第14章全等三角形知识框架+知识梳理+章末练习）2025-2026学年人教版数学八年级上册

14 全等三角形复习题 一、本章知识框架 二、本章知识梳理 1、全等图形的定义 （1）全等图形的定义：能够 的两个图形叫做全等形． 注意：（1）全等形的形状相同，大小相等． （2）两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关． 2、全等三角形的定义 （1）全等三角形的概念：能够 的两个三角形叫做全等三角形． （2）全等三角形的对应元素： ① ：全等三角形中，能够重合的顶点；② ：全等三角形中，能够重合的边；③ ：全等三角形中，能够重合的角． （3）全等三角形的表示方法： “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在 的位置上． 3、全等三角形的性质 （1）性质：全等三角形的 ，全等三角形的 ． （2）数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'． （3）全等三角形其他性质：由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的 ．但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等． 4、三角形全等的判定方法（SAS） (1) 分别相等的两个三角形全等（可以简写成“ ”或“ ”）． (2).数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 5、ASA判定三角形全等 （1） 分别相等的两个三角形全等（可以简写成“ ”或“ ”）． （2）.数学语言表达：如图所示，∠B=∠B′，BC=B′C′，∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′. 6、AAS判定三角形全等 （1） 相等的两个三角形全等（可以简写成“ ”或“ ”）． （2）数学语言表达：如图所示，∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 7、SSS判定三角形全等 （1） 分别相等的两个三角形全等（可以简写成“ ”或“ ”）． （2）.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 8、HL判定三角形全等 (1) 分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“ ”或“ ”）． (2)数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 9、作角平分线 已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法： （1）以点 ， 半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心， 为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求．如图所示： 10、角平分线的性质 内容： 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 结论： . 11、角平分线的判定 内容： 在角的平分线上． 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 结论：① ；② . 注意：角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 三、本章知识精练 一、单选题 1．如图，若，，那么判断的依据是（   ） A． B． C． D． 2．已知，若cm，cm，cm，则的长为（    ） A．10cm B．7cm C．6cm D．5cm 3．两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为P，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线重合，连，接并延长．若，则的度数为（）      A． B． C． D． 4．如图,将长方形纸片的边沿折痕折叠,使点落在上的点处,若,,则的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA与点D，PE⊥OB与点E，若OD=4，OP=5，则PE的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 6．如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）所示）．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则的值是（　　）    A．48 B．36 C．24 D．25 8．如图，在△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝90°，在△ACE中，AC＝AE，∠EAC＝90°，CD，BE相交于点F，有下列四个结论：①∠BDC＝∠BEC；②FA平分∠DFE；③DC⊥BE；④DC＝BE．其中，正确的结论有（　　） A．①②③④ B．①③④ C．②③ D．②③④ 9．下列命题是假命题的是（   ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．两边分别相等的两个直角三角形全等 C．如果，，那么 D．斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等 10．如图，，，D是上一点，连接，与的平分线交于点E，连接，若，，则（ ） A． B．1 C． D．2 二、填空题 11．如图，已知，，，则的长为 ． 12．如图，已知ABEACD，且∠B=∠C，则下列结论： （1）∠1=∠2；（2）∠BAD=∠CAE；（3）AD=AE；（4）DB=EC． 其中正确的有 （填序号） 13．如图，，，，相交于点F，则的度数是 ． 14．如图，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD的长是 ． 15．