第二十三章 旋转 单元测试 2025-2026学年人教版九年级数学上册

2025年九年级上册 第二十三章 旋转 单元测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.(2025·山东)下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.(2024·贵州期末)如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转后得到，则下列四个图形中正确的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 4.如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在上，连接，则的值为(    ) A. B. C. D. 5.将含有角的直角三角板按如图所示方式放置在平面直角坐标系中，在轴上，将三角板绕原点逆时针旋转，当点恰好落在轴正半轴上时停止，若，则点的对应点的坐标为(    ) A. B. C. D. 6.(2025·江苏期末)如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是(    ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7.(2024·吉林期末)如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，点在边上，则的大小是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在三角形中，，，将此三角形绕点沿顺时针方向旋转后得到三角形，若点恰好落在线段上，、交于点，则的度数是(    ) A. B. C. D. 9.(2025·江苏)如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，延长交于点，则下列结论一定正确的是(    ) A. B. C. D. 10.(2025·山东)如图，在等腰直角三角形中，，一个三角尺的直角顶点与边的中点重合，且两条直角边分别经过点和点，将三角尺绕点按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与，分别交于点，时，下列结论中错误的是(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.(2025·山东期末)点关于原点对称的点的坐标是          ． 12.两个全等的三角尺重叠摆放在的位置，将其中一个三角尺绕着点按逆时针方向旋转到的位置，使点恰好落在边上，与相交于点已知，，，则 ______． 13.如图，在直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将点绕点逆时针旋转，再向下平移个单位，此时点的对应点的坐标为______． 14.如图，在中，，，点为中点，将绕点逆时针旋转，得到，与交于点，则______． 15.如图，在矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，若点的对应点恰好落在上，则的长为______． 16.如图，在边长为的菱形中，，连接，以为边作第二个菱形，使得，连接，再以为边作第三个菱形，使得，连接，再以为边作第四个菱形，使得，，按照此规律继续作下去，则第个菱形的对角线的长为______． 17.(2025·广东)如图，正方形的边长为，将正方形绕点逆时针旋转角得到正方形，连接，当点恰好落在线段上时，线段的长度是          ． 18.如图，将▱绕点逆时针旋转到▱的位置，使点落在上，与交于点若，，，则的长为______． 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分如图，在正方形中，、是对角线上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接． 求证：是的平分线； 已知，，求的长． 20.本小题分如图，已知，是线段上的两点，，，，以为中心顺时针旋转点，以为中心逆时针旋转点，使，两点重合成一点，构成，设． 求的取值范围； 求面积的最大值． 21.本小题分两个长为，宽为的长方形，摆放在直线上如图，，将长方形绕着点顺时针旋转角，将长方形绕着点逆时针旋转相同的角度． 当旋转到顶点、重合时，连接、，求证：≌如图． 当时如图，求证：四边形为正方形． 22.本小题分如图，为等边三角形内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点，连接． 求证：； 求的度数． 23.本小题分如图，已知中，，把绕点沿顺时针方向旋转得到，连接，交于点． 求证：≌； 若，，，求的长． 24.(2025·山东)本小题分如图，已知正方形的边长为，、分别是、边上的点，且，将绕点按逆时针方向旋转得到． 求证：； 当时，求的长． 25.(2025·广东)本小题分在正方形中，点在射线上不与点、重合，连接，，将绕点逆时针旋转得到，连接． 如图，点在边上． 依题意补全图； 若，，求的长； 如图，点在边的延长线上，用等式表示线段，，之间的数量关系． 26.(2025·新疆)本小题分在练习课上，慧慧同学遇到了这样一道数学题：如图，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，，以为顶点作，交边，于点，，，连接． 探究，，三条线段之间的数量关系． 慧慧分析：可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等，从而探究出，，三条线段之间的数量关系． 慧慧编题：在编题演练环节，慧慧编题如下： 如图，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，，以为顶点作，交边，于点，，，连接． 先猜想，，三条线段之间的数量关系，再证明． 