专题02 利用勾股定理求立体图形中的最短路径（举一反三专项训练）数学北师大版2024八年级上册

专题02 利用勾股定理求立体图形中的最短路径（举一反三专项训练） 【北师大版2024】 【题型1 利用勾股定理求正方体中的最短路径】 1 【题型2 利用勾股定理求长方体中的最短路径】 3 【题型3 利用勾股定理求圆柱中的最短路径】 5 【题型4 利用勾股定理求圆锥中的最短路径】 7 【题型1 利用勾股定理求正方体中的最短路径】 1．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，一只蚂蚁从边长是正方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它需要爬行的最短路线的长是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图是一个棱长为的正方体木箱，点在上底面的棱上，，一只蚂蚁从点出发沿木箱表面爬行到点，则蚂蚁爬行的最短路程是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点 A出发，经过3个面爬行到点B，则它运动的最短路径的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山东青岛·期中）棱长分别为，的两个正方体如图放置，点A，B，C在同一直线上，顶点E在棱BF上，点P是棱DK的靠近点D的三等分点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是（   ） A． B． C． D． 5．（2023·江苏南京·一模）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点M到点N的所有路径中，最短路径的长是（    ） A．5 B． C． D． 6．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，的中点为M，一只蚂蚁从盒外的点D沿正方体的盒壁爬到盒内的点M（盒壁的厚度不计），蚂蚁爬行的最短距离是 ． 7．（2025·江苏南京·一模）如图，A，B分别是棱长为1的正方体两个相邻的面的中心．将这个正方体的表面展开成平面图形后，点A，B之间的最大距离是 ． 8．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是 ． 9．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）如图，在棱长为的正方体上有一些线段，把所有的面都分成9个小正方形，每个小正方形的边长都为．若一只蚂蚁每秒爬行，则它从下底面点沿表面爬行至右侧点最少要花多长时间？    【题型2 利用勾股定理求长方体中的最短路径】 1．（2025八年级下·河南·专题练习）如图，长方体的底面是边长为6的正方形，侧面都是长为13的长方形，点是的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，点在棱上，且，点是的中点，一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点爬行到点，它需要爬行的最短路程为(　　) A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期中）将长方形纸片按如图所示折叠，已知，则蚂蚁在纸片上从点处爬到点处需要走的最短路程是（   ） A． B． C．10 D． 4．（22-23八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．则蚂蚁经过的最短路程 cm 5．长方体敞口玻璃罐，长、宽、高分别为16cm、6cm和6cm，在罐内点处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁，在长方形中心的正上方2cm处，则蚂蚊到达饼干的最短距离是 cm． 6．（24-25八年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图，在一个长4米，宽2米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为40厘米的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 米． 7．（22-23八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一个底面为正方形的无盖长方形盒子的长、宽、高分别为，，，即，，现在顶点处有一滴蜜糖，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从顶点爬到处去吃蜜糖，求需要爬行的最短距离．（注：底面可以爬行） 【题型3 利用勾股定理求圆柱中的最短路径】 1．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，在圆柱表面的高上有一点，，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆柱的表面爬行到点的最短路程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点E在上，，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为（   ）．（边缘部分的厚度忽略不计） A．25 B． C．35 D． 3．（23-24八年级上·贵州黔东南·开学考试）如图所示，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一母线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕圈到点，则这根棉线的长度最短为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·河南商丘·期末）如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是 ． 5．（2025九年级下·全国·专题练习）2024年12月4日，我国的“春节”申遗成功，为了增添节日气氛，小刚家计划购买一条彩带，按如图所示的方式从圆柱的点处缠绕到圆柱的点处（点在下底面，点在上底面，点在点的正上方），若圆柱的底面周长为，高为，则需要购买彩带的长度最短为 ． 6．如图，圆柱的底面周长为24厘米，高为5厘米，是底面直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点的最短路程是 ． 7．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程． 8．