3.1.2椭圆的简单几何性质 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.2椭圆的简单几何性质 1 标准方程 图形 焦点坐标 定义 a、b、c的关系 焦点位置的判定 共同点 不同点 F1(-c,0)、F2(c,0) F1(0,-c)、F2(0,c) 平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆. a2 = b2 +c2 哪个项的分母大，焦点就在那个轴上 求椭圆标准方程的方法：待定系数法，先定位，后定量 当椭圆焦点的位置不确定是，可采用椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n) 2 问题1 ： 前面我们学习了椭圆的概念，并建立了椭圆的标准方程，接下来，与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质。你认为可以从哪些角度入手研究椭圆的性质呢？ 追问: 我们如何利用椭圆的标准方程来研究椭圆的形状、大小和位置呢？ 创设情境 提出问题 从椭圆的形状、大小和位置入手 3 (1)范围 问题2 根据上节课同学们画出的椭圆，我们会发现椭圆在一个特定矩 形内部，矩形的边界与标准方程 有什么联系？ 通过方程 探究性质 y x O 4 （1）范围 追问1 由此你能想到椭圆的范围实际上就是方程中哪些量的取值范围？ 追问2 请同学们求出方程中的x、y取值范围？ 追问3 请问椭圆上点的横、纵坐标的取值范围分别是什么？ 说明：椭圆落在x =±a,y =±b围成的矩形中 通过方程 探究性质 o y B2 B1 A1 A2 F1 F2 c a b x （2）对称性 问题3 观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。如何利用椭圆的方程描述椭圆的对称性？ 从图形上看： 椭圆关于x轴、y轴成轴对称图形，又关于原点成中心对称图形。坐标原点叫做椭圆的中心。 通过方程 探究性质 y x O P(x，y) P1(-x，y) P3(-x，-y) P2(x，-y) ①P(x,y) P2(x,-y) ③P(x,y) P3(-x,-y) 通过方程 探究性质 从方程上看： P(x,y) (-x,y) ② （3）顶点 问题4 你认为椭圆 上哪些点比较特殊？为什么？如何得到这些点的坐标？ 追问 椭圆的形状、位置与这些特殊点有什么关系？ 椭圆与y轴的交点:令 x=0,得y =±b 椭圆与x轴的交点:令 y=0,得 x=±a 四个顶点坐标为 A1(-a, 0) A2(a, 0) B1(0, -b) B2(0, b) 长轴A1A2 长轴长：A1A2=2a a长半轴长 短轴B1B2 短轴长：B1B2=2b b短半轴长 通过方程 探究性质 o y B2 B1 A1 A2 F1 F2 c a b （4）离心率 问题5 观察下图，可以发现不同形状的椭圆的扁平程度不同。相同形状的椭圆的扁平程度相同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？ 追问1 请同学们回顾椭圆的定义 通过方程 探究性质 x 在抽象椭圆定义时所使用的画椭圆的方法，在保持绳长不变的情况下，缩短或拉长焦点到椭圆中心的距离，就能非常直观的看到椭圆扁平程度的变化规律。 x y 追问2 由右图可以看出，保持长半轴长a不变，改变半焦距c,你有什么发现？保持c不变，改变a的大小又会如何？当a、c扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状又如何？ c越大，椭圆越扁平；a越大，椭圆越圆；椭圆形状不变，所以，利用c和a这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度。 椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率 离心率 追问4 请问离心率的范围是什么？ 通过方程 探究性质 追问3 请同学们继续观看计算机软件的演示，e越大椭圆的形状如何变化？ e越小椭圆的形状又如何变化呢？ 因为 a > c > 0，所以0<e <1 e 越大越扁 e 越接近1，椭圆就越扁 e 越接近 0，椭圆就越圆 特例：e =0，椭圆变为圆， 方程变为 例题练习 巩固理解 解：把原方程化为标准方程得 于是a=5,b=4,c=3 因此长轴长为10；短轴长为8；焦距为6； 焦点坐标为(3,0)、(-3,0)， 顶点坐标为(5,0)、(-5,0)、(0,4)、(0,-4)； 用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置． (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质． 离心率等于 目标检测 检验效果 例5：求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1) 焦点在y轴上，c = 3 ,e= (2)经过P(-3,0),Q(0,-2)两点 (3)长轴长等于20，离心率等于 (4)长轴长是短轴长的2倍，且经过点P(3,0) 标准方程 图象 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 焦距 a,b,c关系 离心率 |x|≤ a,|y|≤ b |x|≤ b,|y|≤ a 关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称 长半轴长为a,短半轴长为b. 焦距为2c; a2=b2+c2 (a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) (b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a) (c,0)、(-c,0) (0 , c)、(0, -c) (0<e<1) 单元小结 形成结构 布置作业 巩固所学 必做题：课后练习2-5题； 选做题：探究方程+n表示的一定是椭圆吗？若是，你能求出其长轴长、短轴长、焦点坐标吗？ Lavf58.20.100 Lavf57.62.100 $$