3.1.2椭圆的简单几何性质教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高二年级 学期 秋季 课题 椭圆的简单几何性质 教学目标 1.能通过椭圆的标准方程推导出椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质； 2.熟练掌握标准方程中的的几何意义，以及的相互关系； 3.能利用椭圆简单的几何性质解决简单的问题； 4.理解、掌握坐标法中用曲线的方程研究曲线的性质的方法，发展直观想象、数学运算、逻辑推理等素养。 教学重难点 教学重点： 1.椭圆的简单几何性质及其探究过程。 教学难点： 1.由椭圆的方程研究椭圆的几何性质及椭圆的离心率的理解。 教学过程 （1） 创设情境 提出问题 问题1 ： 前面我们学习了椭圆的概念，并建立了椭圆的标准方程，接下来，与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质。你认为可以从哪些角度入手研究椭圆的性质？ 追问: 我们如何利用椭圆的标准方程来研究椭圆的形状、大小和位置呢？ 【设计意图】利用画椭圆的经验和椭圆的标准方程，引导学生明确研究的问题和基本研究方法，把数形结合思想渗透其中，强化“由曲线得到方程，利用方程研究曲线”这一思路，从而引入本节课的课题 （2） 通过方程 探究性质 （1）范围 问题2 根据上节课同学们画出的椭圆，我们会发现椭圆在一个特定矩形内部，矩形的边界与标准方程 有什么联系？ 追问1 由此你能想到椭圆的范围实际上就是方程 中哪些量的取值范围？ 追问2 请同学们求出方程中的x、y取值范围？ 追问3 请问椭圆上点的横、纵坐标的取值范围分别是什么？ 【设计意图】通过“追问”使学生进一步明确，在直角坐标系中，通过椭圆方程，数形结合的研究椭圆的范围，需要先让学生认识到，几何图形的“范围”就是方程的解为坐标的点所在的范围，本质上就是方程中x,y的取值范围。利用方程求出x,y的取值范围，再将其翻译为几何表示，这样就实现了利用椭圆标准方程研究椭圆的范围的目的。 （2）对称性 问题3 观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。如何利用椭圆的方程描述椭圆的对称性？ 【设计意图】在通过几何直观定性得出椭圆的对称性的基础上，探究利用椭圆的标准方程证明这些对称性。引导学生进行了一般性的思考，得出利用曲线方程研究曲线对称性的一般性的方法和结论，从而帮助学生理解曲线的对称性的本质是构成曲线的点的对称性，曲线的对称性可以通过曲线上点的坐标的对称性进行表达。 （3）顶点 问题4 你认为椭圆 上哪些点比较特殊？为什么？如何得到这些点的坐标？ 追问 椭圆的形状、位置与这些特殊点有什么关系？ 【设计意图】让学生明确由椭圆的顶点、长轴与短轴均可确定椭圆位置，结合椭圆的对称性研究顶点，让学生体会曲线的几何性质有时彼此之间是有关联的。 （4）离心率 问题5 观察下图，可以发现不同形状的椭圆的扁平程度不同。相同形状的椭圆的扁平程度相同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？ 追问1 请同学们回顾椭圆的定义 追问2 由右图可以看出，保持长半轴长a不变，改变半焦距c,你有什么发现？保持c不变，改变a的大小又会如何？当a、c扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状又如何？ 追问3 请同学们继续观看计算机软件的演示，当a、c同时放大或缩小时，你又发现了e如何变化？椭圆的形状又如何变化？ 追问4 请问离心率的范围是什么？ 【设计意图】强调从定义出发思考问题、探究性质的引导，这是培养学生理性思维的需要。实际上，回到教科书在抽象椭圆定义时所使用的画椭圆的方法，在保持绳长不变的情况下，缩短或拉长焦点到椭圆中心的距离，就能非常直观的看到椭圆扁平程度的变化规律。 （3） 例题练习 巩固理解 例4:求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标 【设计意图】让学生巩固椭圆的几何性质。 （4） 目标检测 检验效果 例5：求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1) 焦点在y轴上，c = 3 ,e=3/5 (2)经过P(-3,0),Q(0,-2)两点 (3)长轴长等于20，离心率等于3/5 (4)长轴长是短轴长的2倍，且经过点P(3,0) 【设计意图】检测学生对椭圆的几何性质和标准方程的理解。 （5） 单元小结 形成结构 教师活动：教师引导学生把椭圆简单几何性质一一巩固复习。 【设计意图】在这里希望学生通过总结，把形和数更紧密的结合起来，从形的角度是“长轴固定，焦距变化”所呈现出的图形扁平程度的变化,从数的角度是“c和a之比所给出的焦点离椭圆中心相对距离的定量刻画,这样的数形结合，给出了离心率刻画椭圆扁平程度的清晰解释 （6） 练习 1、 求下列椭圆的焦点坐标 （1） （2） 2、 求适合下列条件的椭圆的标准方程 （1）焦点在x轴上，a=6,e=1/3;(2)焦点在y轴上，c=3,e=3/5 3、比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更接近于圆？为什么？ (1);(2) 【设计意图】设置不同层次练习题，不仅能使学生新学的知识得到及时巩固，也能使学生思维能力得到有效的提高，使其更好的学以致用。 （七）布置作业 巩固所学 必做题：课本课后习题3.1复习巩固 选做题：探究方程表示的一定是椭圆吗？如果是，你能求出他的长轴长、短轴长、焦点坐标等几何性质吗？ 【设计意图】分层次要求，分层次布置作业，使所有学生都能巩固所学知识，使不同层次的学生都能得到提高。 学科网（北京）股份有限公司 $$