（24-25八年级下·山东潍坊·阶段练习）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是______； (2)应用二：解决实际问题． 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【题型4 利用勾股定理求圆锥中的最短路径】 1．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为 ，母线长为30，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（    ） v   A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·全国·期末）如图，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，是母线的中点，则在圆锥的侧面上从点到点的最短路线的长为 ． 3．（24-25九年级下·全国·期末）如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为，母线长为．在母线上的点A处有一块爆米花残渣，且，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离为 ． 4．（22-23九年级上·河北保定·期末）如图，小明用半径为20，圆心角为的扇形，围成了一个底面半径r为5的圆锥. （1）扇形的圆心角为 ； （2）一只蜘蛛从圆锥底面圆周上一点A出发，沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是 . 5．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）已知圆锥的底面半径为，高，现有一只蚂蚁从底边上一点A出发，在侧面上爬行一周后又回到A点． (1)求圆锥的全面积； (2)求蚂蚁爬行的最短距离． 6．如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫P从A点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点C，求小虫爬行的最短距离是多少?    2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 利用勾股定理求立体图形中的最短路径（举一反三专项训练） 【北师大版2024】 【题型1 利用勾股定理求正方体中的最短路径】 1 【题型2 利用勾股定理求长方体中的最短路径】 7 【题型3 利用勾股定理求圆柱中的最短路径】 14 【题型4 利用勾股定理求圆锥中的最短路径】 21 【题型1 利用勾股定理求正方体中的最短路径】 1．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，一只蚂蚁从边长是正方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它需要爬行的最短路线的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理计算即可得出答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意得，， ∵展开后由勾股定理得：， ∴它需要爬行的最短路线的长是， 故选：． 2．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图是一个棱长为的正方体木箱，点在上底面的棱上，，一只蚂蚁从点出发沿木箱表面爬行到点，则蚂蚁爬行的最短路程是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】此题考查的是勾股定理之最短路径问题，掌握两点之间线段最短和利用勾股定理求边长是解决此题的关键．将正方体上表面如图展开，根据两点之间，线段最短，即可得到：展开图有三种形式，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】解：依题意，展开图有三种形式： 或 ∵ 蚂蚁爬行的最短路程． 故选：C． 3．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点 A出发，经过3个面爬行到点B，则它运动的最短路径的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最短路径问题以及勾股定理，先将正方体展开，然后找出最短路线，利用勾股定理直接计算即可． 【详解】解：如图，将正方体的三个侧面展开，连接，则最短， ∴． 故选：C． 4．（24-25八年级上·山东青岛·期中）棱长分别为，的两个正方体如图放置，点A，B，C在同一直线上，顶点E在棱BF上，点P是棱DK的靠近点D的三等分点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面展开最短问题．求出两种展开图的值，比较即可判断． 【详解】解：如图，，有两种展开方法： 方法一：， 方法二：． 故需要爬行的最短距离是． 故选：D． 5．（2023·江苏南京·一模）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点M到点N的所有路径中，最短路径的长是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】先画出侧面展开图，根据两点之间践段最短，利用勾股定理求出线段的长即可． 【详解】将第一层小正方体的顶面和正面，以及第二层小正方体的顶面和正面展开，如下图， 连接， 则最短路径， 故选A 【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，以及勾股定理，正确画出侧面展开图，确定两点之间线段最短是解题的关键． 6．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，的中点为M，一只蚂蚁从盒外的点D沿正方体的盒壁爬到盒内的点M（盒壁的厚度不计），蚂蚁爬行的最短距离是 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是勾股定理的应用—最短路径问题，解答此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，在平面图形上构造直角三角形解决问题；画出侧面展开图，得出蚂蚁从盒外的D点沿正方形的表面爬到盒内的M点，蚂蚁爬行的最短距离是如图的长度，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：将立方体展开，得到如下图形，此时即为所求， 由题意，可知：， ∴； 故答案为：5． 7．（2025·江苏南京·一模）如图，A，B分别是棱长为1的正方体两个相邻的面的中心．