专题01 数的开方（专项训练）数学华东师大版2024八年级上册

专题01 数的开方（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、实数的大小比较 1 题型二、算术平方根的非负性 2 题型三、估算无理数 3 题型四、实数与数轴化简 5 题型五、实数与程序流程图 6 题型六、实数中的新定义 8 题型七、平方根与立方根、实数的规律 9 题型八、立方根的个位数字（华罗庚猜数） 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、实数的大小比较 1．下列各组数比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 2．比较大小： （填“”“”或“”）． 3．比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与． 题型二、算术平方根的非负性 1．若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．已知，为实数，且，则 ． 3．已知， (1)求x，y的值 (2)求的平方根． 题型三、估算无理数 1．估算的值（    ） A．在0到1之间 B．在1到2之间 C．在2到3之间 D．在3到4之间 2．估算： （结果精确到1）． 3．已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求这个正数； (2)请估算的算术平方根在哪两个连续整数之间． 题型四、实数与数轴化简 1．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 2．数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为 ． 3．已知点、、在数轴上表示的数、、的位置如图所示．化简：． 题型五、实数与程序流程图 1．在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是（　　） A． B． C．2 D．8 2．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入的值是时，输出的值是 ．分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数时，该程序无法输出值，则的值为 ． 3．如图，小明设计了一种程序图，根据程序图解决下列问题．    (1)当时，输出的y的值为______． (2)当输出的y的值为时，输入的x的值可以是______．（填写两个不同的x的值） (3)小明输入x的值后，发现得不到y的值，你能解释其中的原因吗？ 题型六、实数中的新定义 1．定义一种运算：，则不等式的解集是（   ）． A．或 B． C．或 D．或 2．对于有理数，定义新运算：，其中，，均为常数．已知，，则的值为 ． 3．在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“和谐数组”． (1)判断：_________“和谐数组”，__________“和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． 题型七、平方根与立方根、实数的规律 1．观察表格，解决下列问题． 1 1 【规律发现】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动___________位． 【规律应用】 （2）已知． ___________． 用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为立方米，则大约需要多大面积的铁皮？（参考数据：） 2．探索与应用：先观察表格，再回答问题． … … … … (1)表格中_____________；_____________； (2)从表格中我们可以发现a与变化的规律：a扩大100倍，则扩大_________________； (3)利用规律解决问题： ①已知，则_____________； ②已知，若，则_____________； (4)拓展：已知，若，则_____________． 3．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：____________； (2)用含的代数式表示第个等式：_____________（为正整数）； (3)直接写出当时，的值为______； (4)求的值． 题型八、立方根的个位数字（华罗庚猜数） 1．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 2．据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚怎样迅速准确地计算出来的吗？ 请按照下面的问题试一试： (1)由，可以确定是______位数，由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是_______．如果划去59319后面的三位319得到数59，而，由此可以确定的十位上的数字是_______； (2)已知是整数的立方，按照上述方法，请你求它的立方根． 3．跟华罗庚学猜数： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319．希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①，， 又， ， 能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又， 能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． (1)现在换一个数50653，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是 位数；②它的立方根的个位数字是 ；③50653的立方根是 ． (2)求175616的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 1．（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C．3.14 D． 2．（2025·四川南充·中考真题）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古包头·中考真题）若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江西·中考真题）化简： 5．（2024·安徽·中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）． 6．（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ． 7．（2025·江苏苏州·中考真题）计算：． 8．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 9．（2025·四川眉山·中考真题）（1）计算：     （2）解方程： 10．