第二章阅读与思考 笛卡尔与解析几何教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高二 学期 秋季 课题 阅读与思考 笛卡儿与解析几何 教学目标 1.了解解析几何创立的背景，明确坐标法是解析几何最基本的研究方法，学习数学家追求创新、坚持不懈、勇于探索的精神。 2.通过笛卡儿对于帕普斯三线轨迹特殊情况的分析，体会解析几何的基本思想，建立几何与代数的联系，培养直观想象和逻辑推理素养。 3.通过具体题目的分析，感悟并总结解析几何的特点和学习的方法。 教学重难点 教学重点： 了解解析几何的产生过程，意识到几何和代数之间的深刻联系。 教学难点： 将几何问题转化为代数问题和将代数问题转化为几何问题，体会数形结合的思想。 教学过程 【情景导入】 十七世纪，由于生产和科学的发展，天文、力学、航海等领域对几何学提出了新的要求。德国天文学家开普勒（1572-1630）发现行星是绕太阳运动的轨道都是椭圆形的，而太阳位于这些椭圆轨道的一个焦点上。意大利科学家伽利略发现投掷物体是沿着抛物线运动的，要研究这些比较复杂的曲线，当时的几何方法已经不适应了。 设计意图：让学生体会数学中的革新和进步来自于生产生活的需要，同时也来自于学者专家的不断研究。 教师讲解：法国数学家笛卡儿对当时的几何方法和代数方法进行比较，不断研究并思考如何使几何和代数结合起来。1637年笛卡儿发表了《几何学》，这是笛卡儿所写的唯一一本数学书。笛卡儿在《几何学》中引入了坐标方法和用方程表示曲线的思想。《几何学》的发表也成为解析几何创立的标志。 给出解析几何的定义：解析几何就是借助坐标系，用代数的方法研究几何问题性质的一门学科，使学生对解析几何有进一步的了解。 【探索新知】 介绍笛卡儿的数学思想 1.坐标系 笛卡儿从天文的和地理的经纬度出发，指出平面上的点和实数对（x，y）具有一一对应的关系。尽管笛卡尔最初使用的坐标系并不完善，但笛卡尔迈出的第一步具有决定性的意义。 设计意图：这里的第一步指形转化为数的思想，通过类比经纬度，引导学生理解点和实数对的一一对应关系，为使用坐标法研究几何问题作铺垫。 2.用方程表示曲线 教师介绍帕普斯问题，这是笛卡尔使用坐标法解决问题的起点。通过帕普斯三线问题的特殊情况，让学生充分思考并总结笛卡尔解决问题时的一般思路。 帕普斯问题：设在平面上给定3条直线l1、l2、l3，过平面上的点C作三条直线分别与l1、l2、l3交于点P、R、Q，夹角分别等于已知角，求使得CP·CR=kCQ2的点C的轨迹；如果给定4条直线，求使的点C的轨迹。 三线问题的特殊情况：不妨设三条直线l1∥l2、l1和l2之间的距离为a，l1⊥l3、l2⊥l3，点C位于l1和l2之间，动点C到其中两条线的距离乘积与到另一条直线距离平方之比等于给定比k（k>0）。 学生活动：完成学习任务单的学习任务一，思考并尝试将曲线轨迹转化为曲线方程。 笛卡儿的做法是，以l3作为坐标轴（x轴），l1与l2的交点作为原点O，点P的坐标为（x,y）。到三条直线的距离可以组合，形成3种情况，教师借助GeoGebra软件绘出该方程所对应的曲线，即点P所对应的轨迹，将数和形对应起来，帮助学生理解方程和曲线的关系。 （1） k≠1时为椭圆 k=1时为圆 教师讲解第一种情况，鼓励学生课下利用信息技术软件绘图，了解k≠1时，k对于椭圆图形的影响。类比第一种情况，以下两种情况简单介绍，学生可以课下自主探究。 （2） 曲线类型为双曲线 （3） 曲线类型为双曲线 提问学生：你能总结笛卡儿解决问题时的一般思路吗？学生自主思考，教师进一步总结，加深学生对解析几何基本内涵和方法的理解。 笛卡儿解决问题的一般思路是：曲线轨迹→建立笛卡儿坐标系→曲线方程→曲线性质。 