2.1.2 有理数的减法教学设计 2025-2026学年人教版七年级数学上册

本文围绕有理数的减法法则展开，通过实际情境引入，借助加法逆运算探索法则，为后续有理数混合运算奠基。教学中，从实例归纳法则培养抽象能力，用数轴探究距离渗透几何直观，提升运算、推理等核心素养。 该设计创新点在于紧密联系生活，采用问题引导、师生互动教法。既提升学生思维与应用能力，又为教师提供清晰授课路径，有效突破教学难点，增强课堂互动性。

2.1.2 有理数的减法 教材分析 本节课内容为有理数的减法法则及其应用，通过温差问题引入有理数减法的必要性，借助加法逆运算关系探索减法法则，归纳出“减去一个数等于加上这个数的相反数”的规律，并通过具体例子说明减法可转化为加法进行运算。教学过程从实际情境出发，引导学生经历观察、探究、归纳的过程，逐步建立有理数减法的运算模型。本节内容是在学生已经掌握有理数加法、相反数等知识的基础上展开的，与前面学习的加法运算紧密联系，同时为后续学习有理数的加减混合运算及数学运算能力的提升奠定基础。本节课不仅帮助学生掌握有理数减法的运算法则和转化思想，还培养了学生的逆向思维能力和数学建模意识，为进一步学习代数运算、解决实际问题提供了有力支持。 学情分析 七年级学生已经掌握了正数与零的加减运算、数轴的基本概念以及相反数的意义，具备了一定的数感和符号意识，为学习有理数的减法奠定了基础。进入初中后，学生开始从具体运算向抽象符号运算过渡，具备初步的逻辑思维能力和合作探究意识，但对负数参与的运算仍存在理解困难。本节课要求学生通过已有知识经验，探索并理解有理数减法转化为加法的运算规则，掌握的运算形式，并能应用于温差、距离等实际问题中，从而提升运算能力和数学抽象能力，同时发展数形结合思想，为后续学习有理数的混合运算及代数式运算打下坚实基础。 教学目标 理解有理数减法法则的推导过程，掌握减法转化为加法的基本方法，通过探究提升逻辑推理和数学抽象能力，发展运算能力和符号意识。 能运用进行有理数减法运算，理解相反数在减法中的作用，提高数学运算与问题解决能力，培养严谨思维和灵活计算技巧。 掌握有理数加减混合运算的转化方法，能将减法统一为加法运算，提升综合运算能力和表达能力，增强对运算结构的理解与应用意识。 通过数轴上两点距离的探究，理解点A、B之间的距离与的关系，发展数形结合思想，提升数学建模与直观想象核心素养。 重点难点 重点： 理解并掌握有理数减法法则，能进行有理数的加减混合运算。 难点： 理解有理数减法法则的推导，会将加减混合运算统一为加法运算并准确计算。 课堂导入 同学们，假设你们参加一个寻宝游戏，游戏地图上有两个关键地点，宝藏所在位置的海拔高度标记为米，而你们当前位置的海拔高度是米。现在要计算从你们所在位置到宝藏位置需要上升的高度差，这就涉及到了这样的运算，也就是正数与负数的减法。在小学我们知道减法是加法逆运算，那在有理数范围内，这个规则还适用吗？该怎么计算呢？今天，就让我们一起探索有理数的减法法则，看看如何解决这类有趣的数学问题。 有理数的减法法则 探究新知 （一）知识精讲 同学们，让我们通过一个实际问题来理解有理数的减法。如图中所示，北京某天的气温是，要计算这一天的温差（最高气温减最低气温），就需要计算。这里我们遇到了正数与负数的减法运算。 在小学阶段，我们已经知道减法是加法的逆运算。为了将减法运算推广到有理数范围，我们规定有理数的减法与加法之间仍然保持这种关系。比如计算，就是要找一个数，使得它与相加等于。因为，所以这个数应该是，即： 同时我们也知道： 比较(1)(2)两式，可以得到： 通过这个例子我们发现，减去相当于加上。为了验证这个规律是否普遍适用，我们可以尝试其他例子： 再来看另一组例子： ， ， 通过这些计算，我们可以总结出有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为： （二）师生互动 教师提问：同学们，在小学阶段，我们只能计算大于或等于时的减法（都是0或正数），比如或。