绕点旋转，当，分别在，的延长线上，完成图，其余条件不变，直接写出，，三条线段之间的数量关系． 请对慧慧同学所编制的问题进行解答． 2025年九年级上册 第二十三章 旋转 单元测试 答案与解析 1.【答案】  【解析】解：不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选B． 2.【答案】  【解析】解：、选项是原图形绕点按顺时针方向旋转后得到，故A符合题意； B、选项B是原图形的对称图形，故B不符合题意； C、选项C是原图形绕点按逆时针方向旋转，故C不符合题意； D、选项D也是原图形绕点按逆时针方向旋转，故D不符合题意； 故选：． 本题主要考查旋转的性质，旋转过程中图形形状和大小都不发生变化，根据旋转性质判断即可． 本题主要考查旋转的性质，熟练掌握并应用旋转的性质是解题的关键，重点注意旋转的方向和角度． 3.【答案】  【解析】解：将绕点逆时针旋转得到， ≌， ，， ， ， ，，， ， 故选：． 由旋转的性质得到，，进而推出，根据三角形内角和定理证得，即可求得的度数． 本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，能灵活运用旋转的性质是解决问题的关键． 4.【答案】  【解析】解：，，， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， 故选：． 由勾股定理可求的长，由旋转的性质可得，，由勾股定理可求的长，即可求解． 本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用勾股定理求出长是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：如图，过点作轴于点． 在中，，，， ，， ， 故选：． 如图，过点作于轴点解直角三角形求出，可得结论． 本题考查旋转变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 6.【答案】  【解析】解：如图，连接，分别作，的中垂线，交点为点，即点是旋转中心， 故选：． 分别作，的中垂线，交点为点，即点是旋转中心． 本题考查了旋转的性质，掌握旋转的中心在对应点所连线段的垂直平分线上是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到， ，， ． 故选A． 8.【答案】  【解析】解：，， ， ， ， ， ， 故选：． 根据，求出，即可解决问题． 本题考查旋转变换，直角三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9.【答案】  【解析】解：由旋转可得，≌， ，故A选项错误， ，故B选项错误， ，故C选项错误， ， 又， ， ， ，即，故D选项正确， 故选：． 依据旋转可得，≌，再根据全等三角形的性质，即可得出结论． 本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：旋转前、后的图形全等． 10.【答案】  【解析】解：连接，如图所示， 为等腰直角三角形，点为的中点， ，，． ，， ． 在和中，， ≌， ， ，选项A正确； ，，， ，选项B正确； ≌， ， ，选项D正确． 故选：． 11.【答案】  【解析】解：根据两个点关于原点对称， 点关于原点对称的点的坐标是； 故答案为． 根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是 本题考查了关于原点对称的点的坐标，运用时要熟练掌握，可以不用图画，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 12.【答案】  【解析】解：将其中一个三角尺绕着点按逆时针方向旋转至的位置，使点恰好落在边上， ，， ， ，， ， ， ， 可得， ， ， ， 故答案为：． 利用旋转的性质得出，，再利用已知角度得出，再利用直角三角形的性质得出的长． 此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，正确得出的度数是解题关键． 13.【答案】  【解析】解：如图，将点绕点逆时针旋转后，对应点的坐标为， 再将向下平移个单位，此时点的对应点的坐标为． 故答案为：． 根据旋转变换与平移的规律作出图形，然后解答即可． 本题考查了坐标与图形的变化旋转与平移，作出图形，利用数形结合求解更加简便． 14.【答案】  【解析】解：由题意可得：，， 则， ， ， ， ． 故答案为：． 利用旋转的性质得出，，进而由求出即可． 此题主要考查了旋转的性质以及三角形面积求法，得出是解题关键． 15.【答案】  【解析】解：如图，连接， 四边形是矩形， ，， 将矩形绕点逆时针旋转得到矩形， ，，， ， ， ， ，， ∽， ， ， 故答案为：． 由旋转的性质和勾股定理可求，由勾股定理可求的长，通过证明∽，由相似三角形的性质可求解． 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，旋转的性质等知识，证明三角形相似是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：连接，交于点， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 同理可得，， 即可得第个菱形的对角线的长为：， 第个菱形的对角线的长为：， 第个菱形的对角线的长为：， 第个菱形的对角线的长为：． 故答案为：． 根据已知和菱形的性质可分别求得，，的长，从而可发现规律根据规律不难求得第个菱形的对角线，据此可得答案． 本题考查了规律型：图形的变化类，菱形的性质，含角的直角三角形以及锐角三角函数的运用；根据第一个和第二个菱形的边长得出规律是解决问题的关键． 17.【答案】  【解析】解：如图，连接，过点作于，则， 将正方形绕点逆时针旋转角得到正方形，点恰好落在线段上， ，，， ，， 在中，由勾股定理得：， ． 故答案为：． 18.