山东省淄博市淄川区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷（五四制）

2024-2025学年山东省淄博市淄川区八年级（下）期末数学试卷（五四学制） 一、精心选一选（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的器请选出称认为唯一正确的选项，涂到答题卡上，每小题4分，计48分）。 1．（4分）在下列式子中的“□”内，填入“+，﹣，×，÷”中的一种符号，其中无论填入哪种符号都能使二次根式有意义的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）下列四条线段（单位：cm）中，不是成比例线段的是（　　） A． B．3，6，2，4 C．4，6，5，10 D． 3．（4分）下列各式化简正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（4分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式错误的是（　　） A． B． C． D． 5．（4分）方程3x2﹣5x﹣7＝0的两个实数根为x1，x2，下列各式正确的是（　　） A．x1+x2＝5，x1x2＝﹣7 B．， C．， D．， 6．（4分）已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 7．（4分）已知k是方程x2+3x﹣2＝0的一个实数根，则代数式的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 8．（4分）随着科技的不断发展和人们对环保的日益重视，新能源汽车越来越受到大家的青睐，某品牌新能源汽车经销商统计了今年第一季度的销售量（如图所示），若该品牌汽车的销售量月平均增长率为x，则根据图中信息，得到x所满足的方程是（　　） A．200（1+x）2＝242 B．242（1+x）2＝200 C．2（1+x）＝242÷200 D．2x＝242﹣200 9．（4分）如图1，能保证使△ACD与△ABC相似的条件是（　　） A．AC2＝AD•AB B．CD：AD＝BC：AC C．AC：CD＝AB：BC D．CD2＝AD•DB 10．（4分）若菱形两条对角线的长度是方程的两个实数根，则菱形的边长为（　　） A． B．4 C． D．5 11．（4分）如图，D是△ABC的边BC的中点，F是AD上一点，且AF：FD＝1：2，连接BF并延长，交AC于点E，则AE：CE的值为（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．3：4 12．（4分）如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形（　　） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 二、细心填一填（本题共8小题，满分32分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）。 13．（4分）的算术平方根是 　 　 ． 14．（4分）已知，则的值为 　 　 ． 15．（4分）计算的结果是　 　 ． 16．（4分）已知是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c＝ 　 　 ． 17．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝7，AB＝4，DF平分∠ADC交BC于点F，AF⊥EF，则EF的长为　 　 ． 18．（4分）如图，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截取一个矩形（图中阴影部分所示），使留下的矩形与原矩形相似，则留下的矩形面积为　 　 cm2． 19．（4分）若正数a是关于x的一元二次方程x2﹣7x+m＝0的一个实数根，﹣a是关于x的一元二次方程x2+7x﹣m＝0的一个实数根，则a的值为 　 　 ． 20．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为　 　 ． 三、耐心做一做，相信你能写出正确的解答过程（共70分，注意审题要细心，书写要规范和解答要完整）。 21．（20分）计算： （1）； （2）已知，，求的值． 解方程： （3）3x2﹣5x﹣2＝0； （4）4x2+12x﹣1147＝0． 22．（20分）（1）如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC＝1m．已知某一时刻BC在地面的影长CN＝1.5m，AC在地面的影长CM＝4.5m，求窗户的高度． （2）在国家政策的积极扶持下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐渐上升．某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间发现后，当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 23．（10分）如图，将矩形纸片ABCD（AD＞AB）折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F． （1）判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论； （2）若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围． 