1.3.2空间向量运算的坐标表示课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

空间向量运算的坐标表示 1 空间向量基本定理 空间直角 坐标系 空间向量的坐标表示 问题1 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量运算的坐标表示，猜想空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？ 3 平面向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示 设 设 4 下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示 类似地，我们有：一个空间向量的坐标 等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 平面向量的坐标表示 空间向量的坐标表示 问题2 平面向量的坐标运算可以帮助我们解决平行、垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题.空间向量的坐标运算是否仍然可以帮助我们解决这些问题？ 7 平面向量平行的坐标表示 空间向量平行的坐标表示 设 设 当 时， 当 时， 能否表示为 ？ 向量坐标运算——共线（平行）判定 8 当 时， 设 能否表示为 ？ 至少一个不为0. 9 至少一个不为0. 当 时， 设 能否表示为 ？ 10 至少一个不为0. 例如：当 与平面 平行时， .此时 无意义. 当 时， 设 能否表示为 ？ 11 因此，只有 均不为0时， 当 时， 设 能否表示为 ？ 12 因此，只有 均不为0时， 特殊地， 与任意向量平行. 当 时， 当 时， 设 能否表示为 ？ 13 平面向量的垂直的坐标表示 空间向量垂直的坐标表示 设 设 向量坐标运算——垂直判定 14 类比平面向量运算的应用，能否总结出空间向量的度量关系？如空间向量长度和夹角的坐标表示？ 15 设 则 平面向量的长度和夹角 空间向量的长度和夹角 设 设 设 则 你能证明空间两点间的距离公式吗？ 向量坐标运算——模长、夹角公式 16 如图，建立空间直角坐标系 ， 设 ， 是空间中任意两点， 于是 所以 这就是空间两点间的距离公式. 则 你能证明空间两点间的距离公式吗？ 17 设 则 平面向量的长度和夹角 空间向量的长度和夹角 设 设 设 则 为点 到原点 的距离. 18 分析： 例2 如图，在正方体 中， 分别是 的中点. 求证 思考：如何建立空间直角坐标系？ 空间直角坐标系 19 又 所以 所以 ，即 . 所以 所以 证明：不妨设正方体的棱长为2， 建立如图所示的空间直角坐标系 则 以 为原点， 所在直线为 轴， 轴， 轴， 20 例3.如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，分别在棱，上，，. (1)求的长. (2)求与所成角的余弦值. 21 例3.如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，分别在棱，上，，. (1)求的长. (2)求与所成角的余弦值. 分析:（1） AM的长 空间A,M两点间的距离 22 例3.如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，分别在棱，上，，. (1)求的长. 解(1):建立如图所示的空间直角坐标系， 则点的坐标为点的坐标为. 于是. 23 例3.如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，分别在棱，上，，. (2)求与所成角的余弦值. 分析:（2） 两条直线的夹角与两向量的夹角有区别吗？ 向量的数量积 向量夹角的余弦值 直线夹角的余弦值 24 有区别，取值范围不同. 当 与 所成的角为锐角或直角时： 直线 与 所成的角和向量的夹角相等. 当 与 所成的角为钝角时： 直线 与 所成的角为向量夹角的补角. 直线夹角的范围 向量夹角的范围 两条直线的夹角与两向量的夹角有区别吗？ 25 解(2):由已知，得， ，， 所以 ， 所以 所以 所以，与所成角的余弦值是. 方法提炼 空间直角坐标系 写出点坐标 向量运算 特殊位置关系 几何度量问题 向量坐标 关注向量的夹角与直线的夹角的区别 平行 垂直 长度 夹角 27 小结回顾本节课探究空间向量运算的坐标表示的过程，你学到了什么？ 28 1 类比平面向量研究空间向量运算的坐标表示 小结回顾本节课探究空间向量运算的坐标表示的过程，你学到了什么？ 29 （1）空间向量运算的坐标表示: 设 相应坐标的和（差）. 实数 乘原来向量的相应坐标. 对应坐标的乘积的和. 1 类比平面向量研究空间向量运算的坐标表示 小结回顾本节课探究空间向量运算的坐标表示的过程，你学到了什么？ 30 位置关系 当 时， 1 类比平面向量研究空间向量运算的坐标表示 （2）空间向量运算坐标表示的应用: 设 小结回顾本节课探究空间向量运算的坐标表示的过程，你学到了什么？ 31 设 则 1 类比平面向量研究空间向量运算的坐标表示 （2）空间向量运算坐标表示的应用: 设 度量问题 小结回顾本节课探究空间向量运算的坐标表示的过程，你学到了什么？ 32 2 关注空间向量与立体几何知识间的联系 小结回顾本节课探究空间向量运算的坐标表示的过程，你学到了什么？ 33 2 关注空间向量与立体几何知识间的联系 小结 回顾本节课探究空间向量运算的坐标表示的过程，你学到了什么？ 34 化为向量问题 建系，用空间向量表示立体图形中点、直线等元素. 进行向量运算 进行空间向量的运算，研究特殊的位置关系与几何度量. 回到图形问题 把运算结果“翻译”成相应的几何结论. 1. 求： （1） ； （2） ； （3） . 2. 且 求 的值. 3.如图，在正方体 中， 为 的中点， 求 与 所成角的余弦值. 课后作业 35 谢谢观看 祝同学们学习生活愉快！ 36 $$