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数的开方（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、实数的大小比较 1 题型二、算术平方根的非负性 2 题型三、估算无理数 3 题型四、实数与数轴化简 5 题型五、实数与程序流程图 6 题型六、实数中的新定义 8 题型七、平方根与立方根、实数的规律 9 题型八、立方根的个位数字（华罗庚猜数） 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、实数的大小比较 1．下列各组数比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根的性质以及实数比较大小的方法，熟练掌握利用乘方比较根式大小、负数比较大小的规则是解题的关键．分别对每个选项中的数，利用立方根、算术平方根的性质以及实数比较大小的方法来判断． 【详解】解： A、因为，，且，根据“若（为实数），则”，可得，故此选项不符合题意； B、因为，，且，根据“若（为非负实数），则”，可得，故此选项不符合题意； C、因为，，又，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，可得，故此选项符合题意． D、因为，，且，所以，故此选项不符合题意；． 故选：C． 2．比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，根据平方大的正实数也大解答即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握实数大小比较的方法是解题的关键． （1）先比较与的大小，再根据实数的大小比较的方法比较即可； （2）先比较与的大小，再根据实数的大小比较的方法比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 题型二、算术平方根的非负性 1．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，利用非负数的性质求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 2．已知，为实数，且，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了二次根式的非负性质，求算术平方根等知识，由二次根式的非负性求出x与y的值是解题的关键；由二次根式的非负性可求得x与y的值，再代入计算算术平方根即可． 【详解】解：由题意得：，解得：， 当时，； ∴； 故答案为：9． 3．已知， (1)求x，y的值 (2)求的平方根． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组及平方根，灵活的根据二元一次方程组确定未知数的值是解题的关键； （1）根据绝对值及算术平方根的非负性可得关于x、y的二元一次方程组，求解即可； （2）将x、y的值代入求的平方根即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，解得：； （2）解：∵， ∴， ∴的平方根是 题型三、估算无理数 1．估算的值（    ） A．在0到1之间 B．在1到2之间 C．在2到3之间 D．在3到4之间 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选B． 2．估算： （结果精确到1）． 【答案】5 【分析】本题考查估算无理数的范围，熟练掌握其定义是解题的关键． 利用算术平方根的定义及精确度即可求得答案． 【详解】解：，， ∴， ， 故答案为：5． 3．已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求这个正数； (2)请估算的算术平方根在哪两个连续整数之间． 【答案】(1)81 (2)的算术平方根在之间 【分析】本题考查了平方根及算术平方根： （1）根据题意得，进而可解得，则可得，再根据平方根的定义即可求解； （2）由（1）得，进而可得，再利用算术平方根的估算方法即可求解； 熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：， ∴， 这个正数是81． （2）由（1）得：， ， ∵， ∴， 的算术平方根在之间． 题型四、实数与数轴化简 1．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和计算算术平方根，先根据数轴得到、、的符号，再计算算术平方根和绝对值，进而根据整式的加减计算法则即可求出答案． 【详解】解：由数轴可知， ， ， 故选：A． 2．数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的性质，算术平方根以及立方根的性质；根据有理数、、在数轴上的位置，得到它们之间的大小关系，再利用绝对值及算术平方根和立方根的性质去化简原式求出结果． 【详解】解：根据有理数、、在数轴上的位置，得到，且， ∴， ∴ ． 故答案是：． 3．已知点、、在数轴上表示的数、、的位置如图所示．化简：． 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴，化简绝对值，开方运算，先根据点在数轴上的位置得，则，，进而化简运算即可． 【详解】解：由数轴可得：，则，，则 ． 题型五、实数与程序流程图 1．在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是（　　） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】本题考查程序框图运算，涉及算术平方根、立方根及有理数和无理数的判断，当时，按照运算程序逐步运算即可得到答案．按照运算程序求解是解决问题的关键． 【详解】解：当时，取算术平方根得到，是有理数，取立方根得到是有理数，取算术平方根得到，是无理数，则输出， 故选：B． 2．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入的值是时，输出的值是 ．分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数时，该程序无法输出值，则的值为 ． 【答案】 或或负数 【分析】本题考查了实数的运算，关键是掌握立方根及算术平方根的求解． （1）按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可． （2）根据最后都是无理数输出，可得的值为或或负数． 【详解】（1）当值为时，取算术平方根得，取立方根得，取算术平方根得是，是无理数，所以输出的数为； （2）因为按照计算流程发现最后都是无理数输出，所以取或时该程序无法输出值， 因为负数没有算术平方根，所以取负数时该程序无法输出值， 故答案为：或或负数． 3．如图，小明设计了一种程序图，根据程序图解决下列问题．    (1)当时，输出的y的值为______． (2)当输出的y的值为时，输入的x的值可以是______．（填写两个不同的x的值） (3)小明输入x的值后，发现得不到y的值，你能解释其中的原因吗？ 【答案】(1) (2)2或8 (3)见解析 【分析】(1)按照程序，进行计算即可解答； (2)按照程序，进行计算即可解答； (3)根据1的立方根永远是1，的立方根永远是，0的立方根永远是0，即可解答． 