24．（10分）（1）问题再现： 学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是12﹣x和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段AB的长，进而求得的最小值是 　 　 ； （2）应用 如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若AE＝8，连接HC，则HC+AB的最小值是 　 　 ； （3）类比迁移 已知a，b均为正数，且a﹣b＝6，求的最大值． 25．（10分）在直角△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC边上，连接BE，作∠ACF＝∠CBE交AB于点F，同时点D在BE上，且CD⊥AB． （1）已知：如图，，． ①求证：△ACF≌△BCD． ②求的值． （2）若，，则的值是多少（直接写出结果） 2024-2025学年山东省淄博市淄川区八年级（下）期末数学试卷（五四学制） 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C D C C A B A A A C 题号 12 答案 A 一、精心选一选（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的器请选出称认为唯一正确的选项，涂到答题卡上，每小题4分，计48分）。 1．（4分）在下列式子中的“□”内，填入“+，﹣，×，÷”中的一种符号，其中无论填入哪种符号都能使二次根式有意义的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、，故符合题意； B、3﹣5＝﹣2＜0，不符合题意； C、﹣5﹣3＝﹣8＜0，不符合题意； D、﹣3﹣5＝﹣8＜0，不符合题意； 故选：A． 2．（4分）下列四条线段（单位：cm）中，不是成比例线段的是（　　） A． B．3，6，2，4 C．4，6，5，10 D． 【解答】解：A、1，故本选项的四条线段，是成比例线段，不符合题意； B、3×4＝6×2，故本选项的四条线段，是成比例线段，不符合题意； C、4×10≠6×5，故本选项的四条线段，不是成比例线段，符合题意； D、22，故本选项的四条线段，是成比例线段，不符合题意． 故选：C． 3．（4分）下列各式化简正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：3，则A不符合题意， 6，则B不符合题意， ，则C不符合题意， ，则D符合题意， 故选：D． 4．（4分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式错误的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵EF∥AB， ∴， 故A不符合题意； ∵， ∴， 故B不符合题意； ∵△EFC∽△ABC， ∴， 假设成立，则， ∴CE＝AE，与已知条件不符， ∴不成立， 故C符合题意； ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴四边形BDEF是平行四边形， ∴DE＝BF， ∵△ADE∽△ABC， ∴， ∴， ∴， 故D不符合题意， 故选：C． 5．（4分）方程3x2﹣5x﹣7＝0的两个实数根为x1，x2，下列各式正确的是（　　） A．x1+x2＝5，x1x2＝﹣7 B．， C．， D．， 【解答】解：根据题意有：，， 故选：C． 6．（4分）已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【解答】解：∵点P（a，c）在第四象限， ∴a＞0，c＜0， ∴ac＜0， ∴方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根． 故选：A． 7．（4分）已知k是方程x2+3x﹣2＝0的一个实数根，则代数式的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 【解答】解：∵k是方程x2+3x﹣2＝0的一个实数根， ∴k2+3k﹣2＝0，显然k≠0，两边同时除以k，得：， ∴k2+3k＝2，， ∴， 故选：B． 8．（4分）随着科技的不断发展和人们对环保的日益重视，新能源汽车越来越受到大家的青睐，某品牌新能源汽车经销商统计了今年第一季度的销售量（如图所示），若该品牌汽车的销售量月平均增长率为x，则根据图中信息，得到x所满足的方程是（　　） A．200（1+x）2＝242 B．242（1+x）2＝200 C．2（1+x）＝242÷200 D．2x＝242﹣200 【解答】解：由题意得：200（1+x）2＝242． 故选：A． 9．（4分）如图1，能保证使△ACD与△ABC相似的条件是（　　） A．AC2＝AD•AB B．CD：AD＝BC：AC C．AC：CD＝AB：BC D．CD2＝AD•DB 【解答】解：∵在△ACD和△ABC中，∠A＝∠A， ∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是：， ∴AC2＝AD•AB． 故选：A． 10．（4分）若菱形两条对角线的长度是方程的两个实数根，则菱形的边长为（　　） A． B．4 C． D．