第15讲 函数的奇偶性（八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高一数学初升高暑假精品课（苏教版2019必修第一册）

第15讲 函数的奇偶性 【苏教版2019】 模块一 函数的奇偶性 1．函数的奇偶性 (1)定义： 定 义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非 偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域 特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价 形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔x∈I，- x∈I，且 f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. (3)奇、偶函数图象对称性的应用 ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 2．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 3．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 【题型1 函数奇偶性的判断】 【例1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【变式1.1】（24-25高一上·四川成都·期中）下列函数既是奇函数又在区间上递增的是（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高一上·江苏苏州·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1.3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【题型2 由函数奇偶性求函数值、解析式】 【例2】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）定义在R上的奇函数，当时，，那么时，（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）设是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式2.2】（24-25高一上·重庆·期中）已知为上的奇函数，当时，，则时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高一上·江苏盐城·期中）若奇函数和偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 由函数奇偶性求参数】 【例3】（24-25高一上·吉林·阶段练习）设是定义在上的奇函数，则（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【变式3.1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高一上·全国·课后作业）“”是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3.3】（24-25高一上·云南·期中）已知函数，若为奇函数，则（    ） A． B．12 C．14 D． 【题型4 函数奇偶性的应用】 【例4】（24-25高一上·吉林延边·期末）定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高一上·福建莆田·期中）设偶函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高一上·湖南常德·阶段练习）已知函数的定义域为R，值域为，若，函数为偶函数，，则（   ） A．4050 B．4552 C．4554 D．4556 【变式4.3】（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知偶函数的定义域为，对于任意 均有，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 模块二 函数的图象 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 3．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 【题型5 函数图象的识别与判断】 【例5】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）函数的图象大致形状是（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高一上·四川雅安·阶段练习）函数的大致图象如图所示，则可能是（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高一上·湖南·期中）若与均为定义在上的奇函数，则函数的部分图象可能为（    ） A． B． C． D． 【变式5.3】（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【题型6 函数图象的应用】 【例6】（24-25高一上·天津滨海新·期中）已知函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高一上·贵州六盘水·期中）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在区间上单调递减 D．的解集为 【变式6.2】（24-25高一上·山东聊城·期中）已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域都是，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式6.3】（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知定义域为的奇函数在的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C．在定义域上不存在最小值 D．在的最大值与最小值之和为 【题型7 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性】 【例7】（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）已知函数的定义域为R，，且当时，，则下列正确的是（    ） A．是偶函数 B．是周期函数 C．当时， D．