1.3.2空间向量运算的坐标表示课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

空间向量运算的坐标表示 1 本课学习目标 学习目标 数学素养 1.掌握空间向量线性运算和数量积的坐标表示 1.比空间想象素养和数学运算素养 2.掌握向量平行、垂直的坐标表示，并能解决相关的平行、垂直问题 2.数学抽象素养和数学运算素养 3.能熟练应用两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式 3.数学运算素养 2 问题导入 前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标一一对应起来。 那么有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标运算，同学们是否可以探究出空间向量运算的坐标表示并给出证明？ 思考：平面向量中有哪些运算类比到空间中？ 加法 减法 数乘 数量积 3 思考：你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量的坐标运算吗？ 平面向量的坐标运算 空间向量的坐标运算 类 比 已知 a+b= a-b= λa= a•b= 4 新知探索 下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示. 设 为空间的一个单位正交基底,则： 所以, 利用向量数量积的分配律以及 得到 其他运算类似可证，请同学们自主完成。 5 新知探索 思考：我们回忆下平面向量的坐标表示证明平行、垂直，求取模长、角度等问题。类比到空间向量中，是否有类似的公式？ 平面向量位置关系 设 当 时， 空间向量位置关系 设 当 时， 类 比 6 新知探索 思考：我们回忆下平面向量的坐标表示证明平行、垂直，求取模长、角度等问题。类比到空间向量中，是否有类似的公式？ 平面向量坐标运算 设 则 空间向量坐标运算 设 则 空间两点间的距离公式 类 比 7 新知探索 你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？ 如图建立空间直角坐标系， 设，是空间中任意两点， 则. 于是 . O 空间两点间的距离公式 8 例题讲解 如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，分别在棱，上，，. (1)求的长.(2)求与所成角的余弦值. 解(1):建立如图所示的空间直角坐标系， 则点的坐标为点的坐标为. 于是. 9 例题讲解 如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，分别在棱，上，，. (1)求的长.(2)求与所成角的余弦值. 解(2):由已知,得， ，， 所以， 所以 所以 所以，与所成角的余弦值是. 10 知识归纳 利用空间向量求异面直线所成的角 向量的数量积 向量夹角的余弦值 直线夹角的余弦值 ? 两条直线的夹角与两向量的夹角有区别吗？ 直线夹角的范围 向量夹角的范围 当向量与向量所成的角为锐角或直角时： 直线与直线 所成的角和向量的夹角相等. 当向量与向量所成的角为钝角时： 直线与直线 所成的角为向量夹角的补角. 11 建系 点的坐标 向量的坐标 向量的 坐标运算 几何 关系 向量法法 12 课堂小结 1、学会了空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示； 2、明白了空间向量中向量平行、向量垂直坐标之间的关系； 3、掌握了空间中两点间的距离公式和空间向量两向量夹角的余弦值的计算公式； 4、学会了利用空间向量坐标的运算来解决简单的立体几何问题。 13 变式训练 1. 已知 求: 2. 已知 求x的值. 3. 如图, 正方体OABC-D'A'B'C'的棱长为a, 点N, M分别在AC, BC'上, AN=2CN，BM=2MC', 求MN的长. A O C B A' D' C' B' M N 14 谢谢大家！ 15 $$