现在有了有理数减法法则，你能计算或这样的式子吗？ 学生回答：可以计算。根据减法法则，；。 教师追问：非常好！那么一般地，在有理数范围内，较小的数减去较大的数，所得差的符号会是什么呢？ 学生思考后回答：根据减法法则，较小的数减去较大的数相当于较小的数加上较大的数的相反数，而较大的数的相反数是负数，所以结果应该是负数。 （三）设计意图 通过具体的气温差计算问题引入有理数减法，帮助学生建立数学知识与实际生活的联系。通过多个具体例子的计算和比较，引导学生发现有理数减法的规律，培养学生的观察能力和归纳总结能力。师生互动环节通过对比小学阶段的减法运算，帮助学生理解有理数减法法则的普适性，加深对"减去一个数等于加上它的相反数"这一核心概念的理解。整个探究过程注重从具体到抽象的思维发展，培养学生的逻辑推理能力和数学表达能力。 新知应用 例4题目： 计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) 。 解答： (1) 分析：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数。因此，，于是原式变为加法运算。 (2) 分析：同样应用减法法则，将减7转化为加，0加任何数都等于那个数本身。 (3) 分析：减5等于加，两个异号数相加，结果为负数，绝对值为两数差。 (4) 分析：减负数等于加正数，直接进行小数加法即可。 (5) 分析：将减法转化为加法，的相反数是，所以两个负数相加，结果为更小的负数。 总结： 1. 题目考查内容 ① 有理数减法法则的理解与应用； ② 正负数、小数、分数的加减运算； ③ 相反数的概念在减法中的运用。 2. 题目求解要点 ① 熟练掌握“减去一个数等于加上这个数的相反数”的法则； ② 注意符号变化，尤其是负负得正的情况； ③ 对于带分数或小数的运算，先统一形式再进行加减； ④ 异号数相加时，注意结果的符号由绝对值较大的数决定。 新知巩固 题目： 第1题：下列运算错误的是（  ） A． B． C． D． 解答： 我们逐项分析： A． 任何非零数的0次方都是1，所以，因此 此项正确。 B． 先计算括号内的平方： 再取负号： 原式写成“等于9”是错误的，此项错误。 C． 一个数的负一次方是它的倒数： 此项正确。 D． 根据减法法则：减去一个负数等于加上这个数的正数： 此项正确。 综上所述，错误的是选项 B。 总结： 1. 题目考查内容 本题考查有理数的混合运算，包括幂的运算、负指数幂、以及有理数的减法法则。 2. 题目求解要点 掌握幂的运算法则，尤其是0次方和负指数幂的含义。 理解负号与括号的优先级关系，避免误操作。 熟练运用有理数减法法则：减去一个数等于加上它的相反数。 3. 同类型题目解题步骤 按照运算顺序（先乘方、后加减）逐步计算。 注意负号的位置是否在括号外或内，避免混淆。 对于负指数幂，转化为倒数进行计算。 对于减法，统一转化为加法处理。 题目： 第2题：在寒冷的冬天，室外温度是，室内温度是，室内外温差是（  ） A． B． C． D． 解答： 温差是指最高温度减去最低温度，即： 根据有理数减法法则： 所以，室内外温差是 。 正确答案为：C 总结： 1. 题目考查内容 本题考查有理数的减法在实际问题中的应用，特别是涉及正负数的温差计算。 2. 题目求解要点 温差 = 高温 − 低温 减去负数要转化为加上正数 结果应为正值，表示温度差的大小 3. 同类型题目解题步骤 明确“温差”的定义：高温减低温。 将减法转化为加法（如：）。 计算结果并选择单位一致的选项。 有理数的加减混合运算 探究新知 （一）知识精讲 首先，我们来看有理数加减混合运算的简化方法。通过引入相反数的概念，我们可以将加减混合运算统一转化为加法运算。例如，算式可以表示为。这种转化使得运算更加简便。 