7.1.2全概率公式 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

全概率公式 1 提出三门问题，情景“启”公式 决策 选择 生活中绝大多数的问题，实质上都只是概率问题。 ——法国数学家拉普拉斯 2 3 问题1 假设你选择了1号门，主持人打开了2号门后面是山羊，你会选择换成3号门吗？ 1号门 2号门 3号门 问题1选自人教A版选择性必修三 教材的课后阅读与思考 4 问题1 假设你选择了1号门，主持人打开了2号门后面是山羊，你会选择换成3号门吗？ 1号门 2号门 3号门 不换 不换门中奖概率 换门中奖概率 vs 换 5 换门是否中奖 选门是否中奖 复杂事件 相关事件 全 部 全概率公式 问题1 假设你选择了1号门，主持人打开了2号门后面是山羊，你会选择换成3号门吗？ 6 反直觉问题 数学中有许多问题与直觉相悖，不能仅凭感觉来做判断，而要进行严格的数学计算.让我们带着三门问题继续学习，先从相对简单的摸球问题出发，研究概率的运算规律. 直观感觉 严格计算 7 问题2 有编号为1、2的两个盒子．1号盒装有1个白球，4个黑球．2号盒装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同．先从两盒中任取一盒，再从该盒中任取一球，求取得白球的概率. 1号盒 2号盒 研究摸球规律，理解“探”公式 问题2选自苏教版教材选择性必修三 问题情景 8 问题2 先从两盒中任取一盒，再从该盒中任取一球，求取得白球的概率. 取得白球 选第1号盒 选第2号盒 复杂事件 相关事件 全部 学生活动：请同学们用树状图或Venn图分析事件关系，解释“取得白球的概率”的计算过程. 9 问题2 先从两盒中任取一盒，再从该盒中任取一球，求取得白球的概率. 任务1：树状图分析事件关系 10 问题2 先从两盒中任取一盒，再从该盒中任取一球，求取得白球的概率. 任务2：Venn图分析事件关系 11 问题2 先从两盒中任取一盒，再从该盒中任取一球，求取得白球的概率. 任务3：计算白球概率 树状图 用表示事件“选择了号盒（）” 用表示事件“取得红球”，用表示事件“取得黑球” 事件“取得白球”是事件“选择了第1个盒子且摸到白球”和事件“选择了第2个盒子且摸到白球” 的并， 即， 12 问题2 先从两盒中任取一盒，再从该盒中任取一球，求取得白球的概率. 任务3：计算白球概率 用表示事件“选择了号盒（）” 用表示事件“取得红球”，用表示事件“取得黑球” 事件“取得白球”是事件“选择了第1个盒子且摸到白球”和事件“选择了第2个盒子且摸到白球” 的并， 其中 即， 和乘法公式得 古典概型 条件概率 概率+ 概率乘法 概率+ 概率乘法 两个互斥事件的并， 13 问题2 先从两盒中任取一盒，再从该盒中任取一球，求取得白球的概率. 归纳：我们从树状图和Venn图两个角度分析了事件的关系. 利用与复杂事件相关的互斥事件， 将复杂事件划分为若干子事件的并， 再由概率的加法公式和乘法公式，求得这个复杂事件的概率. 14 问题2 有编号为1、2的两个盒子．1号盒装有1个白球，4个黑球．2号盒装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同．先从两盒中任取一盒，再从该盒中任取一球，求取得白球的概率. 变式 有编号为1、2、3的三个盒子．1号盒装有1个白球，4个黑球．2号盒和3号盒装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同．从三盒中先选一盒，再从该盒中任取一球，求取得白球的概率. 1号盒 2号盒 3号盒 二元推广三元，归纳“得”公式 学生活动：请同学们类比问题2的研究过程完成变式，学生代表黑板板演. 变式选自北师大版教材选择性必修一问题5 15 16 树状图 Venn图 用表示事件“选择了号盒（）” 用表示事件“取得红球”，用表示事件“取得黑球” 事件“取得红球”是事件“选择了第1、2、3个盒子且摸到红球”三个互斥事件的并，即， 和乘法公式得 变式 有编号为1、2、3的三个盒子．