3.1.2椭圆的简单几何性质教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高二 学期 秋季 课题 椭圆的简单几何性质 教学内容及其解析 1.内容 本节课学习椭圆的几何性质，主要包括范围、长轴、短轴、顶点、对称性、离心率，以及性质的应用. 2.内容解析 本节课位于人教A版《选择性必修第二册》第三章第一节，主要内容是研究椭圆的几何性质.椭圆的对称性、长轴、短轴描述了椭圆的形状特征，椭圆的范围描述了椭圆的大小，椭圆的离心率是用数值刻画椭圆扁平程度的量.从单元内容看，本单元主要包括三种圆锥曲线的定义、标准方程和性质，以及坐标法的应用，在学习的过程中要深入理解数形结合思想.本节课是在学生熟悉了直线和圆的方程、椭圆的定义及其标准方程的基础上，并具有初步运用方程研究曲线的方法的活动经验后，第一次系统地运用代数与几何相结合的方法研究曲线的性质.它为之后研究双曲线、抛物线的几何性质、运用“以数解形”的方法解决几何问题等内容提供了数学模型和方法指导.因此，本节课对体会单元核心思想方法具有举足轻重的地位和作用. 教学目标 1.通过对椭圆标准方程的研究，利用代数方法进行运算证明，掌握椭圆的范围、顶点、对称性、离心率等性质，发展数学运算和逻辑推理的核心素养； 2.掌握的几何意义及相互关系，以数解形，提升对数形结合思想的理解； 3.体会研究曲线性质的的基本思路与方法，感受通过代数运算研究曲线性质具有的程序化、普适性特点. 教学重难点 教学重点：利用椭圆的标准方程研究椭圆的简单几何性质，理解“以数助形”的数形结合思想. 教学难点：形成用代数方法研究曲线几何性质的一般思路；对椭圆离心率的认识与理解. 教学问题诊断分析 学生已经熟悉和掌握椭圆的定义及其标准方程，学生有动手体验和探究的兴趣，有一定的观察、分析和逻辑推理的能力.但是，这是学生第一次通过方程研究曲线的几何性质，研究思路并不是很清晰.对于范围、对称性、顶点三个性质，通过教师的点拨、引导，学生比较容易掌握.离心率概念比较抽象，学生缺乏研究此类问题的经验. 为了解决难点一，将椭圆的范围、对称性、顶点、离心率作为具体的研究对象，分别利用椭圆的标准方程进行代数研究，最后构建研究曲线几何性质的体系，体现曲线性质的整体性和统一性； 为了解决难点二，在具体的研究过程中，引导学生先用几何的眼光观察与思考，充分利用“运算”的纽带作用形成学习进程，突出代数法的重要作用.先观察椭圆圆扁程度变化过程中哪些量发生了变化，发现问题并提出猜想，以对椭圆的圆扁程度变化的影响为抓手，用坐标法解决，通过“运算”发现规律，掌握离心率的符号意义和几何意义，深刻理解数形结合的数学思想方法. 教学策略分析 根据本节课教学内容的特点，为了更形象、直观地突出重点，突破难点，激发学生的学习兴趣，在课堂教学中让学生通过动手操作画椭圆，亲历知识的生成过程，力求借助信息技术手段，以GGB软件为平台，通过对椭圆的核心性质离心率的变化的演示，观察椭圆圆扁程度的变化，让学生体会运用“数形结合”的思想方法建立起高中数学的两条主线—代数主线和几何主线之间的密切联系.同时，利用展台将学生的研究成果进行实时呈现，能够使本节课重点研究的椭圆的简单几何性质的四个方面—椭圆的范围、对称性、顶点及离心率问题及时得到很好地解决. 具体来说包括以下四个方面. (1)任务驱动教学法:利用问题串作为引导，引发学生积极思考并积极探究. (2)演示教学法:学生实物投影展示和教师GGB软件动态演示相结合，提高课堂效率的同时兼顾解答的规范性. (3)启发式教学法:在研究范围和离心率时，教师积极启发，并与学生的自主探究与合作讨论相结合突破难点. (4)学法:以小组合作为基本活动模型，采用自主学习法，结合合作探究法、讨论法、归纳总结法和交流展示法. 教学过程 教学流程图： ( 创设情境建构 概念 独思共议引导探究 类比联想知识迁移 巩固新知提升能力 回顾反思归纳总结 目标测试当堂反馈 ) （一）创设情境，建构概念 1.创设情境 问题导入：“太阳系八大行星”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现，你知道椭圆有什么样的性质吗？如何研究？ 2.知识回顾 复习：椭圆的标准方程. （1）焦点在x轴上，两个焦点分别是的椭圆的标准方程为； （2）焦点在y轴上，两个焦点分别是的椭圆的标准方程为. 这里. 观察一下椭圆的图象，我们应该关注椭圆哪方面的性质呢？通过对椭圆的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握椭圆的形状、大小和位置，所以与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质. 包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等. 这节课我们就以焦点在x轴上的椭圆方程为例，来研究椭圆的简单几何性质. 【设计意图】回顾上节课所学内容，巩固知识，并为本节课所学内容做铺垫.利用学生已有认知经验引入，明确本节课学习内容为利用椭圆的标准方程研究性质. （二）独思共议，引导探究 思考： 我们如何研究椭圆的几何性质呢？从哪些方面去研究？ 类比利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，先“形”后“数”，即在观察图形的形状与特征的基础上先提出猜想，再通过椭圆的标准方程来进行计算和推理。 