7.1.2全概率公式 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

全概率公式 1 情景导入 同学们，大家好！今天我们要一起踏上一段有趣的数学之旅，探索一个非常重要的概念 —— 全概率公式。 在我们的日常生活中，充满了各种各样的不确定性和随机性。就像我们每天出门，不知道天气会怎样；我们参加比赛，不知道结果会如何；我们买彩票，不知道是否能中奖。这些不确定性让我们的生活变得充满挑战和惊喜。 情景导入 情景导入 这时，你开始思考：我中奖的概率是多少呢？如果我能知道每种颜色球的数量，是不是就能更准确地判断自己的中奖几率了？ 在不知道具体细节（即每种颜色球的数量）的情况下，我们如何估计某个事件（如抽到红色球）发生的概率？全概率公式给了我们一个方法，那就是通过考虑所有可能的前提条件（即箱子里球的颜色分布），并结合这些条件下的条件概率（即给定某种颜色球数量时抽到该颜色球的概率），来计算目标事件的概率。 案例讲解 A B 案例讲解 事件A：选择A餐厅 事件B：选择B餐厅 假设你随机选择每家餐厅的概率都是50%，即P(A) = P(B) = 0.5。 事件C：吃到美味且价格合理的菜品 现在，我们需要知道在选择了A餐厅或B餐厅的条件下，吃到美味且价格合理的菜品的概率分别是多少。 案例讲解 假设： P(C|A) = 0.8（如果选择了A餐厅，吃到美味且价格合理的菜品的概率是80%） P(C|B) = 0.6（如果选择了B餐厅，吃到美味且价格合理的菜品的概率是60%） 根据全概率公式： P(C) = P(A) * P(C|A) + P(B) * P(C|B) = 0.5 * 0.8 + 0.5 * 0.6 = 0.4 + 0.3 = 0.7 案例讲解 抽奖箱里有红、黄、蓝三种颜色的球，每种颜色的球各有若干个。 已知摸到红球中奖的概率是 0.3，摸到黄球中奖的概率是 0.2，摸到蓝球中奖的概率是 0.1。小明兴奋地把手伸进抽奖箱，随机摸了一个球。那么，他中奖的概率是多少呢？ 案例讲解 我们设摸到红球为事件 A1,摸到黄球为事件 A2,摸到蓝球为事件 A3 A1B A2B A3B P (A1) = 某个值，P (A2) = 某个值，P (A3) = 某个值 案例讲解 P (B) = P (A1) P (B | A1) + P (A2) P (B | A2) + P (A3) P (B | A3) 在这个例子中，P (B | A1) 就是摸到红球中奖的概率，即 0.3；P (B | A2) 就是摸到黄球中奖的概率，即 0.2；P (B | A3) 就是摸到蓝球中奖的概率，即 0.1。 所以，我们可以得到中奖的概率为： P (B) = P (A1)×0.3 + P (A2)×0.2 + P (A3)×0.1。 案例讲解 0.8 0.7 0.6 案例讲解 A1 A2 A3 我们可以用全概率公式来解决这个问题。设坐飞机为事件 A1，坐火车为事件 A2，坐汽车为事件 A3，准时到达为事件 B。 案例讲解 根据题意，我们有 P (A1) = 某个值，P (A2) = 某个值，P (A3) = 某个值，P (B | A1) = 0.8，P (B | A2) = 0.7，P (B | A3) = 0.6。 所以，准时到达的概率为： P (B) = P (A1) P (B | A1) + P (A2) P (B | A2) + P (A3) P (B | A3)。 案例讲解 一般地，设 A1，A2，…，An 是一组两两互斥的事件A1∪A2∪…∪An = Ω 且 P (Ai) > 0，i = 1，2，…，n，则对任意的事件 B ⊆ Ω 有 P (B) = 全概率公式 案例讲解 A0.9 B0.8 C0.7 40% 30% 30% 案例讲解 我们可以设生产线 A 生产的产品为事件 A1，生产线 B 生产的产品为事件 A2，生产线 C 生产的产品为事件 A3，产品合格为事件 B。 根据题意： P (A1) = 0.4，P (A2) = 0.3，P (A3) = 0.3 P (B | A1) = 0.9，P (B | A2) = 0.8，P (B | A3) = 0.7 然后，我们可以用全概率公式计算： P (B) = P (A1) P (B | A1) + P (A2) P (B | A2) + P (A3) P (B | A3) = 0.4×0.9 + 0.3×0.8 + 0.3×0.7 = 0.83。 全概率公式的哲学思考 全概率公式的应用步骤 第一步 确定样本空间 Ω，将其分解为一组两两互斥的事件 A1，A2，…，An，使得 A1∪A2∪…∪An = Ω。 第二步 计算每个事件 Ai 的概率 P (Ai)。 第三步 对于每个事件 Ai，计算在 Ai 发生的条件下，事件 B 发生的概率 P (B | Ai)。 第四步 将 P (Ai) 和 P (B | Ai) 代入全概率公式 P (B) = 计算事件 B 的概率。 案例讲解 A B 某学校有 A、B 两家餐厅，王同学第 1 天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第 1 天去 A 餐厅，那么第 2 天去 A 餐厅的概率为 0.6；如果第 1 天去 B 餐厅，那么第 2 天去 A 餐厅的概率为 0.8。计算王同学第 2 天去 A 餐厅用餐的概率。 案例讲解 我们可以设第 1 天去 A 餐厅用餐为事件 A1，第 1 天去 B 餐厅用餐为事件 B1，第 2 天去 A 餐厅用餐为事件 A2。 根据题意，我们有 P (A1) = P (B1) = 0.5，P (A2 | A1) = 0.6，P (A2 | B1) = 0.8 然后，我们可以用全概率公式计算： P (A2) = P (A1) P (A2 | A1) + P (B1) P (A2 | B1) = 0.5×0.6 + 0.5×0.8 = 0.7 我们一起见证未来! $$