将这个正方体的表面展开成平面图形后，点A，B之间的最大距离是 ． 【答案】 【分析】该题考查了勾股定理和正方体展开图，根据题意和正方体的11种表面展开图的特征得出要使点A，B之间的最大距离则时则点A，B最远，结合题意画出展开图求解即可． 【详解】解：根据点A，B的位置关系和正方体的表面展开图可得：当点A，B的位置在如图所示位置时，点A，B之间的最大距离， 点A，B之间的最大距离， 故答案为：． 8．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，以及勾股定理，正确画出侧面展开图，确定两点之间线段最短是解题的关键． 先画出侧面展开图，根据两点之间践段最短，利用勾股定理求出线段的长即可． 【详解】解：向正表面展开，如图， ∴最短路径的长是， 向左表面展开，如图， ∴最短路径的长是， 向上表面展开，如图， ∴最短路径的长是， ∵， ∴最短路径的长是， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）如图，在棱长为的正方体上有一些线段，把所有的面都分成9个小正方形，每个小正方形的边长都为．若一只蚂蚁每秒爬行，则它从下底面点沿表面爬行至右侧点最少要花多长时间？    【答案】 【分析】把正方形的点所在的面展开，然后在平面内，由于展开图有两种情况：在直角三角形中，一条直角边长等于5，另一条直角边长等于2；一条直角边长等于4，另一条直角边长等于3；利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．再比较即可得到答案． 【详解】解：如图所示，分两种情况讨论： ①如图1，将正方体的正前和右侧两面展开，使点，在同一平面内．则点到点的最短路径是线段， 由题意，得，， 根据勾股定理，得； ②如图2，将正方体的正前和上底两面展开，使点，在同一平面内，则点到点的最短路径为线段， 由题意，得，， 根据勾股定理．得． ∵， ∴图1中的路径最短， ∴这只蚂蚁至少要爬行的时间为．      【点睛】本题考查了勾股定理的拓展应用，“化曲面为平面”是解决“怎么爬行最近”这类问题的关键． 【题型2 利用勾股定理求长方体中的最短路径】 1．（2025八年级下·河南·专题练习）如图，长方体的底面是边长为6的正方形，侧面都是长为13的长方形，点是的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开-最短问题，勾股定理及两点之间线段最短，将棱柱展开，根据两点之间线段最短即可得到最短路径，利用勾股定理解答即可，将棱柱的侧面展开图正确画出来是解题的关键． 【详解】解：当沿着正面和侧面爬行时，如图所示， ∵棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点， ∴， ∴； 当沿着正面和上底面爬行时，如图所示， ∵棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点， ∴， ∴； ∵， ∴要爬行的最短路程的值为． 故选：． 2．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，点在棱上，且，点是的中点，一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点爬行到点，它需要爬行的最短路程为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面展开图有三种情况需要比较，画出图形利用勾股定理求出的长，然后作比较即可． 【详解】解：如图1中， ∴ ()， 如图2中， ∴ ()， 如图3中，，， ∴()， ∵ ∴一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有三种情况分析得出是解题关键. 3．（24-25八年级上·吉林长春·期中）将长方形纸片按如图所示折叠，已知，则蚂蚁在纸片上从点处爬到点处需要走的最短路程是（   ） A． B． C．10 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用和两点之间线段最短等问题，解题关键是展开该矩形纸片．本题可以利用勾股定理计算展开后的长度，则即为所求． 【详解】解：如图，展开长方形，由题意得，，， ∴， ∴蚂蚁在纸片上从点处爬到点处需要走的最短路程是， 故选： ． 4．（22-23八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．则蚂蚁经过的最短路程 cm 【答案】 【分析】最短路线可放在平面内根据两点之间线段最短去求解，蚂蚁爬的两个面可以放平面内成为一个长方形，根据勾股定理去求解． 【详解】解：的长就为最短路线． 如图1，若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为， 如图2，若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为， 如图3，若蚂蚁沿左面和上面爬行，则经过的路程为； ∵ ， ∴所以蚂蚁经过的最短路程是 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，勾股定理的应用，关键是把立体图形能够展成平面图形求解． 5．长方体敞口玻璃罐，长、宽、高分别为16cm、6cm和6cm，在罐内点处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁，在长方形中心的正上方2cm处，则蚂蚊到达饼干的最短距离是 cm． 【答案】 【分析】把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：若蚂蚁从平面和平面经过， 蚂蚁到达饼干的最短距离，如图1 由题意可得：，， ， 若蚂蚁从平面和平面经过， 蚂蚁到达饼干的最短距离，如图2 由题意可得：，， ∵ 最短距离为， 故答案为： 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是明确两点之间线段最短，然后将长方体放到一个平面内，进行分类讨论，利用勾股定理进行求解． 6．（24-25八年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图，在一个长4米，宽2米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为40厘米的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、平面展开—最短路径问题，由题意可得，将木块展开，相当于是个正方形的宽，求出展开后的长为米，宽为2米，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：由题意可得，将木块展开，相当于是个正方形的宽，如图所示： ， ∴展开后的长为米，宽为2米， ∴最短路径为米， ∴一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程米， 故答案为：． 