5 【解答】解：∵x2﹣3x+4＝0， ∴x＝2或x＝4， ∴该菱形的对角线长分别为2或4， ∴由勾股定理可知：菱形的边长为， 故选：A． 11．（4分）如图，D是△ABC的边BC的中点，F是AD上一点，且AF：FD＝1：2，连接BF并延长，交AC于点E，则AE：CE的值为（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．3：4 【解答】解：如图，过点D作DH∥BE，交AC于H， 则， ∵D是△ABC的边BC的中点， ∴CD＝DB， ∴CH＝HE， ∵DH∥BE， ∴AE：EH＝AF：FD＝1：2， ∴AE：CE＝1：4， 故选：C． 12．（4分）如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形（　　） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ABC＝∠D＝∠DCB＝90°， ∴∠PCF＝90°， ∵BE⊥EF， ∴∠BEF＝90°， ∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠DEP＝90°， ∴∠ABE＝∠DEP， ∵AD∥BC， ∴∠DEP＝∠F， ∴∠ABE＝∠DEP＝∠F， ∴△ABE∽△DEP∽△EFB∽△CFP， ∴图中共有相似三角形有6对， 故选：A． 二、细心填一填（本题共8小题，满分32分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）。 13．（4分）的算术平方根是 　　 ． 【解答】解：，的算术平方根为， 故答案为：． 14．（4分）已知，则的值为 　　 ． 【解答】解：∵， ∴b＝4a， ∴． 故答案为：． 15．（4分）计算的结果是　2　 ． 【解答】解：原式 ＝2， 故答案为：2． 16．（4分）已知是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c＝ 　1　 ． 【解答】解：将x代入原方程得：（）2﹣4×（）+c＝0， 解得：c＝1． 故答案为：1． 17．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝7，AB＝4，DF平分∠ADC交BC于点F，AF⊥EF，则EF的长为　5　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝4，∠B＝∠C＝∠ADC＝90°， ∵DF平分∠ADC， ∴∠FDC＝45°， ∴△DFC是等腰直角三角形， ∴CD＝CF＝4， ∴AB＝CF，BF＝7﹣4＝3， ∵AF⊥EF， ∴∠AFB+∠CFE＝90°＝∠AFB+∠BAF， ∴∠BAF＝∠CFE， ∴△ABF≌△FCE（ASA）， ∴BF＝CE＝3， ∴EF5， 故答案为：5． 18．（4分）如图，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截取一个矩形（图中阴影部分所示），使留下的矩形与原矩形相似，则留下的矩形面积为　27　 cm2． 【解答】解： ∵矩形ABCD和矩形EFCD相似， ∴， ∴， 解得：DE（cm）， ∵DC＝6cm， ∴留下的矩形EFCD的面积为DE×DC6＝27（cm2）， 故答案为：27． 19．（4分）若正数a是关于x的一元二次方程x2﹣7x+m＝0的一个实数根，﹣a是关于x的一元二次方程x2+7x﹣m＝0的一个实数根，则a的值为 　7　 ． 【解答】解：∵正数a是关于x的一元二次方程x2﹣7x+m＝0的一个根， ∴a2﹣7a+m＝0①， ∵﹣a关于x的方程一元二次方程x2+7x﹣m＝0的一个根， ∴a2﹣7a﹣m＝0②， 由①②可得m＝0， ∴a2﹣7a＝0， ∴a＝0或a＝7， ∵a是正数， ∴a＝7， 故答案为：7． 20．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为　3　 ． 【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3， ∴阴影部分的面积为9＝6， ∴空白部分的面积为9﹣6＝3， 由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF， ∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为3， ∠CBE＝∠DCF， ∵∠DCF+∠BCG＝90°， ∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°， 设BG＝a，CG＝b，则ab， 又∵a2+b2＝32， ∴a2+2ab+b2＝9+6＝15， 即（a+b）2＝15， ∴a+b，即BG+CG， ∴△BCG的周长3， 故答案为：3． 三、耐心做一做，相信你能写出正确的解答过程（共70分，注意审题要细心，书写要规范和解答要完整）。 21．（20分）计算： （1）； （2）已知，，求的值． 解方程： （3）3x2﹣5x﹣2＝0； （4）4x2+12x﹣1147＝0． （3）依据题意，由3x2﹣5x﹣2＝0，则（3x+1）（x﹣2）＝0，进而计算可以得解； （4）依据题意，由4x2+12x﹣1147＝0，则（2x﹣31）（2x+37）＝0，进而计算可以得解． 【解答】解：（1） ＝（3）（） ＝36 ． （2）由题意，∵，， ∴x﹣y＝222，xy＝（2）（2）＝4﹣3＝1，x+y＝224． ∴． （3）∵3x2﹣5x﹣2＝0， ∴（3x+1）（x﹣2）＝0． ∴x或x＝2． （4）∵4x2+12x﹣1147＝0， ∴（2x﹣31）（2x+37）＝0． ∴x或x． 