当时， 【变式7.1】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，当时，．给出以下结论：①；②；③为上减函数；④为奇函数；其中正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①④ C．①② D．①②③④ 【变式7.2】（24-25高一下·贵州遵义·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．函数是奇函数 C．若，则 D．函数在单调递减 【变式7.3】（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 【题型8 函数性质的综合】 【例8】（24-25高一上·四川乐山·期中）已知函数定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式． 【变式8.1】（24-25高一上·广东中山·阶段练习）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)判断在上的单调性，并用定义证明． 【变式8.2】（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有 (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对 ，都有对恒成立，求实数的取值范围． 【变式8.3】（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数是定义在上的增函数，并且满足，． (1)求和的值； (2)判断函数的奇偶性； (3)解关于的不等式 一、单选题 1．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知定义域为的偶函数满足，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．10 2．（24-25高一上·云南大理·期末）下列函数中，是偶函数的是（    ） A．（） B． C． D． 3．（24-25高一上·广东·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）定义在上的奇函数，其图象关于对称，且时，，则（    ） A．0 B．3 C．6 D． 7．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 8．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数是上单调递增的奇函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数的定义域为，函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．为偶函数 C．是周期为4的函数 D． 10．（24-25高一上·河北承德·期末）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则（   ） A． B．的图象关于点对称 C． D． 11．（24-25高一上·湖北·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为减函数 D．为奇函数 三、填空题 12．（24-25高一上·北京·期中）偶函数在上满足，则当时， ． 13．（24-25高一上·山东威海·期末）已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 14．（24-25高一上·云南保山·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且，并满足，则 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 16．（24-25高一上·云南德宏·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)当时，求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明. 17．（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)利用函数的单调性和奇偶性，解不等式． 18．（24-25高一上·广东佛山·期末）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，若函数. (1)求曲线的对称中心； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明. 19．（24-25高一上·湖北·阶段练习）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 函数的奇偶性 【苏教版2019】 模块一 函数的奇偶性 1．函数的奇偶性 (1)定义： 定 义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非 偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域 特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价 形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔x∈I，- x∈I，且 f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. (3)奇、偶函数图象对称性的应用 ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 2．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 3．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 【题型1 函数奇偶性的判断】 【例1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【解题思路】求得函数定义域，去绝对值后根据奇函数定义判断即可. 【解答过程】由得，即可得， 所以函数的定义域为，关于原点对称. 又，可得是奇函数. 故选：B. 【变式1.1】（24-25高一上·四川成都·期中）下列函数既是奇函数又在区间上递增的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据常见函数的奇偶性、单调性判断各选项即可. 【解答过程】对于A，函数定义域为，奇函数，在上单调递减； 对于B，函数定义域为，偶函数，在上单调递减； 对于C，函数定义域为，奇函数，在上单调递增； 对于D，函数定义域为，奇函数，在上单调递减. 