【答案】  【解析】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点． 由旋转可知，，， ， ，， ， ， ， ，则， ， ， ， ， ∽， ， 设，则， ， ， 又， ， ， ∽， ， ，， ，， ，解得． ，， ． 故答案为：． 过点作于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点，由勾股定理可得，，由等面积法可得，，由勾股定理可得，，由题可得，∽，∽，则，，设，则，，则，解得最后由勾股定理可得，． 本题主要考查平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定等，构造正确的辅助线是解题关键． 19.【答案】证明：将绕点顺时针旋转后，得到， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 是的平分线； 由得≌， ，， 四边形是正方形， ， ， ， 在中，， 又， ， ．  【解析】直接利用旋转的性质得出≌，进而得出，即可得出答案； 由全等三角形的性质可得，，再结合勾股定理得出答案． 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明≌是解题关键． 20.【答案】解：，，， ， 由旋转的性质得，，， 由三角形的三边关系得， 的取值范围是； 如图，过点作于，设， 由勾股定理得，， ， ， ， 两边平方并整理得，， 两边平方整理得，， 的面积， 所以，当时，的最大面积的平方为， 的最大面积为．  【解析】表示出，再根据旋转的性质可得，，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边和三角形的任意两边之差小于第三边列出不等式组求解即可； 过点作于，设，利用勾股定理表示出、，再根据列方程求出，然后求出的面积的平方，再根据二次函数的最值问题解答． 本题考查了旋转的性质，三角形的三边关系，勾股定理，二次函数的最值问题，难点在于考虑利用三角形的三边关系列出不等式组，难点在于求解利用勾股定理列出的无理方程． 21.【答案】证明：如图，由题意知，，，， ，即， 在与中， ， ≌； 如图，，， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 矩形是正方形．  【解析】由全等三角形的判定定理证得：≌如图； 通过判定四边形四个角是，且邻边来判定四边形是正方形． 本题考查旋转的性质，全等三角形的判定以及正方形的判定的方法．旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．正方形的判定的方法：两邻边相等的矩形是正方形． 22.【答案】证明：线段绕点逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， ， ，  在和中， ． ≌， ；  解：如图，过点作，，垂足分别为，． ≌， ，， 又，， ， ， ，  在和中， ， ≌， ， ．  【解析】由“”可证≌，可得； 由面积法可求，由“”可证≌，可得，即可求解． 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 23.【答案】证明：由旋转的性质得：≌，且， ，，， ，即， 在和中， ， ≌； 解：， ， ， ， ， ， ．  【解析】由旋转的性质得到三角形与三角形全等，以及，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用得到三角形与三角形全等即可； 由平行线性质得到，再由，得到三角形为等腰直角三角形，便可求得． 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键． 24.【答案】解：证明：绕点逆时针旋转得到， ，， ，， ． 又，， ≌， ； 设， ，， ，， ． 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， 则的长为．  【解析】此题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 由旋转的性质可得，为直角，可得出，由，得到为，可得出，再由，利用可得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等可得出； 由第一问的全等得到，正方形的边长为，用求出的长，再由求出的长，设，可得出，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为的长． 25.【答案】解图形如图所示． 过点作，交的延长线于， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 中，． 结论：． 理由：过点作，交于， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 和都是等腰直角三角形， ，， ， ．  【解析】根据要求画出图形即可； 过点作，交的延长线于证明≌，推出，，推出，再利用勾股定理解决问题即可； 由可得≌，推出，，推出，再利用等腰直角三角形的性质解决问题即可 本题考查作图旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识， 解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 26.【答案】解：，理由如下： 把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，， ，，，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 如图，将绕点逆时针旋转得到， ，，，， ，， 点，点，点三点共线， 在和中， ， ≌， ， ； 如图，将绕点逆时针旋转得到， 同理可证≌， ， ．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$