从曲线轨迹入手，通过建立笛卡尔坐标系，把几何的基本元素——点和代数的基本对象——数对应起来，在此基础上建立曲线的方程，从而把几何问题转化为代数问题，再用代数的方法研究几何图形的性质。 设计意图：通过笛卡尔处理帕普斯三线问题时的思路，让学生体会坐标法解决平面几何问题的意义：曲线与方程间的一一对应反映了数量关系与空间形式之间的关系，有了这种关系，就可以用方程表示曲线，对曲线进行“运算”，建立方程的几何直观表达，把方程“形象化”，进一步体会数形结合的思想。 教师介绍另一位法国数学家费马的成就。费马在《平面与立体轨迹引论》中指出“每当在最后的方程中出现了两个未知量，我们就得到了一个轨迹，其中一个未知量的端点可以描绘出一条直线或曲线”。费马还给出了直线、椭圆等曲线的方程。 教师介绍费马的意义在于：第一、费马的研究过程也体现了用方程表示曲线的思想。第二、笛卡尔是从轨迹来寻找方程，而费马是从方程研究轨迹，这正体现了解析几何基本原则的两个相对的方面。因此费马和笛卡儿同为解析几何的创始人。 【课堂练习】 学生活动：完成学习任务单的学习任务二。 已知，． （1）求证：，并求使等式成立的条件． （2）说明上述不等式的几何意义． 【答】（1）证明：∵0＜x＜1，0＜y＜1，设P（x，y），A（1，0），B（1，1），C（0，1），如图： 则|PO|，|PA|，|PB|，|PC|， ∵|PO|+|PB|≥|BO|，|PA|+|PC|≥|AC| ∴|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥ （当且仅当点P为正方形的对角线AC与OB的交点是取等号）， 即x＝y时取等号． ∴． （2） 对于（1）中不等式，它的几何意义是：边长为1的正方形内任意一点到四个顶点的距离的和不小于两条对角线的和。 设计意图：提醒学生，注意解析几何的学习特点：解析几何研究的是几何，注意从几何视角研究问题，将数转化为形。 【拓展延伸】 教师介绍中国的几何代数化思想。在中国，早在11世纪就已经有了将空间形式转化成数量关系来处理的思想。天元术即利用未知数列方程的一般方法，引用天元、地元表示某一个几何事实，那么几何对象之间的相互关系就表示成天元、地元之间的一种方程，即17世纪解析几何的坐标法。 我国著名数学家吴文俊在几何定理机器证明上作出了重大贡献，创立了“吴方法”。吴文俊机器证明的思想主要来源于笛卡儿的坐标系和中国古代解方程的计算方法。 设计意图：通过介绍中国古代的天元术和数学家吴文俊的事迹，渗透“家国情怀”，树立民族自信，引导学生在实践中不断付出努力。 【课堂总结】 通过鱼骨图的形式，帮助学生梳理本节课的内容。 （1）创立的背景 （2）解析几何的基本内涵和方法 （3）解析几何创立的意义 恩格斯在《自然辩证法》一书中指出：数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。 解析几何的创立提供了研究几何问题的一种新方法，借助于坐标系，把几何问题转化为代数问题研究，这种方法具有一般性，它沟通了数学内部数与形、代数与几何两大学科之间的联系，从此代数和几何互相汲取新鲜的活力，得到迅速的发展。 【作业布置】 1.达标检测： 已知，求的最小值. 2.拓展学习： 通过网络、图书馆等多种途径，了解并写出笛卡儿心形曲线几何轨迹的形成过程。 设计意图：第一道题目与课上例题的处理思想相同，学生要学会通过坐标系，将数转化为形。第二道题目是开放式问题，直接给出了形，学生可以通过网络等途径，思考形如何转化为数，内化解析几何的思想方法，做到数形结合。同时，提高学生对数学史的兴趣。 学科网（北京）股份有限公司 $$