第1章 二次函数 单元检测试卷2025-2026学年浙教版九年级数学上册

第1章《二次函数》单元检测试卷2025-2026学年浙教版九年级数学上册 全卷共三大题，24小题，满分为120分． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．下列关于抛物线的说法，正确的是（ ） A．开口向下 B．顶点坐标是 C．有最小值1 D．对称轴是直线 2 .已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列关于此函数图象的描述中， 其中错误的是（ ） A．对称轴是直线x＝1 B．当x＜0时，函数y随x增大而增大 C．图象的顶点坐标是（1，4） D．图象与x轴的另一个交点是（4，0） 3．关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A．图象与y轴的交点坐标为 B．图象的对称轴为 C．当时，y随x的增大而减小 D．y有最大值3 4．将抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位，则平移后的抛物线解析式为（ ） A． B． C． D． 5． 已知抛物线，若点，，都在该抛物线上， 则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 6． 已知A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）在函数y=﹣5（x+1）2+3的图象上， 则y1、y2、y3的大小关系是（ ） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1 7．抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 8. 如图，抛物线与直线相交于点和， 若，则的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 9. 二次函数（）的图象如图所示， 则一次函数（）与反比例函数（） 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A．B．C．D． 10.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论： ①abc＞0；②b-a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）， 其中结论正确的有（ ） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤ 2、 填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分） 11．二次函数y＝x2－4x＋1图象的对称轴是直线 ． 12．某超市以每件10元的进价购进200件玩具，销售人员预期最近的促销活动， 单价是19元时只能卖出100件，而单价每降低1元则可以多卖出20件， 那么单价是________元时，此次促销活动的预期获利最大． 13.如图，抛物线与轴交于点，与轴交于A，两点， 则该抛物线的解析式是______． 14.无论自变量x取什么实数，二次函数的函数值总是正数， 则m的取值范围是 ． 15. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线， 若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间_________s． 16.二次函数（）的图象如图所示，则下列结论： ①＞0；②b＞0；  ③  ＞0；④ b2-4ac＞0，其中正确的个数是____________ 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），且与y轴交点的纵坐标为﹣3，求此抛物线的解析式． 18．已知抛物线经过点. (1)求此抛物线的函数解析式，并写出此抛物线的对称轴； (2)判断点是否在此抛物线上. 19．如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米． (1)求水流运行轨迹的函数解析式； (2)若在距喷灌架米处有一棵米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明． 20．如图，二次函数的图象与轴交于，两点， 点为二次函数的图象与轴的交点． (1) 求二次函数的表达式； (2) 若点为二次函数图象上的一点，且，求点的坐标． 21. 下图是某地一拱桥，大桥上的桥拱是抛物线的一部分，位于桥面上方部分的拱高约为， 跨度约为． (1)请你建立恰当的平面直角坐标系，求出可以近似描述主桥上的拱桥形状的解析式． (2)求桥面上距离对称轴处的垂直支架的长度． 22. 如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5）． （1）求该二次函数的解析式； （2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．    23. 数学兴趣小组几名同学到某商场调查发现，一种纯牛奶进价为每箱40元， 厂家要求售价在40～70元之间，若以每箱70元销售平均每天销售30箱， 价格每降低1元平均每天可多销售3箱．老师要求根据以上资料，解答下列问题，你能做到吗？ （1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数关系； （2）写出平均每天销售利润W（元）与每箱售价x（元）之间的函数关系； （3）现该商场要保证每天盈利900元，同时又要使顾客得到实惠，那么每箱售价为多少元？ （4）你认为每天赢利900元，是牛奶销售中的最大利润吗？为什么？ 24.在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C． 且点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点． 