第二十七章 相似 第9课 相似三角形的应用(2)- 课件 2024-2025学年人教版九年级数学下册

第二十七章 相似 第9课 相似三角形的应用(2) 01 新课学习 02 当堂反馈 　　知识点1 构建方程解决问题 　　1． 【例1】如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长13 cm，BC边上的高AD为6 cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边 在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上． 　　(1)求证：△AEF∽△ABC； 　　(1)证明：∵四边形EGHF是正方形， 　　∴EF∥BC． 　　∴△AEF∽△ABC． 　　(2)求这个正方形零件的边长． 　　(2)解：设EG＝EF＝x cm. 　　∵△AEF∽△ABC，∴ ＝ ，即 ＝ . 　　∴x＝ . 　　∴正方形零件的边长为 cm. 　　2． 一块直角三角形的木板，它的一条直角边AC的长为1.5米，面积 为1.5平方米．现在要把它加工成一个正方形桌面，甲、乙两人的加工方 法分别如图1、图2所示，求两个正方形桌面的边长． 　　解：由AC长为1.5米，△ABC的面积为1.5平方米，可得BC＝2米． 　　设甲加工桌面的边长为x米． 　　∵DE∥CB，∴△ADE∽△ACB． 　　∴ ＝ ，即 ＝ .解得x＝ . 　　如图，设乙加工桌面的边长为y米． 　　过点C作CH⊥AB，分别交MN，AB于点G，H. 　　易知AB＝ ＝2.5(米)． 　　∵ AB·CH＝ ×2.5CH＝1.5，∴CH＝1.2米． 　　∵MN∥AB，∴△CMN∽△CAB． 　　∴ ＝ ，即 ＝ .解得y＝ . 　　知识点2 两次相似解决问题 　　3． 【例2】如图，在高5 m的房顶A处观望一幢楼的底部D，视线经 过小树的顶端E，又从房底部B处观望楼顶C，视线也正好经过小树的顶 端E，测得小树的高度EF为4 m，求楼的高度CD． 　　解：∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB． 　　∴ ＝ ＝ ①. 　　∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD． 　　∴ ＝ ＝ ②. 　　①＋②，得 + ＝ + . 　　∴1＝ + . 　　∴CD＝20. 　　答：楼的高度CD为20 m． 　　4． 如图所示，晚上小亮走在大街上，他发现当他站在大街上高度相等的两盏路灯AB和CD之间时，自己右边的影子NE的长为3 m，左边的影子ME的长为1.5 m，又知小亮的身高EF为1.8 m，两盏路灯之间的距离AC为12 m，点A，M，E，N，C在同一条直线上，问路灯的高为多少米． 　　解：设AM＝x m，则MC＝(12－x)m，设路灯的高为h m． 　　∵AB⊥AC，EF⊥AC，DC⊥AC，∴AB∥EF∥CD． 　　∴△FEN∽△BAN，△FEM∽△DCM. 　　∴ ＝ ， ＝ . 　　∵AB＝CD，∴ ＝ ，即 ＝ .∴x＝6.5． 　　∵ ＝ ，∴ ＝ .∴h＝6.6. 　　答：路灯的高为6.6 m． 　　1． 情境创设如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地 面BE的距离为1.6米，且满足3FD＝2FA，若盲区EB的长度是6米，则 车宽FA的长度为(　B　) A． 米 B． 米 C． 米 D． 2米 B 　　2． 如图，两棵树AB，CD的高分别是6 m，9 m，它们底部的距离 AC＝6 m，小强从点G处出发，沿着正对这两棵树的方向前进，小强的 眼睛与地面的距离为1.6 m，当小强与树AB的距离小于多少时，他就看不 见树顶D? 　　解：如图，过点F作FP⊥CD于点P，交AB于点Q，则FH＝AQ ＝CP＝1.6 m，QP＝AC＝6 m，BQ＝AB－AQ＝4.4 m，PD＝CD－ CP＝7.4 m. 　　∵BQ∥PD，∴△FBQ∽△FDP. 　　∴ ＝ ，即 ＝ . 　　∴FQ＝8.8. 　　答：当小强与树AB的距离小于8.8 m时，他就看不见树顶D． 　　3． 小华和小明想测量一座古楼的高度，由于无法直接测量到楼的底 部，于是他们设计了如下测量方案：如图，首先小明在地面上的点C处 放置一平面镜(平面镜厚度不计)，他从点C沿BC后退，当退行1.8米到D 处时，恰好在镜子中看到楼顶A的像，此时小华测得小明眼睛到地面的 距离DE为1.5米；小明原地不动，小华发现其头顶F、楼顶A及小明的影 子顶端G在同一条直线上，此时测得DG为2.2米，小明的身高为1.6 米．已知AB⊥BG，DF⊥BG，点B，C，D，G在一条直线上，请根 据以上所测数据，计算该古楼的高度．(结果保留整数) 　　解：如图，连接AC． 　　∵∠DCE＝∠BCA，AB⊥BG，DF⊥BG， 　　∴∠EDC＝∠ABC＝90°. 　　∴△DCE∽△BCA． 　　∴ ＝ ，即 ＝ . 　　∴BC＝ AB． 　　∵∠FGD＝∠AGB，∴△FGD∽△AGB． 　　∴ ＝ ，即 ＝ . 　　∴ ＝ .解得AB≈23. 　　答：古楼的高度约为23米． 　　4． 问题：如图，小明和爸爸的身高分别是1.6 m，1.8 m，即EB＝ 1.6 m，FC＝1.8 m，二人配合测量树的高度AD． 　　操作：小明站在距离树0.3 m的B处(AB＝0.3 m)看树的顶端D的视线 为ED，原地再看爸爸的头部，视线为EF，爸爸前后移动，当EF⊥ED 时，爸爸站着不动，这时小明测得AC＝6.1 m. 　　问题解决：已知点A，B，C在地平面的一条直线上，树和二人都垂 直于这条直线，求树的高度AD． 　　解：如图，过E作EG⊥CF于G，延长GE交AD于H，则 GH⊥AD． 　　∵CF⊥AC，AD⊥AC，BE⊥AC， 　　∴四边形CBEG，四边形AHEB都是矩形． 　　∴AH＝BE＝CG＝1.6 m，BC＝EG＝6.1－0.3＝5.8(m)，AB＝ HE＝0.3 m. 　　∵∠FGE＝∠EHD＝∠FED＝90°， 　　∴∠EFG＋∠FEG＝∠FEG＋∠DEH＝90°. 　　∴∠GFE＝∠DEH. 　　∴△EFG∽△DEH. ∴ ＝ ． 　　∴ ＝ . ∴DH＝8.7. 　　∴AD＝DH＋AH＝8.7＋1.6＝10.3(m)． 　　答：树的高度AD为10.3米． $$