精品解析：北京市通州区2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试卷

通州区2024—2025学年第二学期高二年级期末质量检测 数学试卷 2025年7月 本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合中不等式的解集，然后根据交集的概念求出结果. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：B. 2. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数、指数函数、二次函数的性质对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 根据对数函数的性质，在上单调递增； 对于选项B： ，根据二次函数的性质可知， 该函数在上单调递增，在上单调递减； 对于选项C： 根据指数函数的性质，在上单调递减； 对于选项D： 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 综上，只有选项C符合题意. 故选：C. 3. 随机变量X服从正态分布，，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布对称性得出 【详解】随机变量X服从正态分布，， 则. 故选：B. 4. 已知8名学生中有5名男生，从中选出4名代表，记选出的代表中男生人数为X，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据超几何分布的概率公式计算即可. 【详解】表示选出的个代表中有个男生个女生， 则. 故选：C 5. 某校男女生人数之比为9：11，其中男生近视率为0.4，女生近视率为0.6，则该校学生的近视率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全概率的公式进行求解即可. 【详解】设该校总学生人数为，则根据题意得 . 故选：D. 6. 设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.3 n 0.3 则与的值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知分布列得出对应概率，再应用数学期望公式计算结合数学期望性质求解即可. 【详解】根据分布列可得； ， 故选：A. 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据已知条件将用表示出来，然后根据对数函数、指数函数、二次函数的单调性判断的范围即可进行比较. 【详解】由题意可求得，. 因为，所以根据对数函数、指数函数、二次函数单调性可知， ， ，， 所以. 故选：C. 8. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合基本不等式进行判断即可． 【详解】充分性：∵，，，∴，当且仅当时，等号成立， ∴，当且仅当时，等号成立， ∴. 必要性：当，时，成立，但不成立，即必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 9. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数．人体的血氧饱和度正常范围是，某患者治疗过程中，血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律满足指数模型：，其中为初始血氧饱和度，K为参数．已知开始治疗时患者血氧饱和度为，治疗1小时后，血氧饱和度为．若要使得血氧饱和度恢复到，则至少还需要给氧时间（单位：时）约为（ ） （精确到0.1，参考数据：） A. 1.5 B. 1.6 C. 0.5 D. 0.6 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可求得，令，结合对数运算求解即可. 详解】由题意可得：，解得， 所以， 令， 解得， 且，所以至少还需要给氧时间（单位：时）约为. 故选：D. 10. 设集合，集合，那么集合B中满足的元素的个数为（ ） A. 72 B. 54 C. 24 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知分类讨论，再结合排列数计算及分步计数原理求解即可. 【详解】集合，集合， 那么集合B中满足， 第一种情况可以分别是； 所以分别是或或或或或； 第二种情况可以分别是； 所以分别是或或或或或； 集合B中满足的元素的个数为. 故选：B. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数定义域及根式有意义列式得出定义域即可. 【详解】函数有意义得出且，所以 函数的定义域是. 故答案为：. 12. 已知的展开式的二项式系数和为128，则n=______；含有项的系数为______． 【答案】 ①. 7 ②. -7 【解析】 【分析】根据二项式系数和的性质求出的值，再根据二项展开式的通项公式求出含项的系数. 【详解】因为的展开式的二项式系数和为128，所以， 解得. 的通项公式为 要求含有项的系数，令，解得. 所以含有项的系数为. 故答案为：①7；②-7. 13. 已知函数，若关于x的方程有三个相异的实数根，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】原题意等价于与的图象有3个不同的交点，作出的图象，结合图象即可得结果. 