第二十七章 相似 第12课 相似章末复习课件 2024-2025学年人教版九年级数学下册

第二十七章 相似 第12课 相似章末复习 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段①_________ 相似 定义 基本事实 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 成比例 三边②_________的两个三角形相似 相等 相等 相似 相似三角形 相似三角形的判定 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 两边成比例且夹角③_________的两个三角形相似 两角分别④_________的两个三角形相似 成比例 相似 相似三角形 相似三角形的性质 对应角⑤_________，对应边的比⑥_________ 对应线段的比等于相似比，周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的⑦_________ 相似三角形的应用 相等 平方 相等 相似 位似 定义、性质、作图 位似变换与坐标 位似图形是特殊的相似图形 　　考点1 平行线分线段成比例 　　1． 【典例1】(人教九下P31练习T1改编)如图，已知 AD∥EB∥FC，若AB＝3，BC＝2，则 ＝(　C　) A． B． C． D． C 　　►跟踪训练 　　2． 如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB ＝BC＝CD． 为使其更稳固，在AD1间加绑一条安全绳(线段AD1)，量 得AE＝0.4 m，则AD1的长为 ⁠m. 1.2 　　考点2 相似三角形的性质与判定 　　3． 【典例2】(人教九下P42习题T4改编)如图，四边形ABCD为菱 形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE. 　　(1)求证：△ABC∽△AEB； 　　(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACD＝∠BCA． 　　∵∠ACD＝∠ABE， 　　∴∠BCA＝∠ABE. 　　又∠BAC＝∠EAB，∴△ABC∽△AEB． 　　(2)当AB＝6，AC＝4时，求AE的长． 　　(2)解：∵△ABC∽△AEB，∴ ＝ . 　　∵AB＝6，AC＝4，∴ ＝ . 　　∴AE＝9. 　　►跟踪训练 　　4． (2024陕西)如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边 CD上，AF与DC交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为(　B　) A． 2 B． 3 C． D． B 　　5． (2024吉林)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， 点E是OA的中点，点F是OD上一点．连接EF. 若∠FEO＝45°，则 的值为 ⁠． 　　6． (跨学科)(2024扬州)物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利 用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛(竖直放 置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A′B′.设AB＝36 cm，A′B′＝24 cm.小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A′B′的距离为 ⁠cm. 20 　　7． (2024呼伦贝尔)如图，点A(0，－2)，B(1，0)，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC＝90°，BC＝2AB，则点D的坐标是 ⁠ ⁠． (4，－4) 　　8． 一题多问如图1，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的 点，BE与CD相交于点O. 　　(1)添加条件： ⁠，可使 △ADE∽△ABC． 　　(2)在(1)的条件下，若AB＝6，AD＝2，AE＝1. 　　①CE＝ ⁠； 　　②当S△ADE＝1时，四边形BCED的面积为 ⁠． ∠ADE＝∠ABC(答案不唯一) 2 8 　　(3)当点D，E分别为边AB，AC的中点时，判断OB与OE的数量关 系，并说明理由． 　　解：OB＝2OE. 理由如下： 　　∵点D，E分别为边AB，AC的中点， 　　∴DE∥BC， ＝ . 　　∴△ADE∽△ABC，∠ODE＝∠OCB，∠OED＝∠OBC． 　　∴△ODE∽△OCB． 　　∴ ＝ ， ＝ . 　　∴ ＝ ，即OB＝2OE. 　　(4)如图2，DE∥BC，∠ACB＝90°，且CD⊥AB． 　　①求证：AC2＝AD·AB； 　　①证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， 　　∴∠ACD＋∠A＝90°，∠ABC＋∠A＝90°. 　　∴∠ACD＝∠ABC． 　　又∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC． 　　∴ ＝ ，即AC2＝AD·AB． 　　②若AB＝9，AD＝4，求 的值． 　　②解：∵AC2＝AD·AB，AB＝9，AD＝4， 　　∴AC2＝36.∴BC＝ ＝3 . 　　∵∠CBD＝∠ABC，∠CDB＝∠ACB＝90°， 　　∴△CBD∽△ABC． ∴ ＝ ＝ ＝ . 　　考点3 相似三角形的应用 　　9． 【典例3】(人教九下P43习题T8改编)如图，比例规是一种画图工 具，由长度相等的两脚AD和BC交叉构成，使用它可以把线段按一定比 例伸长或缩短．若螺丝钉点O的位置满足OA＝3OD，OB＝3OC，则当 A，B两点间的距离为5时，C，D两点间的距离为 ⁠． 　　►跟踪训练 　　10． (2024自贡改编)小王所在的数学小组为了准确测量江姐故里广场雕塑的高度，更新了测量工具并优化了测量方法，方法如下： 　　如图1，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 　　如图2，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面． 　　如图3，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底 部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点 C，测得标高CG＝1.8 m，DG＝1.5 m．将观测点D后移24 m到D′ 处，采用同样方法，测得C′G′＝1.2 m，D′G′＝2 m．求雕塑高 度．(结果精确到1 m) 　　解：设BG＝x m. 　　由题易得△DGC∽△DBA，△D′G′C′∽△D′BA． 　　∴ ＝ ， ＝ . 　　∴ ＝ ， ＝ ，即 ＝ ， ＝ . 　　∴ ＝ . 　　整理，得3.6(1.5＋x)＝1.8(25.5＋x)． 　　解得x＝22.5. 　　∴AB＝1.8×(1.5＋22.5)÷1.5＝28.8≈29(m)． 　　答：雕塑高度约为29 m． 　　考点4 位似图形与坐标 　　11． 【典例4】(朝阳中考)如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(2，2)，B(4，1)，以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大， 则点A的对应点A′的坐标是(　D　) A． (1，1) B． (4，4)或(8，2) C． (4，4) D． (4，4)或(－4，－4) D 　　►跟踪训练 　　12． (人教九下P49例题改编)在正方形网格中，每个小正方形的边长 为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示． 　　(1)以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其与 △ABC的相似比为2∶1，且△A1B1C与△ABC位于点C的异侧，并写出 点A1的坐标； 　　 解：(1)如图，△A1B1C即为所求， 点A1的坐标为(3，－3)． 　　(2)作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的△A2B2C； 　　(2)如图，△A2B2C即为所求． 　　(3)在(2)的条件下，求出点B所经过的路径长． 　　(3)∵CB＝ ＝ ， 　　∴点B所经过的路径长为 ＝ π. $$