阅读与思考 笛卡尔与解析几何 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

阅读与思考 笛卡尔与解析几何 1 1 解析几何的创立 3 中国的几何代数化思想 笛卡尔与解析几何 2 笛卡尔的数学思想 4 课堂总结 2 德国天文学家开普勒（1572-1630）发现行星绕太阳运动的轨道都是椭圆形的，而太阳位于这些椭圆轨道的一个焦点上。 意大利物理学家伽利略（1564-1642）发现投掷物体是沿着抛物线运动的。 要研究这些复杂的曲线并进行大量计算，几何方法已不适应 3 法国数学家笛卡尔（1596-1650）对当时的几何方法和代数方法进行比较。 解析几何的创立 几何：图形形象直观，但解题思路无规律可寻 代数：表达简明，推理方便，具有一般性 结合起来？ 4 《思想的指导法则》： 把一切问题归结为数学问题， 把一切数学问题归结为代数问题， 把一切代数问题归结为方程 解析几何的创立 但很多问题都可以用列方程的方法来解。 5 1637年笛卡尔发表了《几何学》，他在书中引入了坐标方法和用方程表示曲线的思想。于是人们就把《几何学》的发表作为解析几何创立的标志。 解析几何的创立 解析几何：借助坐标系，用代数的方法研究几何问题性质的一门学科。 6 1.坐标系 笛卡尔从天文和地理的经纬度出发，指出平面上的点和实数对具有一一对应的关系。 笛卡尔的数学思想 笛卡尔坐标系 7 2.用方程表示曲线 笛卡尔的起点是著名的帕普斯问题： 设在平面上给定3条直线l1、l2、l3，过平面上的点C作三条直线分别与l1、l2、l3交于点P、R、Q，夹角分别等于已知角 求使得CP·CR=kCQ2的点C的轨迹； 的点C的轨迹。 如果给定4条直线，求使 l2 l1 l3 l4 C P Q R S 笛卡尔证明了四线问题的帕普斯结论。 8 2.用方程表示曲线 帕普斯三线问题的特殊情况： C P Q R 不妨设三条直线l1∥l2、l1和l2之间的距离为a，l1⊥l3、l2⊥l3，点C位于l1和l2之间，动点C到其中两条线距离的乘积与到另一条直线距离平方之比等于给定比 k（k>0）的点C的轨迹。 l1 l3 l2 a 思考并尝试 将这个曲线轨迹转化为曲线方程 9 2.用方程表示曲线 帕普斯三线问题的特殊情况： 曲线轨迹： 曲线方程： k≠1时为椭圆 k=1时为圆 双曲线 双曲线 坐标轴（x轴） 10 2.用方程表示曲线 你能总结出笛卡尔解决问题的一般思路吗？ 曲线轨迹 建立坐标系 曲线方程 数形结合 曲线性质 11 差不多与笛卡尔同时，另一位法国数学家费马（1601～1665）在《平面与立体轨迹引论》中指出“每当在最后的方程中出现了两个未知量，我们就得到了一个轨迹，其中一个未知量的端点可以描绘出一条直线或曲线。这条直线简单且唯一，曲线的种类则无限地多——圆、抛物线等，并给出了直线、椭圆、双曲线的方程。 解析几何基本原则的 两个相对的方面 笛卡尔是从一个轨迹来寻找它的方程的 而费马则是从方程出发来研究轨迹的 因此，笛卡尔和费马同为解析几何的创始人。 12 学习任务单·学习任务二 并求使等式成立的条件． (2) 说明上述不等式的几何意义． 两点间的距离 点（x,y）到四个点的距离和 因此|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥ 几何意义：边长为1的正方形内任意一点到四个顶点的距离的和不小于两条对角线的和。 几何视角 13 在中国，早在11世纪就已经有了将空间形式转化成数量关系来处理的思想。天元术，即利用未知数列方程的一般方法，引用天元、地元表示某一个几何事实，那么几何对象之间的相互关系就表示成天元、地元之间的一种方程，即17世纪解析几何的坐标法。 中国的几何代数化思想 14 吴文俊（1919-2017），中国科学院院士。在机器证明方面，他提出的用计算机证明几何定理的方法（国际上称为吴方法），遵循中国传统数学中几何代数化的思想，与通常基于逻辑的方法根本不同，首次实现了高效的几何定理自动证明，使中国在该领域进入国际领先地位。 15 课堂总结 解析几何 曲线轨迹→建立坐标系→曲线方程→曲线性质 基本内涵和方法 数形结合的思想 创立的背景 创立的意义 恩格斯在《自然辩证法》中的评价 笛卡尔、费马 吴文俊 16 作业布置 2.拓展学习： 通过网络、图书馆等多种途径，了解并写出笛卡儿心形曲线几何轨迹的形成过程。 17 谢谢！ 18 $$