7．（22-23八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一个底面为正方形的无盖长方形盒子的长、宽、高分别为，，，即，，现在顶点处有一滴蜜糖，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从顶点爬到处去吃蜜糖，求需要爬行的最短距离．（注：底面可以爬行） 【答案】蚂蚁爬行的最短距离为 【分析】根据图形可知长方体的四个侧面都相等，所以分两种情况进行解答即可． 【详解】解：分两种情况： 如图，连接， 在中，，， 根据勾股定理得：； ②如图，连接， 在中，，， 根据勾股定理得：； 蚂蚁爬行的最短距离为 ． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用－求最短距离，读懂题意，熟悉立体图形的侧面展开图是解本题的关键． 【题型3 利用勾股定理求圆柱中的最短路径】 1．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，在圆柱表面的高上有一点，，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆柱的表面爬行到点的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题，以及勾股定理的应用．首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长为，求出的值；再在中，根据勾股定理求出的长，即可解得． 【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示， 圆柱的底面周长为， ． ，， ， 在中，， ， 即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是． 故选：B． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点E在上，，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为（   ）．（边缘部分的厚度忽略不计） A．25 B． C．35 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径为的半圆的弧长，矩形的长等于． 【详解】解：将半圆柱展开，如图：，，， ， ∴， 解得（负值舍去），即他滑行的最短距离约为． 故选：A． 3．（23-24八年级上·贵州黔东南·开学考试）如图所示，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一母线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕圈到点，则这根棉线的长度最短为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆柱的计算、侧面展开——路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：圆柱体的展开图如下图所示：用一根棉线从顺着圆柱侧面绕圈到的运动最短路线是：， 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成个小长方形，从沿着个长方形的对角线运动到的路线最短． 圆柱底面半径为， 长方形的宽即圆柱体的底面周长为：， 又圆柱高为， 小长方形的一条边长是， 根据勾股定理求得， ， 故选：B． 4．（23-24八年级下·河南商丘·期末）如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是 ． 【答案】15 【分析】本题考查圆柱的展开图、最短路径问题、勾股定理，理解题意，灵活运用两点之间线段最短解决最短路径问题是解答的关键．先将圆柱侧面展开得到长为，宽是的长方形，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将圆柱侧面展开得到长为，宽是的长方形，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最小长度是的长度， 由勾股定理得，解得， 则这条丝线的最小长度是， 故答案为：15． 5．（2025九年级下·全国·专题练习）2024年12月4日，我国的“春节”申遗成功，为了增添节日气氛，小刚家计划购买一条彩带，按如图所示的方式从圆柱的点处缠绕到圆柱的点处（点在下底面，点在上底面，点在点的正上方），若圆柱的底面周长为，高为，则需要购买彩带的长度最短为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开—最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解题的关键．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高，在展开图中，根据题意，利用两点之间线段最短，求出即可． 【详解】解：圆柱体的侧面展开图如图所示， 在中，， 同理求得 最短长度为 故答案为：． 6．如图，圆柱的底面周长为24厘米，高为5厘米，是底面直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点的最短路程是 ． 【答案】厘米 【分析】本题考查了平面展开，最短路径问题，将图形展开和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知长即蚂蚁爬行的最短路程，再利用勾股定理求解，即可求得答案． 【详解】解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为， 则弧， 又因为， 所以， 故答案为：厘米． 7．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程． 【答案】26 【分析】本题主要考查平面展开，最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理求出新矩形的对角线长即可． 【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，图形长度增加半圆周长， 原图长度增加， 则， 连接， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·山东潍坊·阶段练习）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是______； (2)应用二：解决实际问题． 