第13讲 函数的表示方法（九大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高一数学初升高暑假精品课（苏教版2019必修第一册）

第13讲 函数的表示方法 【苏教版2019】 模块一 函数的表示法 1．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 2．函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 【题型1 函数的表示法】 【例1】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）对于函数，部分与的对应关系如下表： 则值为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知，下列图象能表示以为定义域，为值域的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知函数分别由下表给出：则的值是（    ） 1 2 3 1 3 1 3 2 1 A．1 B．2 C．3 D．1和2 【变式1.3】（24-25高一上·全国·课后作业）水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度与时间满足的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【题型2 已知函数类型求解析式】 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）若是一次函数，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高一上·全国·课后作业）图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高三·全国·中职高考）已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【题型3 已知f(g(x))求解析式】 【例3】（24-25高一上·广西玉林·期中）若函数满足，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高一上·山东威海·阶段练习）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高一上·重庆·期中）函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 求抽象函数的解析式】 【例4】（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）已知函数满足，则的解析式可以是 （写出满足条件的一个解析式即可）． 【变式4.1】（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）写出满足的函数的解析式 ． 【变式4.2】（2025高三·全国·专题练习）设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为 ． 【变式4.3】（24-25高三上·安徽滁州·阶段练习）已知定义在上的函数满足：对于任意的实数，，都有，且，则函数的解析式为 ． 【题型5 函数方程组法求解析式】 【例5】（24-25高一上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数满足，则（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5.1】（24-25高一上·重庆·期中）已知函数满足，则（     ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高一上·山东·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意均满足：，则函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式5.3】（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）函数满足，则函数（    ） A． B． C． D． 【题型6 求解析式中的参数值】 【例6】（2025·四川德阳·三模）已知，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【变式6.1】（24-25高一上·江西南昌·期中）已知，且，则m等于（    ） A． B．2 C． D．3 【变式6.2】（24-25高一上·海南海口·期中）已知函数，且，则 ． 【变式6.3】（24-25高一上·山西运城·阶段练习）已知且，则的值为 . 模块二 分段函数 1．分段函数 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来， 并分别注明各部分的自变量的取值情况. 2．分段函数问题 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 【题型7 求分段函数解析式或求函数的值】 【例7】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设，则的值为（    ） A．9 B．11 C．28 D．14 【变式7.1】（24-25高一上·福建南平·期中）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高一上·河北·期中）已知函数 ，则（   ） A． B． C． D． 【变式7.3】（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知函数，则的值为（    ） A．11 B．0 C．5 D．4 【题型8 已知分段函数的值求参数或自变量】 【例8】（24-25高一上·湖南益阳·阶段练习）设函数，若，则实数（    ） A．2 B． C． D．或 【变式8.1】（24-25高一上·安徽·阶段练习）设函数，若，则实数的值等于（    ） A． B． C．2 D． 