【详解】（1）解：当时，64的立方根是4，4是有理数，当时，4的立方根是，是无理数． （2）解：当时，， ∴输入的x的值可以是2； ∵， ∴输入的x的值可以是8； 综上所述，当输出的y的值为时，输入的x的值可以是2或8； （3）解：∵1的立方根永远是1，的立方根永远是，0的立方根永远是0， 所以输入的x的值为-1或0或1时，始终输不出y值． 【点睛】本题考查了立方根，理解程序是解题的关键． 题型六、实数中的新定义 1．定义一种运算：，则不等式的解集是（   ）． A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据新定义运算规则，分别从和两种情况列出关于x的不等式，求解后即可得出结论．本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义运算规则列出关于x的不等式． 【详解】解：由题意得，当时， 即时，， 则， 解得， ∴此时原不等式的解集为； 当时， 即时，， 则， 解得， ∴此时原不等式的解集为； 综上所述，不等式的解集是或． 故选：C． 2．对于有理数，定义新运算：，其中，，均为常数．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算、三元一次方程组等知识点，熟练掌握有理数的加减混合运算顺序，解三元一次方程组的方法是解题关键． 根据新定义运算得出，求出，进而完成解答． 【详解】解：∵，，， ∴， ，得， 可得：， ∴． 故答案为：． 3．在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“和谐数组”． (1)判断：_________“和谐数组”，__________“和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． 【答案】(1)是，不是； (2) 【分析】本题主要考查算术平方根，理解“和谐数组”的定义是解题的关键： （1）根据“和谐数组”的定义进行判断即可解答； （2）分和两种情况，分别根据算术平方根的定义并运用“和谐数组”的定义验证即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴是“和谐数组”； ∵，不是整数， ∴不是“和谐数组”． （2）解：若，则，解得：； 当时，，均为整数，且3，12，48互不相等，符合条件； 若，得，与12重复，舍去． 综上可知． 题型七、平方根与立方根、实数的规律 1．观察表格，解决下列问题． 1 1 【规律发现】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动___________位． 【规律应用】 （2）已知． ___________． 用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为立方米，则大约需要多大面积的铁皮？（参考数据：） 【答案】（1）一；（2）；大约需要平方米的铁皮． 【分析】本题主要考查了立方根的变化规律，熟练掌握立方根的变化规律是解决本题的关键． （1）从被开方数的小数点，以及相应的立方根的小数点的移动来找规律，回答即可； （2）根据解析（1）中规律进行解答即可；先根据正方体的体积求出棱长，再求出正方体盒子的表面积即可． 【详解】（1）解：根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； 故答案为：一； （2）解：， ； 故答案为：； 正方体的体积为立方米， 正方体的棱长为：（米）， 需要铁皮的面积为： （平方米）， 答：大约需要平方米的铁皮． 2．探索与应用：先观察表格，再回答问题． … … … … (1)表格中_____________；_____________； (2)从表格中我们可以发现a与变化的规律：a扩大100倍，则扩大_________________； (3)利用规律解决问题： ①已知，则_____________； ②已知，若，则_____________； (4)拓展：已知，若，则_____________． 【答案】(1)，； (2)10倍； (3)①，②32400； (4) 【分析】考查了算术平方根和立方根，注意被开方数扩大100（1000）倍，算术平方根（立方根）扩大10倍． （1）由表格得出规律，求出x与y的值即可； （2）根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案； （3）根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案 （4）根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案． 【详解】（1）解：，， 故答案为，； （2）解：a扩大100倍，扩大10倍． 故答案为：10倍； （3）解：①∵， ∴， ②， ∴， 故答案为：，32400； （4）解：∵，， ∴， 故答案为：． 3．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：____________； (2)用含的代数式表示第个等式：_____________（为正整数）； (3)直接写出当时，的值为______； (4)求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了整式的规律探究，代数式求值，根据平方根的定义解方程 （1）根据等式的规律即可求解； （2）根据，，，，……可推导一般性规律为：表示第n个等式，然后作答即可； （3）根据题意列出分式方程，解方程，即可求解． （4）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：，； （2）解：∵， ， ， ， …… ∴可推导一般性规律为：表示第n个等式（n为正整数）， 故答案为：，； （3）解：∵，当时 ∴ ∴ ∴ 解得：（n为正整数，负值舍去）， 故答案为：． （4）解：由题意知， ； ∴的值为． 题型八、立方根的个位数字（华罗庚猜数） 1．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】(1) (2)3 (3)，或， 【分析】本题考查求一个负数的立方根，算术平方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据算术平方根的性质，立方根的性质，算术平方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【详解】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：∵，即， ∴或1 解得：或 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴当时，； 当，． 2．据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚怎样迅速准确地计算出来的吗？ 请按照下面的问题试一试： (1)由，可以确定是______位数，由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是_______．如果划去59319后面的三位319得到数59，而，由此可以确定的十位上的数字是_______； (2)已知是整数的立方，按照上述方法，请你求它的立方根． 