22．（20分）（1）如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC＝1m．已知某一时刻BC在地面的影长CN＝1.5m，AC在地面的影长CM＝4.5m，求窗户的高度． （2）在国家政策的积极扶持下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐渐上升．某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间发现后，当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【解答】解：（1）∵BN∥AM， ∴∠CBN＝∠A，∠CNB＝∠M， ∴△CBN∽△CAM， ∴， ∴， 解得：CA＝3（m）， ∴AB＝3﹣1＝2（m）， 答：窗户的高度为2m； （2）解：设下调后每辆汽车的售价y万元，每辆汽车的销售利润为（y﹣15）万元时， （8）（y﹣15）＝96， 整理可得：y2﹣44y+483＝0，解得：y1＝21，y2＝23， 因为要尽量让利顾客，所以y＝21． 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 23．（10分）如图，将矩形纸片ABCD（AD＞AB）折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F． （1）判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论； （2）若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠GFE＝∠FEC， ∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折线， ∴∠GEF＝∠FEC， ∴∠GFE＝∠FEG， ∴GF＝GE， ∵图形翻折后EC与GE完全重合， ∴EG＝EC， ∴GF＝EC， ∴四边形CEGF为平行四边形， ∴四边形CEGF为菱形； （2）由（1）得四边形CEGF是菱形，当点F与D重合时，EC的值最小， 此时CE＝CD＝AB＝3． 如图2，当G与A重合时，CE取最大值， 由折叠的性质得AE＝CE， ∵∠B＝90°， ∴AE2＝AB2+BE2，即CE2＝32+（9﹣CE）2， ∴CE＝5， ∴线段CE的取值范围3≤CE≤5． 24．（10分）（1）问题再现： 学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是12﹣x和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段AB的长，进而求得的最小值是 　13　 ； （2）应用 如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若AE＝8，连接HC，则HC+AB的最小值是 　　 ； （3）类比迁移 已知a，b均为正数，且a﹣b＝6，求的最大值． 【解答】解：（1）如图，AC＝2+3＝5，BC＝x+12﹣x＝12， 由勾股定理，得AB13， ∴的最小值是 13， 故答案为：13； （2）如图， 设这4个全等直角三角形的短边为x，则AH＝x，HG＝8﹣x， 由勾股定理，得AB， 由勾股定理，得HC， 则HC+AB， 构造图形如下： ∵MN＝GH＝8，NH＝8，∠MNH＝∠GHN＝90°， 设NP＝x，则PH＝8﹣x， 可得MPAB，PGHC， ∴HC+AB＝MP+PG≥MG， ∴HC+AB的最小值为MG的长， 过点M作MQ⊥GH交GH延长线于Q，则MN∥QH，MQ∥HN， ∴QM＝HN＝8，QH＝MN＝8， ∴QG＝16， 由勾股定理MG， ∴HC+AB的最小值为， 故答案为：； （3）模仿（1）可知，构造图形如下： 矩形AEBF中，CD⊥BE于C，AF＝2，BF＝a，BC＝1，CD＝b， 在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB， 在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD， ∴AB﹣BD， 即的值最大，就是AB﹣BD的值最大， ∵AB﹣BD≤AD， ∴AB﹣BD的最大值为AD， 过点D作DG⊥AE于点G， 则AG＝AE﹣GE＝FB﹣CD＝a﹣b＝6，DG＝CE＝BE﹣BC＝AF﹣BC＝2﹣1＝1， 在Rt△ADG中，由勾股定理，得AD， 故的最大值为． 25．（10分）在直角△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC边上，连接BE，作∠ACF＝∠CBE交AB于点F，同时点D在BE上，且CD⊥AB． （1）已知：如图，，． ①求证：△ACF≌△BCD． ②求的值． （2）若，，则的值是多少（直接写出结果） 【解答】证明：（1）①∵∠ACB＝90°，，CG⊥AB， 由等腰三角形的三线合一的性质可得：CD是∠ACB的角平分线，∠BCD＝45°， 在△CAF与△BCD中， ， ∴△ACF≌△BCD； ②由①可知：∠AFC＝∠CDB， ∴∠CFB＝∠CDE， ∵∠CBF＝∠ECD＝45°， ∴△CDE∽△BFC， ∴； （2）∵， ∵，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$