故选：C. 【变式1.2】（24-25高一上·江苏苏州·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】分离常数可得，利用平移规则以及奇函数定义可得结论. 【解答过程】易知， 显然是由函数向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到的， 而为奇函数，所以只需将逆向平移， 即向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得奇函数，即为奇函数. 故选：C. 【变式1.3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【解题思路】根据奇偶性的概念分别判断函数的奇偶性，再利用奇偶性的概念与性质逐项判断即可得结论. 【解答过程】函数的定义域为，则，所以函数是奇函数， 函数的定义域为，所以，则是偶函数， 所以，不能确定奇偶性，A错误； ，不能确定奇偶性，B错误； ，则是奇函数，C正确； ，则是偶函数，D错误． 故选：C. 【题型2 由函数奇偶性求函数值、解析式】 【例2】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）定义在R上的奇函数，当时，，那么时，（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数奇偶性以及时的解析式即可求得时的解析式. 【解答过程】当时，， 可得， 又因为为奇函数，所以，可得， 即时，. 故选：A. 【变式2.1】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）设是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 【解题思路】根据奇函数的定义可得，求出即可. 【解答过程】因为是定义在上的奇函数，且当时，， 所以. 故选：D. 【变式2.2】（24-25高一上·重庆·期中）已知为上的奇函数，当时，，则时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用奇函数的定义计算即可. 【解答过程】因为为上的奇函数，当时， 因为，所以， 所以. 故选：C. 【变式2.3】（24-25高一上·江苏盐城·期中）若奇函数和偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用奇函数和偶函数的性质可得出关于、的方程组，解出这两个函数的解析式，代值计算可得出的值. 【解答过程】因为奇函数和偶函数满足， 则， 即，解得， 因此，. 故选：C. 【题型3 由函数奇偶性求参数】 【例3】（24-25高一上·吉林·阶段练习）设是定义在上的奇函数，则（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【解题思路】由题设得，进而求出a，再检验即可. 【解答过程】因为是定义在上的奇函数， 所以，即，故， 此时，所以， 满足是定义在上的奇函数， 所以. 故选：B. 【变式3.1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】的对称中心为，根据为奇函数得到关于对称即可得解； 【解答过程】， 因为， 所以的对称中心为， 由题意得函数为奇函数关于对称， 则关于对称， 解得， 故选：A. 【变式3.2】（24-25高一上·全国·课后作业）“”是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】利用函数为奇函数求得，进而得到“”与“函数为奇函数”的逻辑关系. 【解答过程】若函数定义域为且为奇函数， 则，即， 经检验，当时，函数是奇函数， 而为奇函数时，不一定等于1， 故“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件． 故选：A. 【变式3.3】（24-25高一上·云南·期中）已知函数，若为奇函数，则（    ） A． B．12 C．14 D． 【解题思路】由奇函数的定义即可求解. 【解答过程】因为为奇函数，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，， 所以，，则. 故选：D. 【题型4 函数奇偶性的应用】 【例4】（24-25高一上·吉林延边·期末）定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意得到，的值与的单调性，再分类讨论，，，与五种情况，结合的性质即可得解. 【解答过程】因为函数是定义在上的奇函数，在区间上单调递增，且， 所以，，在上单调递增， 当时，成立； 当时，成立； 当，即时，，即有，可得； 当时，，，可得，可得； 当时，，，可得，可得； 综上，或，即的取值范围是. 故选：B. 【变式4.1】（24-25高一上·福建莆田·期中）设偶函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据偶函数的性质得到，再根据函数的单调性判断即可. 【解答过程】因为为偶函数，所以， 又在区间上单调递增，，所以， 则. 故选：B. 【变式4.2】（24-25高一上·湖南常德·阶段练习）已知函数的定义域为R，值域为，若，函数为偶函数，，则（   ） A．4050 B．4552 C．4554 D．4556 【解题思路】由条件证明为周期函数，周期为，再证明函数为偶函数，再结合函数性质求，利用加法的运算律求结论. 【解答过程】由可得，① 对任意的，，所以，，② 由①②可得，所以函数是周期为4的周期函数. 因为为偶函数，则， 因为，由可得， 且，由可得， 因为，所以，，故函数为偶函数， 因为，则，所以，， 由可得，因为，所以， 故选：C. 【变式4.3】（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知偶函数的定义域为，对于任意 均有，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可得在单调递减，又函数为偶函数，且 所以不等式等价于,即，解之即可. 【解答过程】因为的定义域为，且对于任意 均有， 所以在单调递减， 又函数为偶函数，且 由，得，等价于， 所以， 即， 解得：， 所以实数的取值范围是：， 故选：B. 模块二 函数的图象 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 3．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 【题型5 函数图象的识别与判断】 【例5】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）函数的图象大致形状是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数的奇偶性和函数值的符号可得正确的选项. 