14.3角的平分线（知识框架+知识梳理+ 同步练习）2025-2026学年人教版数学八年级上册

14.3角的平分线 一、本节知识框架 二、本节知识梳理 1、作角平分线 已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法： （1）以点 ， 半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心， 为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求．如图所示： 2、角平分线的性质 内容： 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 结论： . 3、角平分线的判定 内容： 在角的平分线上． 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 结论：① ；② . 注意：角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 三、本节知识精选 一、单选题 1．如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是，则线段的长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．如图，是的平分线，于点，点到的距离为5，，的面积为（    ） A．30 B．60 C．78 D．39 3．如图，在 中，，平分，，垂足为 E，，，则 的长是（　　　） A．8 B．6 C．5 D．4 4．如图，点G在的延长线上，，的平分线相交于点F，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 5．如图，是的角平分线，于点E，，，，则长是（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 6．如图，平分，于点C，点D在上．若，的面积为9，则的长为（   ） A．3 B．6 C．8 D．9 7．如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（    ） A．11 B．22 C．26 D．37 8．如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 二、填空题 9．如图，在中，，是的平分线，于，且，，则 ． 10．如图，是的角平分线，若，，则点到的距离是 ． 11．如图，在中，为的平分线，于点E，于点F，若的面积为，，，则的长为 ． 12．如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线，，相交于点，平分，已知，，的面积为2.5，则的面积为 ． 13．如图，已知于A，于B，且，则 ． 14．如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作于点，且，则的度数为 ． 15．如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则 ． 三、解答题 16．如图，在中，点D为下方一点，连接、、，，过点D作于点F，交的延长线于点G，．求证：平分． 17．如图，点E在的平分线上，过点E作于点F，于点G，且． (1)求证：是的平分线： (2)求证：． 18．【定理】如图1．因为于于，所以___________． 【运用】如图2，在四边形中，，求证：平分． 19．如图，在中，，是角平分线，与相交于点F，，垂足分别为M，N． (1)求的度数； (2)求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 14.3角的平分线 1．D 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是正确理解线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质，结合已知条件，等量代换，即可得线段的长． 【详解】解：∵的周长是， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴ 故选：． 2．A 【分析】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．过点P作于E，根据角平分线的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作于E， ∵是的平分线，，， ∴， ∴的面积为 故选：A． 3．D 【分析】本题考查角平分线的性质，由，，求出，由角平分线的性质推出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴． 故选：D． 4．B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，作于Z，于Y，于W，根据角平分线的性质得到，根据角平分线的判定定理得到，根据题意得到答案，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：作于Z，于Y，于W，如图所示：    ∵平分，，， ∴， 同理， ∴，，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， 又∵，的平分线相交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5．D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过D作于F，由角平分线的性质定理即可求出，再计算出，最后根据，即可求出的值． 【详解】解：过D作于F， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∵的面积为7， ∴ 即， 解得：， 故选：D． 6．A 【分析】本题考查的是角平分线的性质，过点作于，根据三角形面积公式求出，再根据角平分线的性质求出得到答案．熟知角平分线的性质定理是关键． 【详解】解：如图，过点作于， 平分，，， ， ，， ， ， ． 故选：A． 7．A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定， 作，根据角平分线的性质定理得，再证明，，进得出方程，求出解即可． 【详解】解：过点D作，于点H， ∵是的角平分线，， ∴． 在和中， ， ∴， 同理． 设的面积是x，则的面积是x，根据题意，得 ， 解得， 所以的面积是11． 故选：A． 8．B 【分析】本题考查三角形中的最短路径，角平分线的性质定理，解题的关键是理解的长度即为最小值． 过作于点，交于点，过点作于，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过作于点，交于点，过点作于，如图：    ∵平分于点于， ∴， ∴是最小值，此时与重合与重合， ∵三角形的面积为， ∴， ∴， 即的最小值为6． 故选：B． 9．8 【分析】此题考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质可得，根据，即可求出长． 【详解】解：∵是的平分线，，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．2 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴的长为点到的距离， ∵是的角平分线， ∴点到的距离等于点到的距离，即为的长， ∵， ∴点到的距离等于2； 故答案为：2． 11． 【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据角平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式得到，解关于的方程即可． 【详解】解：为的平分线，于点E，于点F， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12． 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，过点作于点，于点，根据角平分线性质定理求出，结合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出，利用证明，，则，，，根据三角形面积公式求出，，再根据的面积求解即可，熟练运用全等三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， ，、为三角形的角平分线， ，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 的面积为， ， ， ， ， 的面积， 故答案为：4． 13．/55度 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，三角形外角的性质，证明点P在的平分线上是本题的关键．由，，，可证点P在的平分线上，可得，由三角形外角性质可求解． 【详解】解：，，， ∴点P在的平分线上， ， ， 故答案为：． 14．32.5 【分析】本题主要考查了角平分线的判定及性质，熟悉掌握判定方法是解题的关键．利用角平分线的判定方法判定出平分，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴平分， ∴． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质．由三角形的内角和定理可得与的度数和，根据角平分线的判定和性质，结合三角形的内角和定理，计算即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵点在内部，且到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 16．见解析 【分析】本题主要考查了全等直角三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定定理． 根据条件证明，得出，最后根据角平分线的判定定理即可得出结论． 【详解】证明：，， ， 在和中， ， ， ，， 平分． 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过点E作于点H，根据角平分线的性质定理和判定定理求解即可； （2）证明出，得到，同理可得，进而求解即可． 【详解】（1）过点E作于点H 点E在的平分线上， ， ， ． 又 是的平分线． （2）， 在和中 ， 同理可得， ． 18．【定理】平分；【运用】证明见解析 【分析】本题考查角平分线的判定定理、全等三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用角平分线的判定定理，通过于于，即可判定平分； （2）通过作垂线构造全等三角形，得，进而利用角平分线的判定定理，即可完成证明． 【详解】解：定理：于于， 平分， 故答案为：平分； 运用：如图所示，过点作于点，过点作交的延长线于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 平分． 19．(1) (2)见解析 【分析】（1）求出，根据角平分线定义，得，，得，； （2）连接，判定也是角平分线，∴，证明 ，得，即得． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵分别是的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）证明：如图，连接， ∵F是角平分线交点， ∴也是角平分线， ∴， ∵ 由（1）知，， ，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形角平分线．熟练掌握角平分线定义和性质，三角形内角和定理，直角三角形角性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$