【变式8.2】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）已知函数，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式8.3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【题型9 分段函数的性质及应用】 【例9】（2025·广东佛山·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式9.1】（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数，若在区间I上恒负，且是减函数，则区间I可以是（ ） A． B． C． D． 【变式9.2】（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）若函数是上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9.3】（24-25高一上·江苏南京·期中）若函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建莆田·期末）设函数，则（    ） A． B． C．0 D．2 3．（2025·江西上饶·一模）设，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知，则的解析式为（    ）. A． B． C． D． 5．（24-25高一上·福建莆田·期中）设，记，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·云南文山·期中）已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·陕西西安·期末）某市实行“阶梯水价”，具体收费标准如表所示： 不超过的部分 3元 超过不超过的部分 6元 超过的部分 9元 若某户居民12月份应缴水费为82元，则该户居民12月份的用水量约为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）若函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·湖南·期中）下表是某市公共汽车的票价y（单位：元）与里程x（单位：km）之间的函数，如果某条线路的总里程为20km，那么下列说法正确的是（   ） x 2 3 4 5 A． B．若，则 C．函数的定义域是 D．函数的值域是{2，3，4，5} 10．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知，若，则实数a的值可以是（   ） A．3 B． C．4 D． 11．（24-25高一上·福建南平·期中）下列说法正确的是（ ） A．已知，则 B．已知，则 C．已知一次函数满足，则 D．定义在上的函数满足，则 三、填空题 12．（24-25高一上·新疆喀什·期末）已知函数则 ． 13．（23-24高一上·江苏盐城·期中）若函数，则 ． 14．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）若函数且，则 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课后作业）某市出租车的计费方式如下： ①3km以内（含3km）8.5元； ②3km以上，每增加1km，收费增加2元． 某人要去距出发地8km的地点参加一个会议，由于时间比较紧急，因此他选择打出租车前往． (1)请写出票价（元）与出租车行驶的路程之间的函数解析式； (2)求此人到达目的地后需要支付的金额． 16．（24-25高一上·全国·周测）求下列函数的解析式： (1)已知函数，求函数的解析式； (2)已知是二次函数，且满足，，求. 17．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域. 18．（24-25高一上·云南红河·期末）根据下列条件，求的解析式. (1)已知； (2)已知是二次函数，且满足. 19．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）已知函数 (1)求的值； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 函数的表示方法 【苏教版2019】 模块一 函数的表示法 1．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 2．函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 【题型1 函数的表示法】 【例1】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）对于函数，部分与的对应关系如下表： 则值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据表格先求，再求的值. 【解答过程】由表格可得，， 所以. 故选：C. 【变式1.1】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知，下列图象能表示以为定义域，为值域的函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】观察选项ACD中函数的值域即可排除，观察分析选项B中函数的定义域与值域，从而得解. 【解答过程】A是函数的图象，值域为，与题干函数的值域为不符，故A错误； B是函数的图象，定义域为，值域为，故B正确； C是函数的图象，值域为，与题干函数的值域为不符，故C错误； D是函数的图象，值域为，与题干函数的值域为不符，故D错误. 故选：B. 【变式1.2】（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知函数分别由下表给出：则的值是（    ） 1 2 3 1 3 1 3 2 1 A．1 B．2 C．3 D．1和2 【解题思路】根据表中自变量与函数值的对应关系，先求得，再求即得. 【解答过程】由表可知：，则. 故选：C. 【变式1.3】（24-25高一上·全国·课后作业）水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度与时间满足的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据容器的特征，结合几何体的结构和题意知，容器的底面积越大水的高度变化慢、反之变化得快，再由图象越平缓就是变化越慢、图象陡就是变化快来判断．