观察椭圆的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 探究1. 椭圆的范围. 问题1：观察下图（1），容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内. 你能利用方程（代数方法）确定出它的具体边界吗？ （1） （2） 先让学生独立思考2分钟，再进行小组合作，然后小组展示成果. 预设1:由方程可知，所以，椭圆上点的横坐标都适合不等式，故可得，同理有，即. 预设2:由椭圆方程中的实数平方的非负性，可得，.所以，. 教师总结点评:说明椭圆位于直线围成的矩形框内.利用方程中变量的非负性，判断其他变量范围的方法，是解析几何中利用方程研究曲线范围的一般方法. 问题2：根据椭圆的定义，你能准确找出图形（2）中表示的线段么？ 【设计意图】通过椭圆的标准方程确定椭圆的范围，使学生感受利用椭圆方程研究椭圆几何性质的方法，理解椭圆位于直线所围成的矩形内，为描点法作图提供了参考，体会利用坐标法研究曲线几何性质的优越性. 探究2:椭圆的对称性. 问题1:观察图，椭圆具有怎样的对称性? 师生活动:学生可以直观感受椭圆的对称性，教师引导学生用椭圆的标准方程对其进行研究.学生在“直线的方程”和“圆的方程”的学习中经历过对曲线对称性的探究过程. 预设:学生可能会从图形和方程的角度得到. 问题2：能否从椭圆上点的特征说明该对称性？ 在椭圆上任取一点，关于的对称点在椭圆上，说明椭圆关于对称;关于轴的对称点也在椭圆上，说明椭圆关于轴对称;关于原点的对称点也在椭圆上，说明椭圆关于原点对称，即坐标轴轴和轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，称为椭圆的中心. 教师通过GGB软件演示.此问题对学生具有相当大的难度，教师指明图形对称的本质是点的对称，在学生回答过程中，要强调在椭圆上“任取一点”. 问题3:能否用椭圆的方程说明该对称性? 小组讨论2分钟，找代表发言. 教师动画展示并利用方程进行证明: 已知，在椭圆上任取一点 （1）点关于轴的对称点 ，点在椭圆上，说明椭圆关于轴对称; （2）点关于轴的对称点 ，点在椭圆上，说明椭圆关于轴对称; （3）点关于原点的对称点 ，点在椭圆上，说明椭圆关于原点对称; 综上，椭圆关于轴、轴、原点对称，即坐标轴轴和轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，称为椭圆的中心. 教师总结点评:利用曲线上任意一点关于坐标轴和原点的对称点仍在曲线上来判断曲线的对称性，也是利用方程研究曲线对称性的一般方法. 【设计意图】学生可以直观感受椭圆的对称性，教师要引导学生用椭圆的标准方程对其进行研究.教师通过信息技术的引入，让学生理解图形对称性的本质是构成图形的点的对称性，即利用曲线上的点的坐标的对称性可以实现曲线的对称性，并通过练习题，让学生学以致用，体会研究曲线对称性的一般方法. 探究3:椭圆的顶点. 问题1:观察椭圆的图形，有哪些特殊点? 预设：和轴和轴的交点 问题2:如何才能得到这些点的坐标？ 预设：在椭圆的方程中，令，得，因此是椭圆与轴的两个交点，令，得，因此是椭圆与轴的两个交点，因为x轴、轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点. 师生总结：分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 利用学生描点画图时的特殊点，引入椭圆的顶点，让学生感受图形中某些特殊点在确定曲线位置时的作用，从而得到顶点的定义，即椭圆与对称轴轴和轴的四个交点，并指出长轴、短轴，以及长半轴长、短半轴长等相关概念. 【设计意图】让学生明确顶点等相关概念，理解顶点与对称性的关系. 探究4:椭圆的形状—认识椭圆的离心率. 问题1:不同形状的椭圆扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程度相同.扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？ 学生活动:小组合作，利用椭圆的定义画椭圆. 小组合作讨论，相互交流，小组展示. 预设1： 评价预设:学生可能从椭圆的定义出发，发现画椭圆时的变化对椭圆形状的影响. 预设2： 教师辨析：引导学生了解椭圆的第二定义—平面上到定点的距离与到定直线的的距离之比为常数的点的集合.后续在学习双曲线时是不能直接看出来的，在学习抛物线时没有所谓的长轴、短轴，为了把三种圆锥曲线统一起来，就统一使用来表示离心率. 问题2：通过刚才的观察，你是怎样理解椭圆的圆扁程度的？ 圆扁解释：当椭圆的两个焦点逐渐分开，左侧焦点向左顶点靠近，右侧焦点向右顶点靠近时，椭圆逐渐变扁；当椭圆的两个焦点逐渐靠拢，向原点靠近时，椭圆逐渐变圆. 师生活动:如图，椭圆的长半轴长为a，半焦距为c.利用信息技术，保持长半轴长a不变，改变椭圆的半焦距c，可以发现，c越接近a，椭圆越扁平.类似地，保持c不变，改变a的大小，则a越接近c，椭圆越扁平；而当a，c扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变. 这样，利用c和a这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度. 教师利用GGB软件动态展示，给出离心率的概念，并引导学生求出椭圆离心率的范围. 定义：把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，用e表示，即. 因为，所以.e越接近1，c越接近a，就越小，因此椭圆越扁平；反之，e越接近0，c越接近0，b越接近a，这时椭圆就越接近于圆. 【设计意图】让学生从具体问题中抽象出离心率的定义.信息技术的引入可以使学生体会到定义的科学性、严谨性，让学生深刻地理解定义，更有助于培养学生的数学抽象、逻辑推理等数学素养，不断积累数学活动的经验。 问题3：离心率能否用表示呢？ 预设： 问题4:离心率的大小如何影响椭圆的扁平程度? 预设：越接近于0，则越接近于0，即越接近于，椭圆越接近于圆;越接近于1，则越接近于，即越接近于0，椭圆越扁. 让学生用逼近的思想想象:当时，椭圆接近于圆;当时，椭圆接近于一条线段. 【设计意图】利用等价转化的思想刻画椭圆的扁平程度，加深学生对椭圆的核心性质—离心率的认识与理解. 当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. （三）类比联想，知识迁移 类比焦点在轴上的椭圆的几何性质，得到焦点在轴上的椭圆的几何性质，填写下表.让学生体会数学研究中的类比推理的过程与方法. 标准方程 焦点位置及坐标 焦点在x轴上 ， 焦点在y轴上 ， 图形 范围 ， ， 对称性 关于x轴、轴对称，关于原点对称 顶点坐标 ，， ， ，， ， 长、短轴长 长轴长，短轴长 离心率 要点诠释：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 【设计意图】让学生体会椭圆的焦点位置的变化对其性质的影响，提升学生的逻辑推理素养，并为后续双曲线和抛物线的学习奠定基础. （四）巩固新知，提升能力 题型一　椭圆的简单几何性质 例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 解：把原方程化成标准方程，得，于是. 因此椭圆的长轴和短轴的长分别是和，离心率，两个焦点坐标分别是和，四个顶点坐标分别是，和. 注：“定义、方程、图像、性质”是椭圆的全部基础内容，实现四者之间的相互转化是解决椭圆问题的基本方法。 反思感悟　用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质． 跟踪训练1　已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质． 解　(1)由椭圆C1：＋＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8， 焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e＝. (2)椭圆C2：＋＝1.几何性质如下： ①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)，焦距为12；⑤离心率：e＝. 题型二 由椭圆的几何性质求标准方程 例2　求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6； (2)过点(3,0)，离心率e＝. 解　(1)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)． 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， 所以c＝b＝3， 所以a2＝b2＋c2＝18， 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由题意，得a＝3， 因为e＝，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1； 当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由题意，得b＝3， 因为e＝， 所以＝， 把b＝3代入，得a2＝27，所以椭圆的标准方程为＋＝1. 综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 反思感悟　利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤 (1)确定焦点位置． (2)设出相应椭圆的标准方程． (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数． (4)写出椭圆的标准方程． 跟踪训练2　(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为______________． 答案　＋＝1 解析　由题意，得 解得 因为椭圆的焦点在x轴上， 所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程是__________． 答案　＋＝1或＋＝1 解析　因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)． 