【详解】关于x的方程有三个相异的实数根， 等价于与的图象有3个不同的交点， 作出的图象，如图所示： 由图可得时与的图象有3个不同的交点， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 14. 一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球5个，其余为黑球，每次随机摸1球．若不放回地摸球，第一次摸到白球，则第二次又摸到白球的概率为______；某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中有放回地随机摸取10次，若其中恰有n次摸到白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大，该同学应该设置摸到白球的次数为n=______． 【答案】 ① ②. 2 【解析】 【分析】对于①，根据条件概率公式进行求解即可；对于②，先将参与者获奖的概率的表达式列出来，然后求出最大值即可. 【详解】对于①： 设事件为“第一次摸到白球”，事件为“第二次摸到白球”， 则根据题意，. 所以. 对于②： 根据题意可知参与者获奖的可能性为： . 由于； ；； ；； ；； ；； ，可以看出最大. 所以. 故答案为：①；②2. 15. 函数是神经网络中最常用的激活函数之一，其解析式为：．则下列正确结论的序号是______． ①若，则； ②； ③导函数的最大值是； ④，，． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】对于①，可举反例进行判断；对于②，先求出，然后求和即可；对于③，对函数求导，令导数为新函数，再次求导判断单调性确定最大值；对于④，先求出的表达式，然后构造新函数，求导判断单调性求出最大值和极大值点，即可证明. 【详解】对于①： 举反例，令，则，所以， 所以，此时，所以①错误； 对于②： 因为， 所以，②正确； 对于③： 对函数求导得：，令， 再次求导得. 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以③正确； 对于④： 由题意恒成立， 令，则 令，则，解得. 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时. 所以要使得不等式恒成立，则即可，此时.所以④正确. 故答案为：②③④. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数为偶函数． （1）求实数a的值； （2）求函数的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义求出的值. （2）对函数求导，分别讨论情况下函数的单调性和极值. 【小问1详解】 因为函数（）是偶函数， 所以， 所以，即. 【小问2详解】 由（1）知函数的解析式为（）. 当时，，求导得. 令，；令，. 此时函数在上单调递增，在上单调递减. 令，因为，所以，根据单调性可知函数在处取极小值，无极大值. 当时，，求导得. 令，；令，. 此时函数在上单调递减,在上单调递增.此时函数在处取极小值，无极大值. 17. 某县开展“振兴乡村·助农直播”活动，某日不同时段的直播开始时间及带货时长如下表（均按计划完成）： 上午场（09：00至11：59开播，生鲜农产品） 下午场（14：00至17：59开播，手工艺品） -09：00直播间A（特色水果）：带货时长2小时20分 -09：45直播间B（生态大米）：带货时长1小时50分 -10：30直播间C（散养土鸡）：带货时长2小时30分 -11：15直播间D（手工腐竹）：带货时长1小时30分 -14：00直播间E（竹编器具）：带货时长1小时30分 -15：30直播间F（刺绣饰品）：带货时长2小时40分 -16：45直播间G（藤编家具）：带货时长1小时10分 （1）某主播从上述直播间中随机选取一场参与，求该场直播的带货时长超过2小时的概率； （2）甲、乙、丙3位主播依次从上述直播间中随机选取一场参与（每直播间仅一位主播），求甲、乙、丙中至少有2人带货时长超过2小时的概率； （3）若甲、乙、丙随机选取一场参与，其中甲必须选上午场直播，乙必须选下午场直播，丙的选择无时段限制，且甲、乙、丙3人的选择互不影响．记甲、乙、丙的带货时长的方差分别为，，，写出，，的大小关系？（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由古典概型，利用列举法，可得答案； （2）设出事件，利用古典概型以及概率加法，可得答案； （3）由平均数与方差的计算，可得答案. 【小问1详解】 由题意可知总共有场直播，其中超过小时的直播有场，则概率为. 【小问2详解】 设事件｛甲乙丙中恰有人带货时长超过小时｝， 事件｛甲乙丙中恰有人带货时长超过小时｝， 则，， 所以概率为. 【小问3详解】 甲可选的直播时长为，则均值， 所以方差； 乙可选的直播时长为，则均值， 所以方差； 丙可选的直播时长为，则均值， 所以方差. 由，则. 18. 