当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标； （3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点， 是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 参考解答 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 2 .【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】D 5. 【答案】A 6.【答案】C 7．【答案】C 8.【答案】C 9.【答案】A 10.【答案】B 3、 填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分） 11．【答案】 12．【答案】17 13.【答案】 14.【答案】 15.【答案】2 16.【答案】.①④ 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：∵抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣1）， ∴设抛物线解析式为：y＝a(x＋1)2﹣1， ∵抛物线图象经过（0，﹣3）， ∴a(0＋1)2﹣1＝﹣3， 解得a＝﹣2， 所以，此抛物线解析式为y＝﹣2(x＋1)2﹣1． 18．（1）解：将点代入， 得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）当时，， ∴点不在此抛物线上． 19．（1）解：由题可知：抛物线的顶点为， 设水流形成的抛物线为， 将点代入可得， ∴抛物线为： ． （2）不能，理由如下： 当时，， ∴水流不会碰到这棵果树． 20．（1）解：∵二次函数的图象与轴相交于，两点， ∴， 二次函数的解析式为； （2）解：∵二次函数的解析式为， ∴令，则， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴设点， ∴， 即， ∴解得：， ∴或． 21.解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系． 根据题意可知，桥拱顶点M的坐标为， 桥拱与桥面的交点坐标分别为，， 设抛物线的解析式为， 把，代入，得， 解得：， 所以主桥上桥拱形状的解析式为； （2）设桥面上距离对称轴处的垂直支架的长度等于h米， 那么距离桥面中心点36米处的点的坐标为或， 把代入中， 得． 所以桥面上距离对称轴处的垂直支架的长度为10米． 22.解：（1）根据题意，将点A（-1， 0）和点B（0，-5）代入解析式得 解得 ， ∴二次函数的表达式为， （2）令y=0，得二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标C（5, 0）. 由于P是对称轴上一点， 连结AB，由于， 要使△ABP的周长最小，只要最小 由于点A与点C关于对称轴对称，连结BC交对称轴于点P， 则= BP+PC =BC，根据两点之间，线段最短，可得的最小值为BC 因而BC与对称轴的交点P就是所求的点 设直线BC的解析式为，根据题意， 可得解得 所以直线BC的解析式为 因此直线BC与对称轴的交点坐标是方程组的解， 解得 所求的点P的坐标为（2，-3） 23.（1）y＝30+3（70﹣x）＝﹣3x+240； （2）w＝（x﹣40）（﹣3x+240）＝﹣3x2+360﹣9600； （3）当w＝900时， （x﹣40）（﹣3x+240）＝900 整理得：x2﹣120x+3500＝0 ∴x1＝50，x2＝70， ∵要使顾客得到实惠， ∴x＝70舍去 ∴每箱价格定为50元； （4）由w＝（x﹣40）（﹣3x+240） ＝﹣3x2+360﹣9600得 w＝﹣3（x﹣60）2+1200 w最大＝1200（元） ∴赢利900元不是销售的最大利润． 24.解：（1）将A的坐标（﹣1，0），点C的坐（0，5）代入y＝﹣x2＋bx＋c得： ，解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋4x＋5； （2）过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，过P作PH⊥BC于H，如图： 在y＝﹣x2＋4x＋5中，令y＝0得﹣x2＋4x＋5＝0， 解得x＝5或x＝﹣1， ∴B（5，0）， ∴OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形， ∴∠CBO＝45°， ∵PD⊥x轴， ∴∠BQD＝45°＝∠PQH， ∴△PHQ是等腰直角三角形， ∴PH＝， ∴当PQ最大时，PH最大， 设直线BC解析式为y＝kx＋5，将B（5，0）代入得0＝5k＋5， ∴k＝﹣1， ∴直线BC解析式为y＝﹣x＋5， 设P（m，﹣m2＋4m＋5），（0＜m＜5），则Q（m，﹣m＋5）， ∴PQ＝（﹣m2＋4m＋5）﹣（﹣m＋5）＝﹣m2＋5m＝﹣（m﹣）2＋， ∵a＝﹣1＜0， ∴当m＝时，PQ最大为， ∴m＝时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P（，）； （3）存在，理由如下： 抛物线y＝﹣x2＋4x＋5对称轴为直线x＝2， 设M（s，﹣s2＋4s＋5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5）， ①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，如图： ∴，解得， ∴M（3，8）， ②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，如图： ∴，解得， ∴M（﹣3，﹣16）， ③以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，如图： ，解得， ∴M（7，﹣16）； 综上所述，M的坐标为：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）． 学科网（北京）股份有限公司 $$