结合函数图象分析判别可得结论. 【解答过程】此容器从下往上口径先由大变小，再由小变大，故等速注入液体其高度增加变化率先由慢变快，再由快变慢， A、B、C选项中：函数图象中高度变化率分别是先快后慢、先慢后快、匀速的增加，与题干不符，故排除； D选项：当注水开始时，函数图象中高度变化率是先由慢变快，再由快变慢，符合题意； 故选：D. 【题型2 已知函数类型求解析式】 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）若是一次函数，，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】设出函数的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答. 【解答过程】设，由题设有， 解得，所以． 故选：B． 【变式2.1】（24-25高一上·全国·课后作业）图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由待定系数法求函数解析式问题，根据题意可以设二次函数的顶点式，然后根据函数过原点，将代入即可. 【解答过程】设图象是以为顶点的二次函数（）． 因为图象过原点，所以，，所以． 故选：A. 【变式2.2】（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用的解析式，将替换为即可得解. 【解答过程】因为， 所以. 故选：B. 【变式2.3】（24-25高三·全国·中职高考）已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可. 【解答过程】根据题意，由得:图象的对称轴为直线， 设二次函数为， 因的最大值是8，所以，当时， ， 即二次函数， 由得:，解得：， 则二次函数， 故选：A. 【题型3 已知f(g(x))求解析式】 【例3】（24-25高一上·广西玉林·期中）若函数满足，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】换元法求解函数解析式. 【解答过程】，令，则， 故， 所以. 故选：C. 【变式3.1】（24-25高一上·山东威海·阶段练习）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】令，得，表示出即可得到的解析式. 【解答过程】令，则，， ∴， ∴. 故选：B. 【变式3.2】（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用给定的函数关系，利用配凑法求出解析式即可判断. 【解答过程】函数，所以. 故选：B. 【变式3.3】（24-25高一上·重庆·期中）函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用换元法将设为，反求出，再代入原式，并将改为即得. 【解答过程】设，则，即， 代入，可得，故. 故选：A. 【题型4 求抽象函数的解析式】 【例4】（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）已知函数满足，则的解析式可以是 （写出满足条件的一个解析式即可）． 【解题思路】利用待定系数法求解即可，若设，然后代入化简求出即可. 【解答过程】设，由， 代入可得，，解得， . 故答案为：.（答案不唯一只要正确即可）. 【变式4.1】（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）写出满足的函数的解析式 ． 【解题思路】利用赋值法可得函数解析式. 【解答过程】中，令，得； 令得，故， 则． 故答案为：． 【变式4.2】（2025高三·全国·专题练习）设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为 ． 【解题思路】通过令代入即可求解. 【解答过程】 是定义在上的函数，且对任意，恒成立， 令，得 ，故． 此时 ， 符合题设要求. 故答案为：. 【变式4.3】（24-25高三上·安徽滁州·阶段练习）已知定义在上的函数满足：对于任意的实数，，都有，且，则函数的解析式为 ． 【解题思路】令，则，然后结合条件可得到答案. 【解答过程】令，则 所以由可得 因为，所以 故答案为：. 【题型5 函数方程组法求解析式】 【例5】（24-25高一上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数满足，则（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【解题思路】分别令联立方程组，求得答案. 【解答过程】因为，分别令， 联立得，解得， 故选：C. 【变式5.1】（24-25高一上·重庆·期中）已知函数满足，则（     ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意可得，，解方程即可. 【解答过程】因①， 用代替①中的得：②， 则得：，解得. 故选：D. 【变式5.2】（24-25高一上·山东·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意均满足：，则函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用方程组法求解析式即可. 【解答过程】由①， 可得②， ①②得：，即. 故选：A. 【变式5.3】（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）函数满足，则函数（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由可得，运用解方程组法求解析式即可. 【解答过程】因为①，所以②， 得，即. 故选：B. 【题型6 求解析式中的参数值】 【例6】（2025·四川德阳·三模）已知，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【解题思路】令，求出，代入解出. 【解答过程】， 且， 令，，解得， ，即, . 故选：C. 【变式6.1】（24-25高一上·江西南昌·期中）已知，且，则m等于（    ） A． B．2 C． D．3 【解题思路】令解得，代入得，解之可得选项. 【解答过程】因为，所以令解得，所以， 解得， 故选：D. 【变式6.2】（24-25高一上·海南海口·期中）已知函数，且，则 ． 