从三盒中先选一盒，再从该盒中任取一球，求取得白球的概率. 17 追问：你能归纳问题2及其变式的共性，推广到一般吗？ 学生活动：请同学们用图形语言、符号语言和文字语言进行表示. 18 追问：你能归纳问题2及其变式的共性，推广到一般吗？ 图形语言 符号语言 文字语言：利用一组两两互斥的事件， 将复杂事件表示为全部发生该事件的互斥子事件的并， 并通过概率加法和概率乘法公式计算概率. 19 符号语言 文字语言：利用一组两两互斥的事件，将复杂事件 表示为全部发生该事件的互斥子事件的并， 并通过概率加法和概率乘法公式计算概率. 全概率公式 适 用 条 件 图形语言： 20 全概率公式 适 用 条 件 归纳：如果事件是由多个原因所引起的， 则事件的概率就是各原因引起发生概率的总和， 包括每一个原因条件下发生的概率，乘以该原因发生的概率 因此全概率公式解决的是“多因导果”的数学问题， 全概率公式是概率论中最基本的公式之一. 21 全概率公式 思考：根据问题2，你能否归纳出全概率公式的一般步骤？ 1.表示随机事件： 设出结果事件以及产生这个 结果的相关事件； 2.划分样本空间： 利用树状图或Venn图分析结果，，且两两互斥. 3.分别计算概率： 写出每一相关事件发生的概率， 每一相关事件发生条件下结果事件发生 的概率 . 4.代入公式求解 用表示事件“选择了号盒（）” 用表示事件“取得白球”，用表示事件“取得黑球” 事件“取得白球”是事件“选择了第1个盒子且摸到白球”和事件“选择了第2个盒子且摸到白球” 的并， 其中 即，和乘法公式得 22 对于复杂的问题，尽量分解为多个小问题来研究，一个一个解决，直至解决复杂问题，这就是“化整为零”的思想。 ——法国数学家笛卡尔的《方法论》 全概率公式正是将复杂的事件转化为若干简单已知的事件之和，化难为简、化繁为易，这一转化与化归思想在我们学习中常常用到。 割补法 求不规则图形面积 积分法 近似求曲面积 23 问题2 有编号为1、2的两个盒子．1号盒装有1个白球，4个黑球．2号盒装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同．先从两盒中任取一盒，再从该盒中任取一球，求取得白球的概率. 1号盒 2号盒 思考 你能为问题2编写变式，得到更一般的问题情景吗？你会从哪些方面改编题目？ 球的个数 取盒规则 盒子个数 取球规则 编写变式题目，灵活“精”公式 24 思考 请以小组为单位，选择某一改编方向，为问题2编写变式.请在需要改编处划线，在下方书写改编内容，并利用全概率公式解决该问题. 问题2 有编号为1、2的两个盒子．1号盒装有1个白球，4个黑球．2号盒装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同．先从两盒中任取一盒，再从该盒中任取一球，求取得白球的概率. 1号盒 2号盒 球的个数 5组和6组 取盒规则 7组和8组 盒子个数 3组和4组 取球规则 1组和2组 25 思考 请以小组为单位，选择某一改编方向，为问题2编写变式.请在需要改编处划线，在下方书写改编内容，并利用全概率公式解决该问题. 26 变式 有编号为1、2的两个盒子．1号盒装有1个白球，4个黑球．2号盒装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同．先从1号盒里取一个球放入2号盒，再从2号盒里取一个球，求2号盒取得白球的概率. 1号盒 2号盒 ？ ？ 27 2号盒取得白球 1号盒取白球 1号盒取黑球 2号盒取得黑球 2号盒取得白球 2号盒取得黑球 1号盒 2号盒 2号盒 （2）设事件 28 问题2 有编号为1、2的两个盒子．1号盒装有1个白球，4个黑球．2号盒装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同． （选自人教A版教材选择性必修三 习题7.1第4题） 变式2 先从1号盒里取一个球放入2号盒，再从2号盒里取1个球，求2号盒取得白球的概率. 变式3 先从1号盒里取2个球放入2号盒，再从2号盒里取2个球，求2号盒取得2个白球的概率. （选自苏教版教材选择性必修三例4） 变式1 投掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从1号盒子中随机摸出1个球；如果点数为3,4,5,6，从2号盒子中随机摸出1个球，求取得白球的概率. （选自2024湖南省长沙市一模） 29 （选自2023年新课标1卷21题） 30 问题1 假设你选择了1号门，主持人打开了2号门后面是山羊，你会选择换成3号门吗？ 1号门 2号门 3号门 回归三门问题，迁移“用”公式 学生活动：请同学们思考问题1，用全概率公式计算“换门后中奖”的概率. 31 问题1 假设你选择了1号门，主持人打开了2号门后面是山羊，你会选择换成3号门吗？ 换门中奖 首次中奖 首次没中奖 换门不中奖 换门中奖 换门不中奖 3号门 2号门 1号门 2号门 3号门 1号门 32 问题1 假设你选择了1号门，主持人打开了2号门后面是山羊，你会选择换成3号门吗？ 设“换门后中奖”， 且 因为 全概率公式 “首次中奖” ， “首次没中奖” 33 问题1 假设你选择了1号门，主持人打开了2号门后面是山羊，你会选择换成3号门吗？ 不换 换 古典概型 全概率公式 34 改编 有编号为1、2的两个盒子．1号盒装有1个白球，4个黑球．2号盒装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同. 若已经取到了白球，分别求它来自于1号盒和2号盒的概率. 1号盒 2号盒 引申执果索因，类比“推”公式 35 改编 若已经取到了白球，分别求它来自于1号盒和2号盒的概率. 用表示事件“选择了号盒（）” 用表示事件“取得白球”，用表示事件“取得黑球” 其中 因为取到白球已经发生 ，因此 树状图 Venn图 1号盒 2号盒 是试验之前就已知的概率, 它是取到𝒊号盒的比例,称为先验概率。 是已知抽到了白球实验之后才知道的概率，它是这一白球来自𝑖号盒的可能性大小,通常称为后验概率。 36 改编 若已经取到了红球，分别求它来自于1号盒和2号盒的概率. 实际生活中，后验概率判断事件𝐵发生后各个原因承担的相应责任.比如制造业制造出次品寻找操作员的责任，患者得病寻找不同毒株致病的占比等. 致病溯源 次品寻责 37 追问：类比全概率公式的一般化过程，你能写出改编问题的一般化结论吗？ 学生活动：请同学们用图形语言、符号语言和文字语言进行表示. 38 贝叶斯公式 条件概率 概率乘法公式 全概率公式 39 归纳：贝叶斯公式是求在“结果”发生条件下，某“原因”发生的概率，是后验概率，我们简称为“执果索因”. 在实际生产生活中，利用后验概率修正先验概率，调整选择，更易成功. 贝叶斯公式 条件概率 概率乘法公式 全概率公式 40 贝叶斯公式在统计推断中的意义巨大，并广泛使用。在疾病诊断、经济预测、刑侦决策、质量控制、人工智能等凡是用到概率预测的地方，都会用到贝叶斯公式. 贝叶斯公式最早是英国的数学家贝叶斯（Thomas Bayes ,1702~1761）于1763年首先提出来的，它用来描述两个条件概率之间的关系。 41 小结归纳提升，建构“悟”公式 (1）全概率公式和贝叶斯公式分别是什么？两者有什么联系？ (2）全概率公式将样本空间分拆成若干个两两互斥的事件的并集的作用是什么？ (3）应用全概率公式和贝叶斯公式计算概率的步骤是什么？ (4）你能画出本章所学的知识结构图吗？请你试一试． (5）结合本单元的学习，谈一谈如何从数学特例中归纳出一般性的结论？ 你有什么体会？ 问题3 回顾本节课的内容，谈谈本节课你的收获. 42 小结归纳提升，建构“悟”公式 问题3 回顾本节课的内容，谈谈本节课你的收获. 43 1.回归教材：教科书第52页例题及练习，习题7.1第5,7,8题 2.开放探究：为教科书第52页例题设计变式，并解决该问题. 3.分层练习：A组回归教材、B组基础过关、C组能力提升 4.小组合作：请以小组为单位，尝试用贝叶斯公式解释三门问题. 5.应用探索：全概率公式是概率统计中的重要内容，与实际生活紧密联系，请你通过查找资料的方式，了解它们在生活中的应用还有哪些，进行分享． 分层布置作业，应用“练”公式 44 $$