如图，在正方形中，，E是上一点且，连接，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，设点M的运动时间为1秒，当和全等时，t的值是 ． 16．如图，在的边、上取点、，连接，平分，平分，若，的面积是6，的面积是9，则的长是 ．      三、解答题 17．如图，，，，试求的长．    18．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足为E，EF∥BC交AD于F，连接CF．求证：四边形CDEF是菱形． 19．等边△ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F． （1）若AD＝2，求AF的长； （2）求当AD取何值时，DE＝EF． 20．（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 14 全等三角形复习题 1．D 【分析】本题考查全等三角形的判定，由，，再结合公共边即可证得． 【详解】解：∵，， ∴ 故选D． 2．C 【分析】由全等三角形的对应边相等可求得答案． 【详解】解：△，， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 3．B 【分析】本题主要考查了角平分线性质，根据题意，两把相同的长方形直尺的宽度一致，根据摆放方式可知，点P到射线，的距离相等，进而得是的角平分线，有即可求得答案． 【详解】解：∵两把相同的长方形直尺的宽度一致， ∴点P到射线，的距离相等， ∴是的角平分线， ∵， ∴， 故选：B． 4．B 【分析】根据题意设,利用条件将分别表示出来,在中应用勾股定理即可求得本题答案． 【详解】解:设, ∵长方形纸片的边沿折痕折叠,使点落在上的点处， ∴, ∵,, ∴, ∴, ∴在中应用勾股定理:, ∴, ∴在中应用勾股定理: ,即, ∴,即, 故选:B． 【点睛】本题考查勾股定理的应用,翻折变换问题,全等三角形性质,解一元一次方程，灵活运用所学知识是关键． 5．A 【分析】利用勾股定理列式求出PD，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PD． 【详解】解：∵OD=4，OP=5，PD⊥OA， ∴由勾股定理得，， ∵∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PE=PD=3． 故选A． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，勾股定理，是基础题，熟记性质是解题的关键． 6．B 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是关键．过点作，垂足分别为，证明，即可得到答案． 【详解】解：过点作，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B 7．C 【分析】根据八个直角三角形全等，四边形是正方形，得出，再根据得出，求出的值即可． 【详解】解：∵八个直角三角形全等，四边形是正方形， ∴， ∴，， ， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、正方形、全等三角形的性质等知识点，根据已知得出是解决问题的关键． 8．D 【分析】由等腰直角三角形的性质得出∠ADB＝∠AEC＝45°，由∠ADC和∠AEB不一定相等，则可得出①错误；先证明△ADC≌△ABE得到DC＝BE，则可对④进行判断；过A点作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，如图，利用全等三角形对应边上的高相等得到AM＝AN，则根据角平分线的性质定理的逆定理可对②进行判断．利用三角形内角和证明∠BFD＝∠DAB＝90°，则可对③进行判断． 【详解】解：∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形， ∴∠ADB＝∠AEC＝45°， ∵∠BDC＝∠ADB﹣∠ADC＝45°﹣∠ADC， ∠BEC＝∠AEC﹣∠AEB＝45°﹣∠AEB， ∵∠ADC和∠AEB不一定相等， ∴∠BDC与∠BEC不确定相等； 故①错误， ∵∠DAB＝∠EAC＝90°， ∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE， 在△ADC和△ABE中， ， ∴△ADC≌△ABE（SAS）， ∴DC＝BE， 故④正确； 过A点作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，如图， ∵△ADC≌△ABE， ∴AM＝AN， ∴AF平分∠DFE，所以②正确． ∵∠ADC+∠1+∠DAB＝∠ABE+∠2+∠BFD， 而∠ADC＝∠ABE，∠1＝∠2， ∴∠BFD＝∠DAB＝90°， ∴DC⊥BE，所以③正确； 故正确的结论为②③④． 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．证明△ADC≌△ABE是解决问题的关键．也考查了等腰直角三角形的性质． 9．B 【分析】本题考查真假命题的判断，根据平行线的性质、全等三角形的判定定理、有理数的乘法法则逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、根据平行线性质定理，两直线平行时，同旁内角互补，故A为真命题，不符合题意； B、两边分别相等的直角三角形不一定全等，例如，若一个三角形的两条直角边为3和4（斜边5），另一个三角形的一条直角边为3，斜边为4（另一条直角边为），此时两边相等但三角形不全等，因此B为假命题，符合题意； C、若且，则显然成立，故C为真命题，不符合题意； D、斜边及一锐角对应相等的直角三角形，可通过“AAS”或“ASA”判定全等，故D为真命题，不符合题意； 故选：B． 10．D 【分析】设，根据面积公式计算，得出，过E作，的垂线，垂足分别为F，G；证明四边形为正方形，然后在直角三角形中，可得，求出正方形的边长，再利用已知的面积建立等式解出x，最后求出即可． 【详解】解：过点E作，的垂线，垂足分别为F，G， 平分，，， ， 设，则， 又，， ， ， ， ，，， 四边形是是矩形 又， 矩形是正方形， ， ， ， ，即， 解得，， 则， 解得，， 则， 故选：D． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质、角平分线的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等、角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 11．3 【分析】根据全等三角形对应边相等得到，再由进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等，对应角相等是解题的关键． 12．（1）、（2）、（3）、（4） 【分析】根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，即可进行判断． 【详解】解：∵ABEACD，且∠B=∠C， ∴∠1=∠2，BE=CD，AD=AE，∠BAE=∠CAD， ∴BEDE=CD-DE，∠BAE∠DAE=∠CAD∠DAE， 即BD=CE，∠BAD=∠CAE， 综上，（1）（2）（3）（4）均正确； 故答案为：（1）、（2）、（3）、（4）． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质．找准两个全等三角形的对应角、对应边是解题的关键． 13．/20度 【分析】根据全等三角形的性质得到，，求出，根据三角形内角和定理可求得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 14． 【分析】由勾股定理得BC=3，过点D作DE⊥AB于E，再由角平分线的性质得，然后证明，得到BE=BC=3，然后设，则，在中，根据勾股定理建立方程，即可解决问题． 【详解】过点D作DE⊥AB于E， ∵AC＝4，AB＝5，∠C＝90°， ∴， ∵BD平分∠ABC交AC于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，运用方程思想解决几何问题是本题的关键． 15．3.5或6.5 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质．分两种情况进行讨论，根据“全等三角形的对应边相等”并结合题意得出和，即可求得答案． 【详解】解：如下图，    ①当点在上时， ∵和全等， ∴， 由题意可得， 所以（秒）； ②当点在上时， ∵和全等， ∴， 由题意得：， 解得（秒）． 所以，当的值为3.5秒或6.5秒时．和全等． 故答案为：或． 16． 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形面积公式． 过点作于，于，于，连接，根据角平分线的性质及三角形的面积得出，再根据，代入数据进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于，于，于，连接，   ，平分，，， ， 同理可得， ， ，的面积是6， ， ， ， 的面积是9， ， ，即， ， 故答案为：． 17． 【分析】由全等三角形的性质可得，再利用线段的和差可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解本题的关键． 18．见解析 【分析】由角平分线的性质得到DC＝DE，进而由“HL”定理证得Rt△ACD≌Rt△AED，得到∠3＝∠4，由平行线的性质及等腰三角形的判定得到EF＝DE＝DC，EF∥DC，由菱形的判定即可得到四边形CDEF是菱形． 【详解】证明：如图，∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，AD平分∠CAB， ∴DC＝DE， 在Rt△ACD和Rt△AED中，， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴∠3＝∠4， ∵EF∥BC， ∴∠3＝∠5， ∴∠4＝∠5， ∴EF＝DE， ∴EF∥DC，EF＝DE＝DC， ∴四边形CDEF是菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，以及等角对等边的性质，等边对等角的性质，熟练掌握各性质与菱形的判定方法是解决问题的关键． 19．（1） （2） 【分析】（1）根据等边三角形的性质及AD=2，可以求出BD的长，在根据30°所对直角边等于斜边的一半可知BE的长度，继而求出CE的长度，再利用30°的性质计算CF的长度，根据AF=AC-FC计算即可； （2）先利用AAS证明△BDE≌△CFE，则有BE=CF=，BE=BC=，BD=2BE=，则有AD=AB-BD=时，DE=EF； 【详解】（1）∵AB=8，AD=2， ∴ BD=AB-AD=6， 在Rt△BDE中，∠BDE=90°-∠B=30°， ∴BE=BD=3， ∴CE=BC-BE=5， 在Rt△CFE中，∠CEF=90°-∠C=30°， ∴CF=CE=， ∴AF=AC-FC= ； （2）在△BDE和△CFE中 ∴△BDE≌△CFE(AAS)， ∴ BE=CF， ∴BE=CF=， ∴BE=BC=， ∴BD=2BE=， ∴AD=AB-BD=， ∴ 当AD=时，DE=EF． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的结合求解，考查学生综合运用数学知识的能力，充分掌握和理解直角三角形中的一些特殊的对应关系并灵活运用可解此题； 20．（1）证明见解析  （2）；证明见解析  （3）；理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据不同图形条件，准确找到全等三角形的对应角和对应边，利用 AAS 等判定定理证明全等，进而推导边的关系和面积关系。 （1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等； （2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出，，的数量关系； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，然后再根据三角形的面积公式即可得出，大小关系． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3），大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$