某区开展“文明先锋”志愿服务活动，为表彰优秀志愿者，用分层抽样的方法按青少年组与成年组分别抽取若干名志愿者调查其服务情况，并依据服务时长评选出一星、二星、三星优秀志愿者，数据如下： 组别 人数 获奖人数 一星 二星 三星 青少年 100 5 15 20 成年 200 15 15 20 假设所有志愿者的获奖情况相互独立，用频率估计概率． （1）试估计本社区一星志愿者获奖概率； （2）从本社区青少年组志愿者中随机抽取1名，成年组志愿者中随机抽取2名，以X表示这3名志愿者中获奖的人数，求X的分布列与期望； （3）若从该社区志愿者中随机抽取1名，记抽到的志愿者获奖的概率为；为支援某大型活动，从其他社区调入c（c>0）名一星志愿者，再随机抽取1名，记抽到的志愿者获奖的概率为，试估计与的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1）； （2）分布列见解析，期望为； （3） 【解析】 【分析】（1）求出一星志愿者的获奖的频率即可. （2）求出的可能值，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求得分布列并有求出期望. （3）求出，作差比较大小即可. 【小问1详解】 抽取的300名志愿者中，一星志愿者有20名， 所以估计本社区一星志愿者的获奖概率为. 【小问2详解】 由数表知，青少年组志愿者获奖的概率为， 成年组志愿者获奖的概率为， 的可能值为， ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 期望为. 【小问3详解】 抽取的300名志愿者中，获奖人数为90，则 调入 c 名一星志愿者后，获奖人数为，志愿者总数为，， ，则， 所以. 19. 已知函数（且）． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证：． （3）设，求函数的极值． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）答案见解析； 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再代入求出切线斜率，再点斜式得出切线方程； （2）应用已知条件构造函数，根据导函数正负得出单调性进而计算得出最值即可证明； （3）先根据导函数结合零点存在定理得出极值点，进而得出极值点，最后应用基本不等式得出导函数为负判断单调性即可. 【小问1详解】 由于，则定义域为， 故曲线在点处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 当时，定义域为， 令，则单调递减，， 所以单调递增；单调递减； 所以，所以，所以； 【小问3详解】 因为， ，令，得， 当时，定义域为，单调递增， 所以单调递减；单调递增； 所以的极小值为，无极大值； 当时，定义域为，单调递减， 所以单调递增；单调递减； 所以的极大值为，无极小值； 综上， 当时，的极小值为，无极大值； 当时，的极大值为，无极小值； 20. 已知函数，． （1）若曲线在处的切线与平行，求实数的值； （2）当时，记函数，求的零点个数及所有零点之和的值． 【答案】（1） （2）2个零点，所有零点之和为1 【解析】 【分析】（1）对函数求导，令其在处的导数值等于的斜率即可求出的值. （2）先求出的解析式，然后求出其零点和所有零点之和. 【小问1详解】 对函数求导得， 因为曲线在处的切线与平行， 所以，所以. 【小问2详解】 . 令，则或. 所以函数有两个零点，所有零点之和为1. 21. 定义n元点集满足，，．若非空集合，满足N中所有点的横坐标之和，则称N满足性质P；若N中所有点的纵坐标之和，则称N满足性质Q．若集合存在两个其非空子集A，B满足，，且A，B之一满足性质P，另一个满足性质Q，则称为一个n元均衡点集． （1）请写出一个3元均衡点集，并写出一组使得时对应的子集A和B； （2）求证：对于任意一个3元均衡点集，都满足； （3）求最大的正整数n，使得任意一个都是n元均衡点集． 【答案】（1），； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）直接举例，，再证明其符合各种性质即可； （2）分若，，和讨论即可； （3）取12元点集，首先证明，再说明，其中第二类分和讨论即可. 【小问1详解】 ，， 因为均成立，则满足，； ，所以满足； 又因为，，且，， 则上述和满足题意. 【小问2详解】 对于任意3元均衡点集，不妨设， 且，，， ①若，则，不妨令， 则，此时恒有； ②若，则，可令， 此时，则，满足题意； ③若，则，令， 此时，则，满足题意； ④若，则，则 令， 此时，则，满足题意； 同理可证时成立， 所以对于任意3元均衡点集，都满足. 【小问3详解】 ． 取12元点集， ， 任取其6元子集，其所有点的横坐标之和， 所以此具有性质的集中点的个数不超过5个， 从而与这个构成的另一子集至少含有7个点， 而其所有点的纵坐标之和不小于，所以子集不具有性质， 因此该不是均衡子集，所以， 下证，即证时，11元点集 都是均衡点集． 任取， 不妨设， ①如果， 则取，， 得，满足性质，满足性质，则是均衡点集. ②如果，则存在唯一正整数， 使得， 取，，则 当且仅当时取等号； 所以子集满足性质，故是均衡点集． 综上，任一为一个11元均衡点集，则， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 通州区2024—2025学年第二学期高二年级期末质量检测 数学试卷 2025年7月 本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1 已知集合，，则=（ ） A B. C. D. 2. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 3. 