6.3.1二项式定理课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

二项式定理 1 学习目标 1.掌握二项式定理及其二项展开式的通项，能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，发展逻辑推理素养。 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题,提升数学运算素养。 创设情境 今天是星期五，那么从明天起的第8天是星期几呢？ 第2024天是星期几呢？ 第 82024 天又是星期几呢？ 探究二项式定理 问题1：试写出 和 的展开式。 问题2：观察以上展开式，你发现什么规律？ 规律：右边均为齐次式，次数与幂指数相同； 展开式的项数比幂指数大一； 字母a按降幂、b按升幂排列。 探究二项式定理 问题3：试根据多项式乘法法则写出 的展开过程。 规律：每个括号内任取一个字母相乘构成了展开式中的每一项.每 一项都是 (k=0，1，2)的形式。 思考1：观察上述展开过程，合并同类项前，每一项是如何构成的？ 探究二项式定理 发现： 是由2个(a+b)中都不选b得到的，因此它的系数相当于2个(a+b)中取0个b的组合数 ; 同理可得ab的系数为 , 的系数为 . 所以 思考2: 合并同类项后，每项的系数是如何产生的？ 问题4：根据发现的规律，你能利用计数原理,写出 的展开式吗？ 思考：进一步，你能猜想出 的展开式吗？ 探究二项式定理 ① 由于 是n个 (a+b) 相乘，故展开式的每一项 都是从这n个因式中各取一个字母相乘得到，所以均为 an-kbk (k=0,1, …，n)的形式. ② an-kbk (k=0,1, …，n)出现的次数相当于从n个(a+b)中取k个b的组合数 . 知识构建，形成定理 二项展开式的通项： 二项式系数： 二项式定理 特征：(1)展开式共有 n+1 项． (2)各项的次数都等于二项式的次数n； 字母a按降幂排列,次数由n递减到0； 字母b按升幂排列,次数由0递增到n． 注意：字母a，b是一种“符号”，它们可以是数或代数式. 二项式定理 l 例1.求 的展开式. 解：根据二项式定理， 尝试运用，完善思维 因此，展开式第4项的系数是280，二项式系数是 . 例2. (1)求(1+2x)7的展开式的第4项的系数和二项式系数； (2)求 的展开式中x2的系数. 解： (1)求(1+2x)7的展开式的第4项是 尝试运用，完善思维 解： (2) 的展开式的通项是 根据题意，得 3-k=2，k=1. 因此，x2的系数是 = -192 尝试运用，反思完善 今天是星期五，那么从明天起的第82024天是星期几呢？ 这个数除以7的余数是1，故这天是星期六. 尝试运用，反思完善 知识 二项式定理 二项式系数 通项 二项展开式 研究方法 从特殊到一般 课堂小结 $$