观察下面的例子： 这个算式表示的是、、、这四个数的和。为了简化书写，我们可以省略括号和加号，将其改写为： 这个简化后的算式可以读作"负20、正3、正5、负7的和"，或者读作"负20加3加5减7"。通过这样的简化，运算过程变得更加清晰。 接下来，我们探讨数轴上两点之间的距离问题。在数轴上，点A和点B分别表示数和。我们来看几个具体的例子： ， ， ， ， 通过观察这些点在数轴上的位置，我们可以发现两点之间的距离可以通过计算得到。例如，对于，，距离为。这个规律适用于所有有理数。 （二）师生互动 教师提问：同学们，如果我们有两个数和，它们在数轴上的位置分别是点A和点B，那么如何用算式表示这两点之间的距离呢？ 学生回答：可以用来表示两点之间的距离。 教师追问：很好！那如果，，这两点之间的距离是多少呢？ 学生思考后回答：距离是。 教师继续提问：那么，如果，，距离又是多少呢？ 学生回答：。 （三）设计意图 通过对有理数加减混合运算的简化方法的讲解，帮助学生理解如何将复杂的运算转化为简单的加法运算，培养他们的运算能力和逻辑思维能力。通过数轴上两点距离的探究，引导学生从具体例子中归纳出一般规律，增强他们的观察能力和归纳能力。师生互动环节通过具体问题的提问和解答，巩固学生对知识点的理解，并激发他们的学习兴趣和探究欲望。整个设计旨在让学生在实际操作和思考中掌握知识，体会数学的简洁美和实用性。 新知应用 例5题目： 计算： 解答： 我们先将减法统一为加法，利用相反数的性质进行转化： 原式可以写成： 接下来我们逐步进行加法运算： 第一步： 第二步： 第三步： 所以，最终结果是： 也可以采用更简洁的书写方式： 总结 1.题目考查内容 ①有理数的加减混合运算； ②加减法统一为加法的运算思想； ③省略括号和加号的简化写法。 2.题目求解要点 ①理解减法可以转化为加法（即 ）； ②掌握省略括号后的表达式读法与计算顺序； ③合理运用加法交换律和结合律简化运算步骤。 探究题目： 在数轴上，点A、B分别表示数 和 。对于以下各组数： (1) ，； (2) ，； (3) ，； (4) ，； 回答下列问题： (1) 观察点A、B在数轴上的位置，你能得出它们之间的距离吗？ (2) 利用有理数的运算，你能用含有 、 的算式表示上述各组点A、B之间的距离吗？ (3) 一般地，你能发现点A、B之间的距离与数 、 之间的关系吗？ 解答： (1) 数轴上两点之间的距离 我们以第一组为例： 当 ， 时，在数轴上，点A在2的位置，点B在6的位置。两点之间的距离就是从2到6的距离，即： 同理，其他几组计算如下： 第二组：，，距离为 第三组：，，距离为 第四组：，，距离为 (2) 用有理数运算表示距离 通过观察发现，无论 和 是正还是负，点A和点B之间的距离都可以表示为： 或者等价地： 这是因为绝对值可以表示两个数之间的“差”的大小，不考虑方向。 (3) 一般结论 在数轴上，任意两点A、B分别表示数 和 ，则它们之间的距离为： 这说明：数轴上两点之间的距离等于这两个数之差的绝对值。 总结 1.题目考查内容 ①数轴上两点之间的距离概念； ②绝对值的意义及其应用； ③有理数的减法与绝对值的结合使用。 2.题目求解要点 ①理解数轴上两点间距离的几何意义； ②掌握用绝对值表示距离的代数方法； ③能够灵活运用 或 表示距离； ④理解绝对值的本质是“非负的距离”。 新知巩固 题目： 第1题：黑板上有按规律排列的20个整数：1，，3，，5，，7，，，19，。对它们进行如下操作：划掉其中三个数，并将这三个数之和的个位数字添写在黑板上，其符号与划掉的这三个数之和的符号相同，然后连同所添写的数一起，重复上述操作，直到剩下两个数为止。若一个数是，则另一个数是（　　） 解答： 我们先分析原始的20个数： 这些数的特点是正负交替，且绝对值依次递增。 第一步：观察总和 我们先计算这20个数的总和： 每组两个数相减的结果都是 ，共有10组： 所以这20个数的总和为 。 