所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3， 所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5， 所以椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1. 题型三 求椭圆的离心率 例3　设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________． 答案　 解析　方法一　由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝. 方法二　由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)． 延伸探究（课后） 若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率． 解　在△PF1F2中， ∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°， ∴∠F1PF2＝60°， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，m＋n＝2a， 则在△PF1F2中，有＝＝， ∴＝， ∴e＝＝＝＝. 反思感悟　求椭圆离心率及取值范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围． （五）回顾反思，归纳总结 小结：回顾一下本节课学习了哪些新知识呢？ 学生思考;本节课我们研究了椭圆的哪些性质？这些性质是通过怎样的方法得到的？通过方程研究曲线的几何性质有怎样的特点？ 学生和教师共同回顾、梳理、总结本节课所学的数学知识、思想、方法. 1．知识清单： (1)椭圆的简单几何性质． (2)用坐标法研究曲线性质的过程与方法. 2．数学思想方法归纳：分类讨论、数形结合、化归转化、类比推理、方程法(不等式法)． 3．常见误区：忽略椭圆离心率的范围0＜e＜1及长轴长与a的关系． 师生活动:先由学生总结所学内容，教师补充说明，特别是通过本节课所经历的知识的探究过程，体会类比与数形结合的数学思想. 【设计意图】通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构. （六）目标测试，当堂反馈 1.已知椭圆的焦点在x轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则( ) A. B. C.2 D.4 答案：D 解析：化为标准形式得，所以长轴长为2，短轴长为，由题意得，解得.故选D. 2.椭圆与椭圆的( ) A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等 答案：C 解析：椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为.椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为.因此两个椭圆的焦距相等.故选C. 3．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点． 依题意可知，△BF1F2是正三角形． ∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c， |BF2|＝a，∠OF2B＝60°， ∴cos 60°＝＝， 即椭圆的离心率e＝. 4.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，交轴于点，若是线段的三等分点，则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：由已知可知，点的坐标为，，易知点坐标，将其代入椭圆方程得，所以离心率为.故选D. 5.已知椭圆的离心率，求实数的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标. 答案：椭圆方程可化为. 由，可知， 所以. 由，得，解得. 于是椭圆的标准方程为，则. 所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点的坐标分别为；四个顶点的坐标分别为，. 【设计意图】通过目标检测，教师可以了解学生对知识的理解和掌握情况，为教学评价提供依据. 师生活动:展示图片，使学生了解椭圆的性质在建筑和天文学上都有着重要的应用，让学生感受到数学是有用的，同时提升了学生的人文素养，并布置相关实践作业. （七）布置作业，巩固所学 实践作业:查阅椭圆在建筑学与天文学方面应用的资料，每组写一份调研小报告. 分层作业:(1)必做题为教材第112页第2题、第3题、第4题和第5题. (2)选做题为教材第113页例5、例6、例7的预习与订正. 【设计意图】作业分层布置，力求让不同基础的学生都拥有成功学习的体验.必做题主要考查学生对本节课重点知识的掌握情况，检查学生运用所学的知识解决问题的能力.实践作业的设置是为了让学生体验如何检索、搜集资料进行数学学习，这是本节课所学内容的提高与拓展，可以更好地培养学生分析问题和解决问题的能力. 学科网（北京）股份有限公司 $$