【解答过程】的定义域为，而， 因此为奇函数，故排除CD， 当时，，故排除B， 故选：A. 【变式5.1】（24-25高一上·四川雅安·阶段练习）函数的大致图象如图所示，则可能是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数图象，易得函数的定义域和对称性，奇偶性，再逐一判断各选项即得. 【解答过程】由图象可知，为奇函数且定义域为. 对于A,函数的定义域为关于原点对称，但，是偶函数，故A错误； 对于B，函数定义域为，与图象不符，故B错误； 对于C，函数定义域为关于原点对称，且，是奇函数，与图象符合，故C正确； 对于D，函数定义域为，与图象不符，故D错误； 故选：C. 【变式5.2】（24-25高一上·湖南·期中）若与均为定义在上的奇函数，则函数的部分图象可能为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先分析的奇偶性，然后直接判断即可. 【解答过程】因为与均为定义在上的奇函数， 所以， 又因为的定义域为且关于原点对称， 且， 所以为偶函数， 故图象关于轴对称且，符合要求的只有选项B， 故选：B. 【变式5.3】（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】求函数的定义域，研究其奇偶性及的符号即可判断. 【解答过程】由题意可得：的定义域为， 且， 所以函数在定义域上为奇函数，故排除选项B，D. 又因为，故排除选项C. 故选：A. 【题型6 函数图象的应用】 【例6】（24-25高一上·天津滨海新·期中）已知函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题设，将不等式化为，结合奇函数对称性及图象确定其解集. 【解答过程】由题设，即， 当时，， 由图可知，时，时， 当时，， 根据奇函数的对称性，有时，时， 所以，不等式的解集为. 故选：D. 【变式6.1】（24-25高一上·贵州六盘水·期中）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在区间上单调递减 D．的解集为 【解题思路】根据解析式和图像直接判断AB；对于C：结合奇函数性质分析判断；对于D：利用单调性解不等式即可. 【解答过程】对于选项A：显然函数的定义域为，故A错误； 对于选项B：由图象可知可以为负值，所以的值域不为，故B错误； 因为，可知为奇函数. 对于选项C：由图象可知：在区间上单调递增， 则在区间上单调递增，故C错误； 对于选项D：因为在区间上单调递增， 且，此时的解集为； 又因为在区间上单调递增， 且，此时的解集为； 综上所述：的解集为，故D正确； 故选：D. 【变式6.2】（24-25高一上·山东聊城·期中）已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域都是，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】不等式转化为或，再结合函数的性质和图象，即可求解. 【解答过程】由得：或 因为是偶函数，图象关于原点对称； 是奇函数，图象关于轴对称； 所以可得或， 解得或或， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 【变式6.3】（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知定义域为的奇函数在的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C．在定义域上不存在最小值 D．在的最大值与最小值之和为 【解题思路】利用为定义域在的奇函数，结合图象逐项进行判断即可. 【解答过程】对于A，由为定义域在的奇函数，则图象关于点对称，, 由图知，则，故A正确； 对于B，，为奇函数，则，故B正确； 对于C，由图知在的最大值为，则在的最小值为， 因此可得在定义域上存在最小值为，故C错误； 对于D，由在的最大值为，最小值为，则最大值与最小值之和为，故D正确. 故选：C. 【题型7 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性】 【例7】（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）已知函数的定义域为R，，且当时，，则下列正确的是（    ） A．是偶函数 B．是周期函数 C．当时， D．当时， 【解题思路】对于A，令，得，令，整理得到判定；对于B，先证明是增函数，可得不是周期函数判断；对于C，D运用单调性可判断. 【解答过程】对于A， 令，则，得， 令，得， 由整理可得， 由题干可知不恒为0，故， 即，故是奇函数，不是偶函数，A错误； 对于B，设，则， 则， 且， 故，则， 又，是奇函数，故是增函数， 由是增函数可得不是周期函数，故B错误； 对于C，时，，， ，，C错误； 对于D，时，， ，，D正确. 故选：D. 【变式7.1】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，当时，．给出以下结论：①；②；③为上减函数；④为奇函数；其中正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①④ C．①② D．①②③④ 【解题思路】利用抽象函数的关系式，令判断①的正误；令，判断②的正误；令，可得当时，，再令，结合单调性的定义判断③的正误；令判断④的正误； 【解答过程】因为， 故令，可得， 即，解得，故①正确； 令，，可得， 又， 即，解得， 再令，可得， 即，故②正确； 令，可得， 即 因为，则，可得，所以， 令，不妨设， 可得，即， 因为，则，则， 可得，即， 所以为上增函数，故③错误； 令，可得， 即，整理得， 所以为奇函数，故④正确； 故选：A． 【变式7.2】（24-25高一下·贵州遵义·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．函数是奇函数 C．若，则 D．函数在单调递减 【解题思路】对A，赋值法令求解；对B，赋值法结合奇函数的定义判断；对C，令求得函数的周期求解；对D，利用单调性定义结合赋值法求解判断. 【解答过程】对于A，令，可得，解得，故A错误； 对于B，令，可得，又， 则，所以函数是奇函数，故B正确； 对于C，令，得，则是周期函数，周期为2，所以，故C错误； 对于D，令，，且，则， 即，而时，与2大小不定，故D错误. 故选：B. 【变式7.3】（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 【解题思路】A选项，先令，可得，再令，可判断选项正误； B选项，令，结合定义域可判断选项正误； C选项，由题可判断在上单调递增，后由B选项分析可判断选项正误； D选项，由ABC选项可解不等式. 