【答案】(1)两，9，3 (2) 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，正确理解题意是解题的关键． （1）按照求立方根三步走，求位数，求个位，求十位推算即可； （2）按照题给方法，依次推算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴是两位数， ∵的个位上的数是9， ∴的个位上的数字是9， ∵划去59319后面的三位319得到数59， ∴的十位上的数字是3 故答案是：两，9，3； （2）解：∵， ∴ ∴的立方根是两位数 ∵个位数是 5 ∴的立方根个位数是5 ∵划去274625后面的三位625得到数274，且 ∴274625的立方根的十位数是6， ∴274625的立方根65， ∴的立方根是． 3．跟华罗庚学猜数： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319．希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①，， 又， ， 能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又， 能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． (1)现在换一个数50653，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是 位数；②它的立方根的个位数字是 ；③50653的立方根是 ． (2)求175616的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 【答案】(1)①两；②7；③37 (2)56 【分析】本题考查了立方根及数字常识，解决本题的关键是理解例题，并能根据例题的格式进行运算． （1）仿照例题，进行推理得结论； （2）先判断它们的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，得结论． 【详解】（1）①，， 又， ， 能确定50653的立方根是个两位数． ②∵50653的个位数是3， 又， 能确定50653的立方根的个位数是7， ③如果划去50653后面的三位653得到数50， 而，则，可得， 由此能确定50653的立方根的十位数是3， 因此50653的立方根是37． （2）解：， 又， ， 能确定175616的立方根是个两位数 ∵175616的个位数是6， 又， 能确定175616的立方根的个位数是6， 如果划去175616后面的三位616得到数175， 而， 则， 可得， 由此能确定175616的立方根的十位数是5， 因此175616的立方根是56． 1．（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C．3.14 D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．结合选项逐一判断即可． 【详解】解：A、0是整数，属于有理数，本选项不符合题意； B、是开方开不尽的数，属于无理数，本选项不符合题意； C、3.14是有限小数，属于有理数，本选项不符合题意； D、是分数，属于有理数，本选项不符合题意； 故选：B． 2．（2025·四川南充·中考真题）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的周长公式及数轴上点的移动规律，熟练掌握圆的周长计算和数轴上点的平移关系是解题关键．先根据圆的直径求出滚动一周的距离（即圆的周长），再结合点对应的数，通过逆向推理得到滚动前点对应的数． 【详解】解：由题意可得圆的直径，根据圆的周长公式，可得周长 ． 圆从点滚动到，滚动的距离是圆的周长，点对应数是，那么滚动前点对应的数是 ， 故选D． 3．（2024·内蒙古包头·中考真题）若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，求不等式组的解集，根据数轴上的数右边的比左边的大，列出不等式组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选B． 4．（2025·江西·中考真题）化简： 【答案】2 【分析】本题主要考查了立方根，牢记常见数的立方根是解题的关键．直接写出8的立方根即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为2． 5．（2024·安徽·中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）． 【答案】> 【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案． 【详解】解：∵，， 而， ∴， ∴； 故答案为： 6．（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据找不等式的解集和已知得出关于P的不等式组是解此题的关键．先根据新定义化简关于的不等式，根据不等式组有3个整数解，得出，进而解不等式组，即可求解． 【详解】解：∵ ∴关于a的不等式组即 解不等式①得： 解不等式②得： ∵不等式组有3个整数解， ∴整数解为， ∴ 解得： 故答案为：． 7．（2025·江苏苏州·中考真题）计算：． 【答案】10 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．先去绝对值，进行乘方和开方运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 8．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 【答案】（1）原计算第一步开始出错；；（2） 【分析】本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）第一步计算分配律时符号出错； （2）按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除． 【详解】解：（1）原计算第一步开始出错； ； （2） 9．（2025·四川眉山·中考真题）（1）计算：     （2）解方程： 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查实数的运算，解一元一次方程，熟练掌握相关运算法则，解一元一次方程的步骤，是解题的关键： （1）先开方，去绝对值，再进行加减运算即可； （2）去括号，移项，合并，系数化1，进行计算即可． 【详解】解：（1）原式； （2）去括号，得：， 移项，得：， 合并，得：． 10．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【答案】（1）；（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则； （2）可求出，据此可得结论． 【详解】解：（1）设，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下； ∵，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$