【解题思路】应用赋值法已知函数值求自变量即可. 【解答过程】令 . 故答案为：. 【变式6.3】（24-25高一上·山西运城·阶段练习）已知且，则的值为 3 . 【解题思路】利用换元法求得函数解析式，再根据，即可求出的值. 【解答过程】解：由题可知，且， 令，则， ， ，解得：. 故答案为：3. 模块二 分段函数 1．分段函数 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来， 并分别注明各部分的自变量的取值情况. 2．分段函数问题 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 【题型7 求分段函数解析式或求函数的值】 【例7】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设，则的值为（    ） A．9 B．11 C．28 D．14 【解题思路】由，结合函数解析式可得，再由解析式求求结论. 【解答过程】因为，， 所以， 又，故，， 所以. 故选：B. 【变式7.1】（24-25高一上·福建南平·期中）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用函数解析式由内到外逐层计算可得的值. 【解答过程】因为，则， 故. 故选：B. 【变式7.2】（24-25高一上·河北·期中）已知函数 ，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】结合复合函数的定义，利用题目分段函数的解析式即可求解. 【解答过程】因为，又， 所以. 故选：C. 【变式7.3】（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知函数，则的值为（    ） A．11 B．0 C．5 D．4 【解题思路】根据分段函数解析式来求得正确答案. 【解答过程】由题可得. 故选：C. 【题型8 已知分段函数的值求参数或自变量】 【例8】（24-25高一上·湖南益阳·阶段练习）设函数，若，则实数（    ） A．2 B． C． D．或 【解题思路】按照分类，结合分段函数解析式即可得解. 【解答过程】因为函数，且， 所以或，解得或. 故选：D. 【变式8.1】（24-25高一上·安徽·阶段练习）设函数，若，则实数的值等于（    ） A． B． C．2 D． 【解题思路】根据题意，，可得，进而求解，判断选项. 【解答过程】根据题意，, 由，得，则， 从而，解得. 故选:B． 【变式8.2】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）已知函数，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】由分段函数的解析式，分类讨论求解实数的值即可. 【解答过程】当时，由可得，解得，不满足题意，故舍去； 当时，由可得，解得（不满足题意，舍去）或； 所以实数的值为. 故选：B. 【变式8.3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据分段函数列出关于实数的方程，解之即可求得的值. 【解答过程】， 则，解得． 故选：A. 【题型9 分段函数的性质及应用】 【例9】（2025·广东佛山·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】分段求函数值域，根据原函数值域为，求实数的取值范围. 【解答过程】若，在上，函数单调递增，所以； 此时，函数在上单调递减，在上单调递增，无最大值，所以； 因为函数的值域为，所以，结合得. 若，则的值域为； 若，在上，函数单调递减，所以（）； 在上，函数单调递减，在上单调递增，无最大值，所以； 所以函数的值域不可能为； 若，则函数在上，函数单调递减，所以（）； 在上，函数单调递增，， 此时函数的值域不可能为. 综上可知：当时，函数的值域为. 故选：D. 【变式9.1】（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数，若在区间I上恒负，且是减函数，则区间I可以是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】作出函数的图象，观察图象即可得解. 【解答过程】函数，如图所示：    所以在区间I上恒负，且是减函数，区间I可以是，. 故选：C. 【变式9.2】（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）若函数是上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据分段函数单调性的性质可以得到关于的不等式组，解这个不等式组即可求出的取值范围. 【解答过程】因为函数是上的减函数， 所以有，解得， 故选A. 【变式9.3】（24-25高一上·江苏南京·期中）若函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分和两种情况求解不等式即可. 【解答过程】解：①当时，由，得， 即，所以，解得； ②当时，由，得， 所以，解得，或（舍去）， 综上：， 故选：B． 一、单选题 1．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【解答过程】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 2．（24-25高一上·福建莆田·期末）设函数，则（    ） A． B． C．0 D．2 【解题思路】代入计算，得到. 【解答过程】. 故选：B. 3．（2025·江西上饶·一模）设，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分和两种情况解方程即可求解. 【解答过程】由题意可知， 当时，，所以由得； 当时，，所以由得，无解. 综上，. 故选：C. 4．（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知，则的解析式为（    ）. A． B． C． D． 【解题思路】令，求得可得的解析式，再求即可. 【解答过程】令，解得 所以， 则， . 故选：B. 5．（24-25高一上·福建莆田·期中）设，记，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依次计算，可归纳出为周期函数． 【解答过程】依题意，则， ，，， ∴是周期函数，且周期为4， ∴． 故选：A． 6．（24-25高一上·云南文山·期中）已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用换元法求解即可. 【解答过程】令，则， 所以， 所以. 故选：D. 7．（24-25高一上·陕西西安·期末）某市实行“阶梯水价”，具体收费标准如表所示： 不超过的部分 3元 超过不超过的部分 6元 超过的部分 9元 若某户居民12月份应缴水费为82元，则该户居民12月份的用水量约为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用分段函数各段上的解析式,由函数值求自变量可得. 【解答过程】设此户居民本月用水量为 ,缴纳的水费为元, 则当时,元,不符合题意; 当时,,令,解得,不符合题意; 当时,, 解得,符合题意. 综上所述: 此户居民本月用水量为. 故选：B. 8．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）若函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分两种情况分别解不等式即可. 【解答过程】当时，由，即所以，解得； 当时，由，即所以，解得； 综上，实数的取值范围是. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高一上·湖南·期中）下表是某市公共汽车的票价y（单位：元）与里程x（单位：km）之间的函数，如果某条线路的总里程为20km，那么下列说法正确的是（   ） x 2 3 4 5 A． B．若，则 C．函数的定义域是 D．函数的值域是{2，3，4，5} 【解题思路】根据表格中的函数关系逐项判断即可. 【解答过程】由题意知，，选项A正确； 若，则，选项B错误； 函数的定义域为，选项C正确； 函数的值域是{2，3，4，5}，选项D正确. 故选：ACD. 10．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知，若，则实数a的值可以是（   ） A．3 B． C．4 D． 【解题思路】分与两种情况，列方程求解的值即可. 【解答过程】当时，得，解得或（舍去）； 当时，得，解得. 故选：BC. 11．（24-25高一上·福建南平·期中）下列说法正确的是（ ） A．已知，则 B．已知，则 C．已知一次函数满足，则 D．定义在上的函数满足，则 【解题思路】直接求出的表达式，可判断A选项；利用换元法可判断B选项；利用待定系数法可判断C选项；利用方程组法可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，若，则，A对； 对于B选项，若，令，则且， 所以，，故，B错； 对于C选项，因为一次函数满足，设， 则， 所以，，解得或， 因此，或，C错； 对于D选项，定义在上的函数满足①， 可得②， 由①②可得，D对. 故选：AD. 三、填空题 12．（24-25高一上·新疆喀什·期末）已知函数则 ． 【解题思路】利用分段函数解析式先求，再求的值. 【解答过程】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 13．（23-24高一上·江苏盐城·期中）若函数，则 ． 【解题思路】由换元法，即可求解. 【解答过程】利用换元法即可得到答案． 令，则， ， ∴函数的解析式为． 故答案为：． 14．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）若函数且，则 0 ． 【解题思路】利用分段函数先求的值，再求即可. 【解答过程】以为. 故答案为：0. 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课后作业）某市出租车的计费方式如下： ①3km以内（含3km）8.5元； ②3km以上，每增加1km，收费增加2元． 某人要去距出发地8km的地点参加一个会议，由于时间比较紧急，因此他选择打出租车前往． (1)请写出票价（元）与出租车行驶的路程之间的函数解析式； (2)求此人到达目的地后需要支付的金额． 【解题思路】（1）根据已知条件求得函数的解析式. （2）根据（1）的结论求得所付金额. 【解答过程】（1）由题得，当时，； 当时，，因此票价（元）与出租车行驶的路程之间的函数解析式为 （2）当时，，故需支付18.5元． 16．（24-25高一上·全国·周测）求下列函数的解析式： (1)已知函数，求函数的解析式； (2)已知是二次函数，且满足，，求. 【解题思路】（1）利用换元法进行求解； （2）利用待定系数法求解. 【解答过程】（1）已知，， 令，，则，代入上式得， 即. （2）设， 由，得， 由， 得， 整理得， 所以，所以， 所以. 17．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域. 【解题思路】（1）利用构造方程组法求解析式，即可求解； （2）由（1）知，结合二次函数的性质即可求解. 【解答过程】（1）由可得： ， 通过消元可得. （2）由题意可得， 因为的图象的对称轴为，在上单调递增， 所以， ， 所以在上的值域为. 18．（24-25高一上·云南红河·期末）根据下列条件，求的解析式. (1)已知； (2)已知是二次函数，且满足. 【解题思路】（1）利用换元法，可求得函数解析式； （2）利用待定系数法，即可求得答案. 【解答过程】（1）令，则， 所以由， 得， 所以； （2）由题意设， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 所以，得， 所以. 19．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）已知函数 (1)求的值； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）根据的范围，分别将代入对应解析式即可求解. （2）对参数进行分类讨论，解方程求解即可. （3）对参数进行分类讨论，解不等式求解即可. 【解答过程】（1）依题意，，而, 所以. （2）当时，，解得，不合题意； 当时，，即，而，则； 当时，，解得，符合题意， 所以当时，或. （3）由，得或或， 解得或或或, 所以实数的取值范围是. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$