1.3.2 空间向量运算的坐标表示教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高二 学期 秋季 课题 1.3.2空间向量运算的坐标表示 教学目标 1.掌握空间向量的线性运算和数量积运算的坐标表示； 2.能借助空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题； 3.掌握空间向量的长度、夹角公式和空间两点间的距离公式； 4.并能运用这些公式解决简单的立体几何问题。 教学重难点 教学重点： 1. 空间中向量线性运算和数量积运算的坐标表示； 2. 空间向量的长度、夹角公式和空间两点间的距离公式； 教学难点： 1. 运用这些公式解决简单的立体几何问题； 2. 通过本节学习提升数学运算和逻辑推理素养。 教学过程 （1） 创设情境,提出问题 问题1：有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？ 知识点1：空间向量运算的坐标表示 设，， 与平面向量运算的坐标表示一样，有： ， ， ，， ． 老师点评:空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示完全一致。 （2） 观察分析，感知概念 下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示。其他运算的坐标表示可以类似证明，请同学们自己完成。 设为空间的一个单位正交基底，则，，所以 利用向量数量积的分配律以及，， 得． （3） 抽象概括，形成概念 由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的．例如，我们有一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．类似平面向量运算的坐标表示，我们还可以得到： 知识点2：空间向量平行的判定 当时 ，（）； 知识点3：空间向量垂直的判定 知识点4：空间向量的模公式 ； 知识点5：空间向量的夹角公式 （四）辨析理解，深化概念 知识点6.空间两点之间的距离公式 问题2：你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？ 学生自主思考并完成证明。 建立空间直角坐标系，设，是空间中任意两点，则 ． 这就是空间两点间的距离公式． 老师点评：将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单．空间向量长度公式的形式与平面向量长度公式一致，教学时可用类比的方法进行.它的几何意义是长方体对角线的长度 （五）典例解析，引领方法 例：如图1.3-9，在棱长为1的正方体中，为的中点，分别在棱上. . （1）求的长. （2）求与所成角的余弦值. 解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， 因为为的中点，所以 所以，即的长为. （2）由（1）得， 所以， 所以 所以，与所成角的余弦值是. 问题3：你能从本题的解答中体会到根据问题的特点，建立适当的空间直角坐标系，用向量表示相关元素，并通过向量及其坐标的运算求解问题的基本思路吗？ 空间向量解决立体几何问题“三步曲”： （1） 建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题;点、 （2） 通过向量运算，研究点、直线、平面之间的距离和夹角等问题； （3） 把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论。 （六）归纳总结，反思提升 　　基本知识: 1.空间向量运算的坐标表示 2.空间向量的长度公式与空间两点间的距离公式; 3.求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的空间直角坐标系中找到两个向量的坐标,然后用公式计算 （七）布置作业，精炼双基 . 学科网（北京）股份有限公司 $$