第二步：理解操作过程 每次操作是划掉三个数，添加一个新数，这个新数的大小是这三个数之和的个位数字，符号与和的符号一致。 注意：每次操作后，总数减少2个（划掉3个，添加1个），因此经过9次操作后，共减少 个数，最终剩下2个数。 第三步：利用不变量思想 在整个操作过程中，虽然具体数值会变化，但我们可以考虑“所有数的和”的变化情况。 每次操作中，划掉三个数 ，添加一个新数 ，其中 是 的个位数字，符号与 相同。 因此，新的总和变为： 由于 是 的个位数字，符号一致，所以 与 同号，且相差的是10的倍数。 因此，整个操作过程中，总和的变化是模10保持不变的。 初始总和为 ，即模10余0。 最终剩下的两个数之和也必须满足模10余0。 已知其中一个数是 ，设另一个数为 ，则有： 所以另一个数的个位数字是6。 选项中个位数为6的有： C． 或 6 其中6符合条件。 答案：C 总结： 1. 题目考查内容 有理数的加减混合运算 数列求和 模运算思想 不变量思想（总和模10不变） 2. 题目求解要点 初始数列的总和为 每次操作后总和变化为 ，其中 是 的个位数字，符号一致 因此总和模10保持不变 最终两个数之和也应模10余0 已知一个数为 ，求另一个数使得和为10的倍数 3. 同类型题目解题步骤 分析初始数列的结构和总和； 理解操作规则，判断是否涉及不变量； 利用模运算或不变量思想简化问题； 设未知数，列出等式或不等式； 结合选项验证并得出结论。 题目： 第2题：在正整数中，前50个偶数的和减去前50个奇数的和所得的结果是（　　） 解答： 前50个偶数为： 这是一个等差数列，首项 ，公差 ，项数 等差数列求和公式为： 代入得： 前50个奇数为： 同样使用等差数列求和公式： 两者的差为： 答案：A 总结： 1. 题目考查内容 等差数列求和 偶数与奇数的基本性质 有理数的减法运算 2. 题目求解要点 掌握等差数列求和公式 正确识别偶数和奇数的起始项与公差 分别求出偶数和、奇数和 计算差值时注意顺序（偶数和减奇数和） 3. 同类型题目解题步骤 明确数列类型（等差/等比）； 写出首项、公差、项数； 使用对应公式求和； 根据题意进行加减运算； 注意结果的符号和单位。 题目： 第3题：把 写成省略加号的和的形式为（　　） 解答： 原式为： 根据有理数加减法则： 减去正数等于加上它的相反数： 减去负数等于加上它的相反数： 加上负数保持不变： 所以原式可转化为： 答案：C 总结： 1. 题目考查内容 有理数的加减混合运算 去括号法则 省略加号的写法 2. 题目求解要点 理解“减去一个数”等于“加上它的相反数” 正确处理括号前的符号 将表达式统一为加法形式 写成省略加号的和的形式 3. 同类型题目解题步骤 将所有减法转化为加法； 去掉括号，保留数字及其符号； 按照顺序写出所有项； 省略加号，只保留数字和符号； 检查是否与原式等价。 板书设计 有理数的减法与混合运算 ├─有理数减法法则 │ ├─ 实例：，，所以 │ └─ 法则：，减去一个数等于加这个数的相反数 ├─有理数加减混合运算 │ ├─ 统一为加法： │ └─ 简写规则：省略括号与加号，如 └─数轴上两点距离 ├─ 几何意义：点、间线段长度 └─ 代数公式： 教学反思 本节课围绕有理数的减法法则展开，通过实际情境引入温差计算问题，引导学生从已有知识出发，借助加法逆运算探究减法法则，进而归纳出的普遍规律，并通过具体算式验证、数轴探究等方式深化理解。教学中注重学生思维的迁移与逻辑推理能力的培养，同时关注有理数减法在现实中的应用价值。整体来看，教学目标基本达成，学生能够理解并运用减法法则进行运算。成功之处在于通过层层设问引导学生自主发现规律，增强了学习的主动性；不足在于部分学生对“减去负数”的理解仍存在直观障碍，今后应加强数轴辅助理解与实际例子的结合讲解，提升学生的数感和符号意识。 学科网（北京）股份有限公司 $$