随机变量X服从正态分布，，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 4. 已知8名学生中有5名男生，从中选出4名代表，记选出的代表中男生人数为X，则（ ） A. B. C. D. 5. 某校男女生人数之比为9：11，其中男生近视率为0.4，女生近视率为0.6，则该校学生的近视率为（ ） A. B. C. D. 6. 设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.3 n 03 则与的值分别是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数．人体的血氧饱和度正常范围是，某患者治疗过程中，血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律满足指数模型：，其中为初始血氧饱和度，K为参数．已知开始治疗时患者血氧饱和度为，治疗1小时后，血氧饱和度为．若要使得血氧饱和度恢复到，则至少还需要给氧时间（单位：时）约为（ ） （精确到01，参考数据：） A. 1.5 B. 1.6 C. 0.5 D. 0.6 10. 设集合，集合，那么集合B中满足的元素的个数为（ ） A. 72 B. 54 C. 24 D. 12 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数定义域是______． 12. 已知的展开式的二项式系数和为128，则n=______；含有项的系数为______． 13. 已知函数，若关于x的方程有三个相异的实数根，则a的取值范围是______． 14. 一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球5个，其余为黑球，每次随机摸1球．若不放回地摸球，第一次摸到白球，则第二次又摸到白球的概率为______；某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中有放回地随机摸取10次，若其中恰有n次摸到白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大，该同学应该设置摸到白球的次数为n=______． 15. 函数是神经网络中最常用的激活函数之一，其解析式为：．则下列正确结论的序号是______． ①若，则； ②； ③导函数的最大值是； ④，，． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数为偶函数． （1）求实数a的值； （2）求函数的单调区间和极值． 17. 某县开展“振兴乡村·助农直播”活动，某日不同时段的直播开始时间及带货时长如下表（均按计划完成）： 上午场（09：00至11：59开播，生鲜农产品） 下午场（14：00至17：59开播，手工艺品） -09：00直播间A（特色水果）：带货时长2小时20分 -09：45直播间B（生态大米）：带货时长1小时50分 -10：30直播间C（散养土鸡）：带货时长2小时30分 -11：15直播间D（手工腐竹）：带货时长1小时30分 -14：00直播间E（竹编器具）：带货时长1小时30分 -15：30直播间F（刺绣饰品）：带货时长2小时40分 -16：45直播间G（藤编家具）：带货时长1小时10分 （1）某主播从上述直播间中随机选取一场参与，求该场直播的带货时长超过2小时的概率； （2）甲、乙、丙3位主播依次从上述直播间中随机选取一场参与（每直播间仅一位主播），求甲、乙、丙中至少有2人带货时长超过2小时的概率； （3）若甲、乙、丙随机选取一场参与，其中甲必须选上午场直播，乙必须选下午场直播，丙的选择无时段限制，且甲、乙、丙3人的选择互不影响．记甲、乙、丙的带货时长的方差分别为，，，写出，，的大小关系？（结论不要求证明） 18. 某区开展“文明先锋”志愿服务活动，为表彰优秀志愿者，用分层抽样的方法按青少年组与成年组分别抽取若干名志愿者调查其服务情况，并依据服务时长评选出一星、二星、三星优秀志愿者，数据如下： 组别 人数 获奖人数 一星 二星 三星 青少年 100 5 15 20 成年 200 15 15 20 假设所有志愿者的获奖情况相互独立，用频率估计概率． （1）试估计本社区一星志愿者的获奖概率； （2）从本社区青少年组志愿者中随机抽取1名，成年组志愿者中随机抽取2名，以X表示这3名志愿者中获奖的人数，求X的分布列与期望； （3）若从该社区志愿者中随机抽取1名，记抽到的志愿者获奖的概率为；为支援某大型活动，从其他社区调入c（c>0）名一星志愿者，再随机抽取1名，记抽到的志愿者获奖的概率为，试估计与的大小．（结论不要求证明） 19. 已知函数（且）． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证：． （3）设，求函数的极值． 20. 已知函数，． （1）若曲线在处的切线与平行，求实数的值； （2）当时，记函数，求的零点个数及所有零点之和的值． 21. 定义n元点集满足，，．若非空集合，满足N中所有点的横坐标之和，则称N满足性质P；若N中所有点的纵坐标之和，则称N满足性质Q．若集合存在两个其非空子集A，B满足，，且A，B之一满足性质P，另一个满足性质Q，则称为一个n元均衡点集． （1）请写出一个3元均衡点集，并写出一组使得时对应的子集A和B； （2）求证：对于任意一个3元均衡点集，都满足； （3）求最大的正整数n，使得任意一个都是n元均衡点集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $