴∠CED=∠F=， 在和中， ， ∴（AAS）， ∴DE=DF=EF， ∵EF=6， ∴DE=DF =3， ∵∠1=2∠2，∠1+∠2=， ∴∠2=， ∴∠DCE=， ∴CD=2DE=6， ∴BC=2CD=12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点， ，直线与y轴相交于C点，与线段交于P点，若点A和点B在直线的两侧，求k的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的性质，利用待定系数法求一次函数的解析式．先求出直线的解析式，即可求出的取值范围； 【详解】解：令，则， ∴， 设直线的解析式为， ，解得，， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ，解得，， ∴直线的解析式为， ∵点和点在直线的两侧， ∴ 故答案为：． 14. 如图，在中，点为的中点，平分且于点，延长交于点若，则_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】通过平分且于点，即可得，，D为BN中点，为的中位线，即可通过NC求DM． 【详解】解：平分且于点， 在和中 为以BN为底边的等腰三角形，D为BN中点 又 在中， D为BN中点、M为BC中点 为的中位线 故答案为：3． 【点睛】本题考查全等三角形的判定定理及中位线定理，注意找到全等的条件是解题的关键，属于中考常考题型． 15. 如图，菱形的边长为，对角线，点在边上，，点是上的一个动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】找出B点关于AC的对称点D，连接DE交AC于P，则DE就是PB+PE的最小值，求出即可． 【详解】∵点B，D关于直线AC对称， ∴连接DE交AC于一点P， 则DE=PB+PE的最小值， 连接BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC, ∴ ∴ 过D作DF⊥AB交BA的延长线于F， ∴ ∴DF=4， ∴AF=3 ∴EF=6， ∴ ∴PB+PE的最小值为. 故答案为. 【点睛】考查了菱形的性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理等，找出PB+PE的最小值就是的长是解题的关键. 三、解答题 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题关键在于把二次根式化为最简二次根式后计算最为简便． （1）先把二次根式化简，再算乘法，最后算加法． （2）先把分子部分二次根式化简后跟分母进行约分，再运用平方差公式进行去括号，最后合并用类项． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，已知，，，DE为AB的垂直平分线，交BC于D，交AB于E． （1）用直尺和圆规，作出DE（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接AD，若，则________． 【答案】（1） 如图，DE即为所求； （2）18°． 【解析】 【分析】（1）利用尺规根据要求作出图形即可； （2）利用线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 ∵DE垂直平分线段AB， ∴DA=DB， ∴∠DAB=∠B=36°， ∴∠ADC=∠DAB+∠B=72°， ∵∠C=90°， ∴∠CAD=90°-72°=18°． 【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 18. 促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容．为了引导学生积极参与体育运动，某年级为该年级全体学生举办了一分钟跳绳比赛，随机抽取了30名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，被抽取的30名学生成绩如下： 150 149 114 178 120 188 121 158 135 177 126 171 196 166 132 199 149 82 156 130 141 103 155 169 159 137 162 142 182 143 对这30个数据按组距20进行分组，并统计整理绘制了如下尚不完整的统计图表： 频数分布表 组别 次数分组 频数 1 7 10 6 频数分布直方图 请根据以上信息解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）补全频数直方图； （3）若该年级共有600人，请估计该年级学生一分钟跳绳的次数不少于160次的人数． 【答案】（1）2，4；（2）；（3）200 【解析】 【分析】（1）由抽取的30名学生成绩数据可得； （2）根据（1）中求得的数据画出即可； （3）根据抽取的30名学生成绩中一分钟跳绳的次数不少于160次的人数所占的百分比和该年级的总人数即可求得． 【详解】（1）， （2）略 （3）， 答：该年级学生一分钟跳绳的次数不少于160次的人数为200人． 19. 如图，直线：与轴交于点，与轴交于点；直线经过，两点，两直线相交于点． （1）求与交点的坐标； （2）在轴上有一动点，过点作轴的垂线． ①如图1，直线交直线、于点、，当时，求的值； ②如图2，若在y轴上有一点，在直线上是否存在一点，使直线与轴的夹角与互余，若存在，请直接写出点的坐标（用含的代数式表示），若不存在请说明理由． 【答案】（1）点的坐标为； （2）①或；②点的坐标为或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，线段垂直平分线的性质等知识点． （1）利用待定系数法求得直线的解析式，再联立即可求得点的坐标； （2）①用表示点、的坐标，根据列绝对值方程，求解即可； ②先求得直线与轴的夹角与相等，分两种情况讨论，当时，求得直线的解析式，即可求解；当时，则点在线段的垂直平分线上，求得直线的解析式，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线经过，两点， ∴设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得， ∴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：①∵点，过点作轴的垂线，直线交直线、于点、， ∴，， 由题意得，即， 整理得或， 解得或； ②∵， ∴直线与轴的夹角与相等， 当时，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； 当时，则点在线段的垂直平分线上， 令，则， ∴， ∵， ∴， ∴点G的坐标为， 同理，直线的解析式为， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 20. 2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销商品，经市场调查反映，某商场购进一批冰墩墩和雪容融挂件，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表： 销售单价x（元/件） 75 78 82 日销售量y（件） 150 120 80 日销售利润w（元） 5250 a 3360 （1）根据以上信息，求出该商品每件的成本价及a的值； （2）求y关于x的函数关系式； （3）该商品销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）该产品的成本单价是40元，4560 （2） （3）该商品销售单价定为65元时，日销售利润的最大值为6250元 【解析】 【分析】（1）根据日销售利润日销售量（销售单价成本单价）即可求解； （2）由题意商品的日销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，利用待定系数法求解即可； （3）根据二次函数的顶点式即可求解． 【小问1详解】 解：设该产品的成本单价是元， 根据题意，得， 解得， ； 【小问2详解】 设，把，代入得： ， 解得， ； 【小问3详解】 根据题意， 得， ， 当时，最大，最大值为6250， 答：该商品日销售利润的最大值为6250元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的基本数量关系． 21. 某地区一种商品的需求量y1（单位:万件）、供应量y2（单位；万件）与价格x（单位:元/件）分别近似满足下列函数关系式:y1＝-x＋60，y2＝2x-36．需求量为0时，即停止供应．当y1＝y2时，该商品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量． （1）求该商品的稳定价格与稳定需求量； （2）价格在什么范围时，该商品的需求量低于供应量； （3）当需求量高于供应量时，政府常通过对供应方提供价格补贴来提高供货价格，以提高供应量．现若要使稳定需求量增加4万件，政府应对每件商品提供多少元补贴才能使供应量等于需求量？ 【答案】（1）该商品的稳定价格为32元/件，稳定需求量为28万件；（2）当价格大于32元/件而小于60元/件时，该商品的需求量低于供应量；（3）6元的补贴． 【解析】 【分析】（1）实质是求函数的交点坐标，利用y1=y2可求解； （2）因为“需求量为0时，即停止供应”，所以，当y1=0时，有x=60．又由图象，知x＞32，利用题意和图象综合可知当价格大于32元/件而小于60元/件时，该商品的需求量低于供应量； （3）根据题意列方程组求解即可． 【详解】（1）当y1=y2时，有-x+60=2x-36． ∴x=32， 此时-x+60=28， 所以该商品的稳定价格为32元/件，稳定需求量为28万件； （2）因为“需求量为0时，即停止供应”， ∴当y1=0时，有x=60， 又-x+60＜2x-36 解得：x＞32， ∴当价格大于32元/件而小于60元/件时，该商品的需求量低于供应量； （3）设政府部门对该商品每件应提供a元补贴． 根据题意，得方程组 解这个方程组，得 ． 所以，政府部门对该商品每件应提供6元的补贴． 【点睛】此题考查一次函数的应用．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解． 22. 如图，在四边形中，对角线、相交于点N．点M是对角线的中点，连接、．已知，，，． （1）求证：： （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵点M是对角线的中点，， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质可得，再根据，即可证明结果； （2）证明四边形是平行四边形可得，根据勾股定理可得，求得，即可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， 在中，，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键． 23. 已知正方形 ，点 分别在边 、上，连接 ，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接 交 于点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，连接，求证： ； （3）如图3，在 （2）的条件下，连接 交 于点，过点 作 于点 ，交的延长线于点 ，若 ，，求 的长． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， 设 ，交于点M， 在 中，， 在 中，， ， （2） 证明：四边形 是正方形 ，， ， ， ， 过 作 于 ，于 ， ， ∴， ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， （3）8 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质，得，，得证，结合两个锐角互余，推出，即可作答． （2）易证，过作于，于，可证明四边形是矩形，进行角的运算，得，即可作答． （3）设，，得，则，结合，，，根据勾股定理，列式计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 证明：， ， 设 ， ， ， ， ， ， 设 ， ， ， ， ； 在上取一点，使 ， 连接， 易证 ， ，， ， ， ， ， ， ； 在，， 解得， ； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质综合：直角三角形的两个锐角互余、正方形和矩形的性质、勾股定理，难度较大，综合性较强，解题关键是正确作出辅助线证明全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省驻马店市西平县第六初级中学施一公班2024-2025学年 八年级上学期期中考试数学试题 一、选择题 1. 下列说法正确的是（ ） A. 零既不是正数也不是负数 B. 多项式是四次三项式 C. 若，则（a、b、c为有理数） D. 调查一批灯管的使用寿命采用全面调查的方式 2. 