【解答过程】A选项，在中，令， 得，解得；再令， 得，解得，故A正确； B选项，令，得，所以， 又的定义域关于原点对称，所以是偶函数，故B正确； C选项，设，则，所以， 所以， 所以在上是增函数，因为是偶函数， 所以在上是减函数，从而，故C错误； D选项，因为是偶函数，则， 又在上是增函数，所以，解得，故D正确． 故选：C． 【题型8 函数性质的综合】 【例8】（24-25高一上·四川乐山·期中）已知函数定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式． 【解题思路】（1）由求得，再由求得，并检验； （2）根据单调性定义证明； （3）由奇偶性变形不等式，再由单调性求解． 【解答过程】（1）因为函数定义在上的奇函数，所以，， 所以，，所以， ，满足题意； 所以； （2）是上的增函数，证明如下： 设，则， 因为，所以，从而，而， 所以，即， 所以是上的增函数； （3）由题意是上的递增的奇函数， 由得， 所以，解得， 所以不等式的解集为． 【变式8.1】（24-25高一上·广东中山·阶段练习）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)判断在上的单调性，并用定义证明． 【解题思路】（1）利用赋值法先求出，再找到的关系，进而可证奇偶性; （2）借助函数单调性的定义，进行赋值证明即可. 【解答过程】（1）在上是奇函数，证明如下： 结合题意：令，则，解得， 若，则， 令，则， 所以，故在上是奇函数. （2）在上的单调递增，证明如下： 任取，且， 令，则， 因为在上是奇函数，所以， 所以， 因为当时，， 由，所以，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. 【变式8.2】（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有 (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对 ，都有对恒成立，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）根据，求出，，再检验即得解； （2）函数在为单调递增函数，再利用函数的单调性定义证明； （3）分析得到对任意的恒成立，解不等式组即得解. 【解答过程】（1）函数是定义在上的奇函数， 则，即，解得， 又因为，即，解得， 经检验可得，符合题意． 所以当时，， 令则， 所以， 则当 综上所述，； （2）函数在上是增函数． 证明如下： 任取，且， 则 ， 因为 ， 所以，， 则，即， 故在上为增函数； （3）由（2）可知，函数在区间上单调递增， 所以， 由于对恒成立， 则 对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 构造函数，其中， 所以，即， 解得或或， 所以实数的取值范围是. 【变式8.3】（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数是定义在上的增函数，并且满足，． (1)求和的值； (2)判断函数的奇偶性； (3)解关于的不等式 【解题思路】（1）通过赋值法来确定函数的特殊值； （2）根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性； （3）运用函数奇偶性，结合函数的单调性求解不等式即可. 【解答过程】（1）令，得，解得． ，； （2）因为函数的定义域为R，， 令，则有，，即， ∴函数为奇函数； （3）因为，所以， 又因为， 即由，则， 即， 又因为为增函数，所以，解得， 故x的取值范围为． 一、单选题 1．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知定义域为的偶函数满足，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．10 【解题思路】先利用偶函数性质和已知等式得到函数的周期，再根据周期和已知等式计算. 【解答过程】因为是定义域为的偶函数，所以. 已知，将换为，可得，又因为，所以. 由和可得. 令，则，那么，又因为，所以， 即，所以函数的周期是，所以. 在中，令，可得，即，解得，所以. 故选：A. 2．（24-25高一上·云南大理·期末）下列函数中，是偶函数的是（    ） A．（） B． C． D． 【解题思路】根据偶函数的定义，逐项分析即可得解. 【解答过程】对于A选项，()定义域不关于原点对称，故A错误； 对于B选项，，所以不是偶函数，故B错误； 对于C选项，函数定义域为R，且，所以是偶函数，故C正确； 对于D选项，，所以不是偶函数，故D错误. 故选：C. 3．（24-25高一上·广东·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】判断函数的奇偶性结合特殊的函数值可判断得解. 【解答过程】易知是偶函数，排除， 又且，排除C. 故选：D. 4．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用函数的图象变换求解. 【解答过程】因为函数是奇函数， 所以函数的图象关于原点对称， 又函数的图象是的图象向左平移1个单位， 向上平移2个单位得到的， 所以函数图象对称中心的是， 故选：B. 5．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用函数奇偶性求对称区域解析式，再利用绝对值的意义，把分段函数又写成含绝对值的函数即可. 【解答过程】当时，，即有， 再由是定义在上的奇函数，所以， 即有， 所以当时，， 当时，， 综上可得：， 故选：C. 6．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）定义在上的奇函数，其图象关于对称，且时，，则（    ） A．0 B．3 C．6 D． 【解题思路】由函数对称性得到，，赋值得到. 【解答过程】关于对称，故， 中，令得， 因为为R上的奇函数，所以， 故， 又时，，故， 故. 故选：D. 7．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【解题思路】根据奇偶性的定义判断即可. 【解答过程】因为是定义在上的奇函数，所以； 是定义在上的偶函数，所以， 则，所以为奇函数，故A错误； ，所以为偶函数，故B错误； ，则为非奇非偶函数，故C错误； ，故为偶函数，故D正确. 故选：D. 8．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数是上单调递增的奇函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由奇函数的性质结合单调性解抽象不等式可得. 【解答过程】将不等式变形可得， 因为函数是上单调递增的奇函数，所以不等式等价于， 所以，即的取值范围为. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数的定义域为，函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．为偶函数 C．是周期为4的函数 D． 【解题思路】根据给定条件，利用奇函数的定义、函数对称性逐项分析判断. 【解答过程】函数的定义域为，由函数为奇函数，得， 由的图象关于直线对称，得， 对于A，由，得的图象关于点中心对称，A正确； 对于C，由，得，又， 则，，是周期为4的函数，C正确； 对于B，由选项C知，，则，又， 因此，为偶函数，B正确； 对于D，，D错误. 故选：ABC. 10．（24-25高一上·河北承德·期末）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则（   ） A． B．的图象关于点对称 C． D． 【解题思路】根据函数的奇偶性结合“赋值法”可求，判断A的真假，根据奇函数的性质，可判断B的真假；根据函数满足的条件，递推可判断C的真假，再结合奇函数的性质，可判断D的真假. 【解答过程】对A：因为为奇函数，所以， 令，则 ，A正确． 对B：由，得，则，即的图象关于点对称，B错误． 对C：当时，，则，，，故C正确； 对D：根据C选项，递推可得：，因为，所以，则，得，故D正确． 故选：ACD. 11．（24-25高一上·湖北·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为减函数 D．为奇函数 【解题思路】由条件等式取，可求，取，可求，取，求，判断A，取，判断B，结合减函数定义及的大小判断C，取，结合奇函数定义判断D. 【解答过程】因为，， 令，可得，则， 令，可得，则. 对于A选项：令，可得，所以A正确； 对于B选项：令可得，所以B正确； 对于C选项：因为、，所以不可能为上减函数，故C错误； 对于D选项：函数的定义域为，定义域关于原点对称， 令，可得， 所以，所以为奇函数，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高一上·北京·期中）偶函数在上满足，则当时， ． 【解题思路】利用偶函数的定义求出函数解析式. 【解答过程】偶函数在上满足， 当时，，所以. 故答案为：. 13．（24-25高一上·山东威海·期末）已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 【解题思路】利用函数是奇函数求出时，函数的解析式，并求出函数的单调性；利用单调递增及奇函数化简可得，分类讨论解不等式即可得解． 【解答过程】由为奇函数，得， 当时，，故， 故当时，，所以； 又当时，的开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递增，根据奇函数的性质可知函数在上单调递增， 故， 所以或， 解得或， 故不等式的解集为. 故答案为：. 14．（24-25高一上·云南保山·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且，并满足，则 0 ． 【解题思路】根据给定条件，探讨函数的对称性及周期性，并求得，再利用周期性求出所求值. 【解答过程】由函数是定义域为的偶函数，得， 而不恒为0，则，， 又，则，即， 因此，函数是周期为4的周期函数， 由，得， 所以. 故答案为：0. 四、解答题 15．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）（2）（3）利用函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性. 【解答过程】（1）的定义域为. 因为，所以为奇函数. （2）的定义域为， 因为，所以为偶函数. （3）的定义域为， 因为，且， 所以为非奇非偶函数. 16．（24-25高一上·云南德宏·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)当时，求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明. 【解题思路】（1）令，则，再根据已知结合函数的奇偶性即可得解； （2）根据单调性的定义即可求解. 【解答过程】（1）当时，则， 又因为为奇函数，则， 所以当时，； （2）函数在单调递增， 证明如下：当时，， 对任意的且， ， 因为且，则， 所以，即， 所以函数在单调递增. 17．（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)利用函数的单调性和奇偶性，解不等式． 【解题思路】（1）判断函数的单调性，再证明对，且，都有，结合定义可得结论； （2）先证明函数为奇函数，再结合函数性质化简不等式，解不等式可得结论. 【解答过程】（1）（1）因为函数在上单调递增，故在上的单调递增． 证明如下： 任取，且， 则 ， 因为，所以，， 所以，即， 所以在上的单调递增．                                                                                         （2）因为，定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以为奇函数． 由， 得，即， 又，， 由（1）知在上的单调递增， 所以，所以， 所以不等式的解集为． 18．（24-25高一上·广东佛山·期末）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，若函数. (1)求曲线的对称中心； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明. 【解题思路】（1）首先设函数，判断函数是奇函数，即可判断函数的对称中心； （2）根据函数单调性的定义，结合作差法，即可证明. 【解答过程】（1）设， 则函数的定义域为，其定义域关于原点对称， 且， 所以为奇函数， 所以函数的对称中心为. （2）函数在上单调递减. 证明：，且， 则 ， 因为，所以， 又，所以，所以，即， 所以函数在上单调递减. 19．（24-25高一上·湖北·阶段练习）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 【解题思路】（1）令得，令得，所以是奇函数； （2）利用是奇函数，得到时，，根据单调性的定义，得到在上单调递减； （3）由奇函数结合，得，再由，即可求得答案. 【解答过程】（1）函数为奇函数.理由如下： 定义域，关于原点对称， 令，则，得， 令，则， 所以，则是上的奇函数 （2）在上单调递减，理由如下： 设， 因为，，，所以，， 所以，即， 因此在上单调递减. （3）， 因为， 所以. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$