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1) (2)绳索的长为 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握最短路的计算，勾股定理的计算方法是关键． （1）根据题意可得圆柱底面圆的周长为，由展开图可得即为最短路径，由勾股定理即可求解； （2）根据题意得到四边形是矩形，如图所示，过点作，四边形，是矩形，则，，设，则，在中由勾股定理得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：圆柱的底面半径为， ∴圆柱底面圆的周长为， 如图所示，即为最短路径，，， ∴， ∴最短的路线长是， 故答案为：； （2）解：根据题意，， ∴四边形是矩形， ∴， 如图所示，过点作， ∴， ∴四边形，是矩形， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴绳索的长为． 【题型4 利用勾股定理求圆锥中的最短路径】 1．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为 ，母线长为30，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（    ） v   A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥的底面圆周长求得半径为，根据母线长求得展开后的扇形的圆心角为，进而即可求解． 【详解】解：∵这个圆锥的底面圆周长为 ， ∴ 解得： ∵ 解得： ∴侧面展开图的圆心角为 如图所示，即为所求，过点作， ∵，，则 ∵，则 ∴，，    故选：B． 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理解直角三角形，求得侧面展开图的圆心角为解题的关键． 2．（24-25九年级下·全国·期末）如图，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，是母线的中点，则在圆锥的侧面上从点到点的最短路线的长为 ． 【答案】 【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以为一边，将圆锥展开，就得到一个以为圆心，以为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后，连接，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：圆锥底面是以为直径的圆，圆的周长是， 以为一边，将圆锥展开，就得到一个以为圆心，以为半径的扇形，弧长是， 设展开后的圆心角是，则， 解得：， 即展开后，，， 则在圆锥的侧面上从点到点的最短路线的长就是展开后线段的长， 由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 3．（24-25九年级下·全国·期末）如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为，母线长为．在母线上的点A处有一块爆米花残渣，且，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离为 ． 【答案】10 【分析】考查了平面展开-最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：， 底面周长， 将圆锥侧面沿剪开展平得一扇形，此扇形的半径，弧长等于圆锥底面圆的周长设扇形圆心角度数为，则根据弧长公式得： 即展开图是一个半圆， 点是展开图弧的中点， 连接，则就是蚂蚁爬行的最短距离， 在中由勾股定理得， 即蚂蚁爬行的最短距离是． 故答案为：10． 4．（22-23九年级上·河北保定·期末）如图，小明用半径为20，圆心角为的扇形，围成了一个底面半径r为5的圆锥. （1）扇形的圆心角为 ； （2）一只蜘蛛从圆锥底面圆周上一点A出发，沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是 . 【答案】 /90度 【分析】（1）由于圆锥的底面圆周长就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求出侧面展开图的圆心角； （2）根据两点之间线段最短，把圆锥的侧面展开成平面图形，构造直角三角形根据勾股定理即可求得． 【详解】解（1）圆锥的底面周长， ， 解得； 故答案为． （2）圆锥的侧面展开图如图所示，构造，根据两点之间线段最短得最短路程为：． 故答案为． 【点睛】本题考查了最短路径问题，根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径，在平面图形上构造直角三角形是解题的关键． 5．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）已知圆锥的底面半径为，高，现有一只蚂蚁从底边上一点A出发，在侧面上爬行一周后又回到A点． (1)求圆锥的全面积； (2)求蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求圆锥全面积，勾股定理，弧长公式， 对于（1），先根据勾股定理求出圆锥的母线，再根据得出答案； 对于（2），先根据弧长公式求出圆心角，可知该三角形是直角三角形，结合两点之间线段最短，再根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）解：∵． ∴在中，由勾股定理，得母线， ∴； （2）解：设扇形的圆心角为．由（1）知，， 而圆锥的侧面展开后的扇形的弧长为， ∴， 解得，即是等腰直角三角形． 在中，由勾股定理，得， ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 6．如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫P从A点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点C，求小虫爬行的最短距离是多少?    【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．将圆锥的侧面展开如图所示，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线． 【详解】如图，将圆锥侧面沿母线展开，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线．    ∵  ， ∴  ，即． ∵， ∴  ． ∴  小虫爬行的最短距离为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$