在射击训练中，某队员的10次射击成绩如图，则这10次成绩的中位数和众数分别是（　　） A. 9.3，9.6 B. 9.5，9.4 C. 9.5，9.6 D. 9.6，9.8 3. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从75 m高空抛物到落地所需时间为．从100 m高空抛物到落地所需时间为，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数的图象不经过第一象限，且y随x的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是高和的交点，，则线段的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 6. 从全市份数学试卷中随机抽取份试卷，其中份成绩合格，那么可以估计全市数学成绩合格的学生大约有多少人？（ ） A. B. C. D. 7. 已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，AD=2，BC=3，则△ADE的面积为（　　） A. 1 B. 2 C. 5 D. 无法确定 8. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O，且，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，平分，交于C，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于M，N两点，再分别以M，N两点为圆心，都以一个大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，射线与相交于点D．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝5cm，BC＝2cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B′，C′上．在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为（ ）cm． A. B. C. D. 二、填空题 11. 下列数据：，，，，，，的中位数是____． 12. 如图，已知AD是的中线，于点E，，交AD的延长线于点F．若，则___________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点， ，直线与y轴相交于C点，与线段交于P点，若点A和点B在直线的两侧，求k的取值范围______． 14. 如图，在中，点为的中点，平分且于点，延长交于点若，则_______________________． 15. 如图，菱形的边长为，对角线，点在边上，，点是上的一个动点，则的最小值为________． 三、解答题 16. 计算 （1） （2） 17. 如图，已知，，，DE为AB的垂直平分线，交BC于D，交AB于E． （1）用直尺和圆规，作出DE（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接AD，若，则________． 18. 促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容．为了引导学生积极参与体育运动，某年级为该年级全体学生举办了一分钟跳绳比赛，随机抽取了30名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，被抽取的30名学生成绩如下： 150 149 114 178 120 188 121 158 135 177 126 171 196 166 132 199 149 82 156 130 141 103 155 169 159 137 162 142 182 143 对这30个数据按组距20进行分组，并统计整理绘制了如下尚不完整的统计图表： 频数分布表 组别 次数分组 频数 1 7 10 6 频数分布直方图 请根据以上信息解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）补全频数直方图； （3）若该年级共有600人，请估计该年级学生一分钟跳绳的次数不少于160次的人数． 19. 如图，直线：与轴交于点，与轴交于点；直线经过，两点，两直线相交于点． （1）求与交点的坐标； （2）在轴上有一动点，过点作轴的垂线． ①如图1，直线交直线、于点、，当时，求的值； ②如图2，若在y轴上有一点，在直线上是否存在一点，使直线与轴的夹角与互余，若存在，请直接写出点的坐标（用含的代数式表示），若不存在请说明理由． 20. 2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销商品，经市场调查反映，某商场购进一批冰墩墩和雪容融挂件，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表： 销售单价x（元/件） 75 78 82 日销售量y（件） 150 120 80 日销售利润w（元） 5250 a 3360 （1）根据以上信息，求出该商品每件的成本价及a的值； （2）求y关于x的函数关系式； （3）该商品销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 21. 某地区一种商品的需求量y1（单位:万件）、供应量y2（单位；万件）与价格x（单位:元/件）分别近似满足下列函数关系式:y1＝-x＋60，y2＝2x-36．需求量为0时，即停止供应．当y1＝y2时，该商品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量． （1）求该商品的稳定价格与稳定需求量； （2）价格在什么范围时，该商品的需求量低于供应量； （3）当需求量高于供应量时，政府常通过对供应方提供价格补贴来提高供货价格，以提高供应量．现若要使稳定需求量增加4万件，政府应对每件商品提供多少元补贴才能使供应量等于需求量？ 22. 如图，在四边形中，对角线、相交于点N．点M是对角线的中点，连接、．已知，，，． （1）求证：： （2）若，求的长． 23. 已知正方形 ，点 分别在边 、上，连接 ，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接 交 于点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，连接，求证： ； （3）如图3，在 （2）的条件下，连接 交 于点，过点 作 于点 ，交的延长线于点 ，若 ，，求 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $