山东省济南市东南片区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

八年级数学试题 第 1 页 （共 7 页） 2024—2025 学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试题 一、 选择题（本题共 10小题，每小题 4分，共 40分。每小题只有一个选项符合题目要 求。） 1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类 非物质文化遗产代表作名录。下列剪纸作品中是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A． 2( 1)( 1) 1x x x B． 2 24 ( 4 )( 4 )x y x y x y C． 2 2 1 ( 2) 1x x x x D． 2 28 16 ( 4)x x x 3．一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的 尺寸。如图所示，已知∠ACB＝90°，点 D 为边 AB 的中 点，点 A，B 对应的刻度为 1，7，则 CD 等于（ ） A．6 cm B．4 cm C．3 cm D．3.5 cm 4．已知 𝑥𝑦 = −3，𝑥 + 𝑦 = 2，则代数式𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦2的值是 ( ) A． −6 B． 6 C． −5 D． −1 5．如图 1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图 2 是其侧面结构示意图。现量得托板长 AB＝10 cm，支撑板顶端 C 恰好是托板 AB 的中点， 托板 AB 可绕点 C 转动，支撑板 CD 可绕点 D 转动。当 CD⊥AB，且射线 DB 恰好是∠CDE 的平分线时，点 B 到直线 DE 的距离是（ ） A．3 cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm 第 3 题图 八年级数学试题 第 2 页 （共 7 页） 6．如图，在△ 𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐵𝐶的垂直平分线交𝐵𝐶于点𝐸，交𝐵𝐷于点𝐹，连接𝐶𝐹。 若∠𝐴 = 50°，∠𝐴𝐵𝐷 = 30°，则∠𝐴𝐶𝐹的度数为（ ） A．30° B．40° C．45° D．50° 7．一个小组有若干人，新年互相发送 1 条祝福信息，已知全组共发送 306 条信息，则这个小组有多少人？设这个小组有 x 人，根据题意可列方程 （ ） A． ( 1) 306x x B． 1 ( 1) 306 2 x x C． ( 1) 306x x D． 1 ( 1) 306 2 x x 8．如图，在 ABCD 中，CE 平分∠BCD，交 AB 于点 E，EA＝2，EB＝3， 5ED ，则 CE 的长是（ ） A．5 2 B．5 5 C． 4 5 D． 30 9．如图，在△OAB 中，已知 OA＝OB＝8，∠AOB＝120°，点 C 为 OB 的中点，过点 C 作 CD ⊥y 轴，垂足为 D。将△OCD 向右平移，当点 C 的对应点 C′落在 AB 边上时，点 D 的对应 点 D′的坐标为（ ） A． 2（4，2 ） B． 3（4，2 ） C． 2（6，2 ） D． 3（6，2 ） 10．如图，若将图 1 正方形剪成四块，恰能拼成图 2 的矩形，则 b a 的值为（ ） A． 5 1 2  B． 5 1 2  C． 5 3 2  D． 2 1 第 9 题图 第 8 题图 第 6 题图 八年级数学试题 第 3 页 （共 7 页） 二、填空题（本大题共 5个小题，每小题 4分，共 20分） 11．比较大小：已知m n，则 2 1m 2 1n （填“＞”，“＝”或“＜”）。 12．如果一个多边形的每一个外角都等于 45°，那么这个多边形的边数是 。 13．关于 x 的方程 2 4 2 0mx x 有两个不相等的实数根，请写出一个符合条件的 m 的 值 。 14．如图，在 Rt△ABC 中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为 S1，S2，S3。若 2 1 3 24S S S ，则图中阴影部分的面积为 。 15．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点 D 为△ABC 外一点，连接 BD，AD，CD， ∠ADC＝60°，BD＝10，DC＝8，则 AD＝ 。 三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 16．（7 分）解不等式组： 2 5 3 1 2 3 x x x       ＜ ，把解集表示在数轴上，并写出它的所有整数解。 17．（6 分）化简： 2 2 9 (1 ) 3 6 9 a a a a a       ，并在﹣3，0，3 中选择一个合适的 a 值代入求值。 第 15 题图 八年级数学试题 第 4 页 （共 7 页） 18．（6 分）如图，在菱形 ABCD 中，E，F 分别是边 CD，BC 上的点，且 DE＝BF，连接 BE， DF 交于点 G，求证：BE＝DF。 19．（10 分）解方程： （1） 5 1 3 1 1 3 x x x     ； （2） 23 4 1 0x x 。 20．（10 分）《哪吒 2》上映后非常火爆，哪吒的造型深受儿童喜爱，为满足儿童对哪吒的喜爱， 某玩具店决定购进 A，B 两种哪吒玩偶。已知一个 B 种哪吒玩偶比一个 A 种哪吒玩偶价格 贵 10 元，玩具店用 3000 元购进 A 种哪吒玩偶的数量是用 2000 元购进 B 种哪吒玩偶数量 的 2 倍。 （1）求购进 A，B 两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ （2）因玩偶销售火爆，该玩具店决定用不超过 3600 元再次购进 A，B 两种哪吒玩偶共 100 个进行销售，且将每个 A 种哪吒玩偶售价定为 42 元，每个 B 种哪吒玩偶售价定为 55 元，那 么 A，B 两种哪吒玩偶各购进多少个时获利最多？最大利润是多少元？ 八年级数学试题 第 5 页 （共 7 页） 21．（10 分）（1）图 1 是在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，小明同学用直尺和圆规作矩形 ABCD，作 法是“以点 A 为圆心，BC 长为半径画弧；以点 C 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点 D，连接 AD，CD”。请判断所作四边形 ABCD 是不是矩形，并证明你的结论。 （2）如图 2，在矩形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E，O 是 AC 中点，在 BC，CD，DA 上各 找一点 F，G，H，使得四边形 EFGH 是菱形，并简要说明作图步骤。（要求：利用直尺和圆规 作出图形，保留作图痕迹） 22．（8 分）“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解 决很多抽象的数学问题。同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些 数学问题。如图，题目中的所有网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，且点 O， A，B，C，D 都在格点上， （1）如图 1，AB 的长度为 ，△AOB 中 AB 边上的高的长度为 。 （2）如图 2，在正方形网格中构造△ABC，可以比较√5 + 1与√10的大小，其理由如下： 因为在△ABC 中，点 A，B，C 都为小正方形的顶点（构造图形），所以 AB+BC＞AC（三角形 任意两边之和大于第三边）。因为𝐴𝐵 = √22 + 12 = √5，𝐴𝐶 = √32 + 12 = √10（勾股定理）， BC＝1，所以√5 + 1＞√10。 请你参考例子中的方法，在图 3 中构造图形，比较√13 + √2与√17的大小，并说明理由。 （3）如图 4，∠DAB+∠CAB 的度数为 。 八年级数学试题 第 6 页 （共 7 页） 23．（9 分）定义：已知关于 x 的一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a 有两个实数根 1x ， 2x ， 若满足 1 2 1 2x x x x ，则称此类方程为“差积方程”。 例如： 2 3 1 0 2 2 x x   ， 即 1 ( )( 1) 0 2 x x ， 解得 1 2 1 , 1 2 x x ， ∵ 1 1 1 1 2 2    ， ∴ 2 3 1 0 2 2 x x   是差积方程。 （1）方程 2 5 6 0x x （填是或不是）“差积方程”； （2）若关于 x 的方程 2 ( 3) 3 0x m x m 是“差积方程”，求出m 的值； （3） 若关于 x 的方程 2 0x bx c 是“差积方程”，且它的一个实数根为﹣1， 则b c＝ 。 24．（12 分）如图，正方形 ABCD 边长为 4，点 E 在边 AB 上（点 E 与点 A，B 不重合），过点 A 作 AF⊥DE，垂足为 G，AF 与边 BC 相交于点 F。 （1）求证：AE=BF； （2）若△DEF 的面积为 6，求 AF 的长； （3）在（2）的条件下，取 DE，AF 的中点 M，N，连接 MN，请直接写出 MN 的长。 八年级数学试题 第 7 页 （共 7 页） 25．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，已知 A（4，0），以 OA 为一边在第四象限内画正方 形 OABC，D（m，0）为 x 轴上的一个动点（m＞4），将 BD 绕点 B 顺时针旋转 90°到 BE， 连接 DE。 （1）点 B 的坐标为 ； （2）试判断线段 AE，CD 的关系，并说明理由； （3）设 DE 的中点为 F，直线 AF 交 y 轴于点 G。问：随着点 D 的运动，点 G 的位置是否 会发生变化？若保持不变，请求出点 G 的坐标；若发生变化，请说明理由。 2024—2025学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试题 1、 选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求。） 1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录。下列剪纸作品中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 3．一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸。如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A，B对应的刻度为1，7，则CD等于（　　）第3题图 A．6 cm B．4 cm C．3 cm D．3.5 cm 4．已知 ，，则代数式的值是 (     ) A． B． C． D． 5．如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图。现量得托板长AB＝10 cm，支撑板顶端C恰好是托板AB的中点，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动。当CD⊥AB，且射线DB恰好是∠CDE的平分线时，点B到直线DE的距离是（　　） A．3 cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm 6．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接若，，则的度数为（　　）第6题图 A．30° B．40° C．45° D．50° 7．一个小组有若干人，新年互相发送1条祝福信息，已知全组共发送306条信息，则这个小组有多少人？设这个小组有人，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 8．如图，在ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝2，EB＝3，，则CE的长是（　　） A． B． C． D． 第8题图 第9题图 9．如图，在△OAB中，已知OA＝OB＝8，∠AOB＝120°，点C为OB的中点，过点C作CD⊥y轴，垂足为D。将△OCD向右平移，当点C的对应点C′落在AB边上时，点D的对应点D′的坐标为（　　） A． B． C． D． 10．如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11．比较大小：已知，则 　 　 （填“＞”，“＝”或“＜”）。 12．如果一个多边形的每一个外角都等于45°，那么这个多边形的边数是　 　。 13．关于x的方程有两个不相等的实数根，请写出一个符合条件的的值 　 　。 14．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3。若，则图中阴影部分的面积为 。 第15题图 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为△ABC外一点，连接BD，AD，CD，∠ADC＝60°，BD＝10，DC＝8，则AD＝ 。 三、解答题（本大题共10个小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 16．（7分）解不等式组：，把解集表示在数轴上，并写出它的所有整数解。 17．（6分）化简：，并在﹣3，0，3中选择一个合适的a值代入求值。 18．（6分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的点，且DE＝BF，连接BE，DF交于点G，求证：BE＝DF。 19．（10分）解方程： （1）； （2）。 20．（10分）《哪吒2》上映后非常火爆，哪吒的造型深受儿童喜爱，为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定购进A，B两种哪吒玩偶。已知一个B种哪吒玩偶比一个A种哪吒玩偶价格贵10元，玩具店用3000元购进A种哪吒玩偶的数量是用2000元购进B种哪吒玩偶数量的2倍。 （1）求购进A，B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ （2）因玩偶销售火爆，该玩具店决定用不超过3600元再次购进A，B两种哪吒玩偶共100个进行销售，且将每个A种哪吒玩偶售价定为42元，每个B种哪吒玩偶售价定为55元，那么A，B两种哪吒玩偶各购进多少个时获利最多？最大利润是多少元？ 21．（10分）（1）图1是在Rt△ABC中，∠B＝90°，小明同学用直尺和圆规作矩形ABCD，作法是“以点A为圆心，BC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，CD”。请判断所作四边形ABCD是不是矩形，并证明你的结论。 （2）如图2，在矩形ABCD的边AB上任取一点E，O是AC中点，在BC，CD，DA上各找一点F，G，H，使得四边形EFGH是菱形，并简要说明作图步骤。（要求：利用直尺和圆规作出图形，保留作图痕迹） 22．（8分）“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题。同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题。如图，题目中的所有网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，且点O，A，B，C，D都在格点上， （1）如图1，AB的长度为 　　 ，△AOB中AB边上的高的长度为 　　 。 （2）如图2，在正方形网格中构造△ABC，可以比较与的大小，其理由如下：因为在△ABC中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以AB+BC＞AC（三角形任意两边之和大于第三边）。因为（勾股定理），BC＝1，所以。 请你参考例子中的方法，在图3中构造图形，比较与的大小，并说明理由。 （3）如图4，∠DAB+∠CAB的度数为　 　 。 23．（9分）定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“差积方程”。 例如：， 即， 解得， ∵， ∴是差积方程。 （1）方程 　 　 （填是或不是）“差积方程”； （2）若关于的方程是“差积方程”，求出的值； （3） 若关于x的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为﹣1， 则＝ 　 　。 24．（12分）如图，正方形ABCD边长为4，点E在边AB上（点E与点A，B不重合），过点A作AF⊥DE，垂足为G，AF与边BC相交于点F。 （1）求证：AE=BF； （2）若△DEF的面积为6，求AF的长； （3）在（2）的条件下，取DE，AF的中点M，N，连接MN，请直接写出MN的长。 25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（4，0），以OA为一边在第四象限内画正方形OABC，D（m，0）为x轴上的一个动点（m＞4），将BD绕点B顺时针旋转90°到BE，连接DE。 （1）点B的坐标为　 　 ； （2）试判断线段AE，CD的关系，并说明理由； （3）设DE的中点为F，直线AF交y轴于点G。问：随着点D的运动，点G的位置是否会发生变化？若保持不变，请求出点G的坐标；若发生变化，请说明理由。 八年级数学试题 第7页 （共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试题答案 一、选择题 题号 1 2 3 6 9 10 答案 A D A B B D B A 二、填空题 11.<12.8 13.1(答案不唯一)14.615.25 三、解答题 16解： (2x+5≥3①， <学② 解不等式①得，≥-l，2分 解不等式②得，x<2, 4分 ∴.不等式组的解集为-1≤x<2, 5分 不等式组的解集在数轴上表示如下： -5-4-3-2-1012345 6分 ∴.不等式组的整数解为-1,0,1。 47分 17解：原式=号÷43型 (a3 2分 (a32 43分 3 4分 由题意得，a≠士3,5分 3 ∴代入a=0,原式=-=-1。 6分 18证明：，四边形ABCD是菱形， ..BC=DC, 分 .DE=BF, ∴BCBF=DCDE, ..CE=CF, 2分 在△BCE和△DCF中， (BC=DC ∠C=∠C CE=CF ∴.△BCE≌△DCF(SAS), 5分 ..BE=DF 6分 19解：1)3高=1- 方程两边同时乘(3x-1),得x=3x-1+5, .2分 解得：-2,4分 经检验：x=-2是原分式方程的根。……5分 (2)3x2-4x-1=0。 a=3,b=-4,c=-1 .A=b2-4ab=28>0 2分 ÷x=-btB2-4ae 4±2√72±V7 2a 6 3 4分 2+√7 2-7 .x1= ，2= 3 3 .5分 20解：(1)设A种哪吒玩偶的单价为x元，则B种哪吒玩偶的单价为(+10)元， 根据趣意得： 3000+节 2000 ×2, 2分 解得：x=30, 3分 经检验，x=30是所列方程的解，且符合题意， ∴.+10=40. …4分 答：A种哪吒玩偶的单价为30元，B种哪吒玩偶的单价为40元： (2)设玩具店购进A种玩偶m个，则购进B种哪氏玩偶(100~m)个， 根据题意得：30m+40(100-m)≤3600， 5分 解得：m≥40， 6分 设总获利为w元， 根据题意得：w=(42-30)m+(55-40)(100-m)=-3m+1500,7分 -3<0, W随m的增大而减小，8分 ∴.当m=40时，w有最大值，最大值=·3×40+1500=1380元， 此时，100-m=60, 4410分 答：A种哪吒玩偶购进40个，B种哪吒玩偶购进60个时获利最多，最大利润为1380元。 (可根据实际情况进行分数调整) 21.解：(1)如图1中，四边形ABCD是矩形。.1分 理由：：AD=BC,AB=CD, .四边形ABCD是平行四边形，… .3分 ,∠B=90°， ∴.四边形ABCD是矩形： 5分 (2)①连接EO并延长交CD于点G,②作线段EG的垂直平分线交AD于点H,交BC 于点F,③连接EF,FG,GH,HE。此时四边形EFGH即为所求。8分 说明：第二步写成“②过点O作HF⊥EG,分别交AD于点H,交BC于点F”,也正确 六 H (图2) 10分 22. 解：D5;5 2分 (2)13+2>17: 理由：如图所示， 由图可知，DE=22+32=13,F=2+1=2,DF=V2+42=7 在△4BC中，DE+EF>DF, ∴V13+2>7。 .6分 (3)45 8分 23.解：(1)不是：2分 (2)解x2-(m+3)x+3m=0得方1=3，x2=m, :x2。(m+3)x+3m=0是“差积方程”， ∴.3-m=3m, 即3-m=3m或3-m=-3m, 解得m=寻或m=一寻； 7分 (3)249分 24.(1)证明：，四边形ABCD是正方形， ∴AD=BA,∠DAE=∠B=∠C=90°， .∠DAF+∠BAPF=90°，…1分 ,AF⊥DE, ∠DAF+∠ADE=90°，2分 ∴.∠ADE=∠BAF, 4443分 在△ADE和△BAF中， I∠DAE=∠B=90o AD=BA N∠ADE=∠BAF ∴.△ADE≌△BAF(ASA): ∴AE=BF 5分 (2)解：设AE=a, ,四边形ABCD是正方形，且边长为4， ∴AD=BA=BC=CD=4,AB∥CD, ∴.BE=AB-AE=4-a, 6分 由(1)可知：△ADE≌△BAF, ∴AE=BF=a, ∴.CF=BC-BF=4-a, 7分 ∴SMDE=2a,SABEF=ia(4-a),S△Dcr=2(4-a), 又，S正方形ABCD=16,△DEF的面积为6， ∴.S正方形ABCD-S△MDB·S△BEF-S△DCP=6, 16-2a-青a(4-a）-2(4-a）=6,8分 整理得：a2-4a+4=0, .(a-2)2=0, ∴.a=2, ..AE=BF=a=2, 在Rt△4BF中，由勾股定理得：4F=√AB2+BF2=√42+2=25.10 分 (3)2 44412分 25解：(1)(4，-4)：】分 （2）AE=CD且AE⊥CD.3分 理由：设AE与BD,CD分别交于点M,N 由正方形OABC,可得BC=BA,∠ABC=90°， 由等腰直角三角形BDE,可得BD=BE,∠DBE=90°， ∴.∠ABC+∠ABD=∠DBE+∠ABD, 即∠CBD=∠ABE, ∴.△CBD≌△ABE(SAS), .CD=AE,∠CDB=∠AEB5分 在△DMN和△BEM中， ∠CDB=∠AEB,∠DMN=∠BME, ∴.∠DMM=∠DBE=90°， AE⊥CD7分 (3)点G的位置不会发生变化。 理由：如图，过点E作PQ∥OD,分别交直线AB,AF于点P,Q, y D ∠DAB=∠P=∠DBE=90°， ,∠ADB+∠ABD=∠PBE+∠ABD=90°， .∠ADB=∠PBE, 又DB=BE, .△ADB≌△PBE(AAS), ..AD=PB,AB=PE, 9分 ,F是DE的中点， ∴.DF=EF, ,AD∥EQ, ∴.∠DAF=∠Q, 又，∠AFD=∠QFE, ∴.△ADF≌△QEF(AAS), .AD=OE. ..AB+BP=PE+EO,AP=OP, ∴.∠AQP=45°， 11分 又，PQ∥OD, .∠OAG=∠0=45°， ∴.△AOG是等腰直角三角形， ∴.G0=A0=4, .G(0,4)，即点G的位置不会发生变化。12分