6.3.1二项式定理 教学设计-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高二 学期 秋季 课题 二项式定理 教学目标 1.掌握二项式定理及其二项展开式的通项，能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，发展逻辑推理素养。 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题，提升数学运算素养。 教学重难点 教学重点： 1. 用多项式运算法则和计数原理推导出二项式定理，并会用它解决有关的简单问题。 教学难点： 1. 用多项式运算法则和计数原理推导二项式定理。 教学过程 环节一 创设情境，引入课题 问题1：今天是星期五，那么从明天起的第8天是星期几呢？第2024天是星期几呢？第 天又是星期几呢？ 问题2：试写出 和的展开式。 学生独立在草稿纸上完成 思考：观察上述展开式，你发现什么规律？ 学生先独立思考，然后小组讨论交流，代表展示讨论交流的结果。 环节二 观察分析，感知概念 问题3：试根据多项式乘法法则写出 的展开过程。 学生独立在草稿纸上完成 思考1：观察上述展开过程， 合并同类项之前每一项是怎样构成的？ 思考2：合并同类项后，每项的系数又是如何产生的？ 学生先独立思考，然后小组讨论交流，代表展示讨论交流的结果，教师补充。 环节三 抽象概括，形成概念 问题4：根据发现的规律，你能利用计数原理写出、的展开式吗？ 学生代表在黑板上作答 问题5：进一步，你能猜想出展开式吗？ 追问：你能说明这一猜想的正确性吗？ 学生思考、讨论、交流，教师给予适当的评价与指导。 设计意图：通过得出猜想，并说明其正确性，让学生体会从特殊到一般的思想方法，体会归纳猜想在知识产生过程中的重要性。 环节四 辨析理解，深化概念 由于是个相乘，故展开式的每一项都是从这n个因式中各取一个字母相乘得到，故每一项都是的形式。 对应的项是由个选，另外个中选得到的。由于选定后，的选法也随之确定，因此，出现的次数相当于从个中取个的组合数，这样，的展开式中，共有个。 公式（1）叫做二项式定理（binomial theorem），右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数。式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项： ． 教师提出以下问题引导学生理解二项式定理: 思考： 1、 二项展开式有多少项? 2、 各项的次数有什么规律？ 3、 字母a,b按什么规律排列？ 4、 字母a,b代表的是什么? 设计意图:通过提出问题，引导学生思考，强化记忆，辨析概念，加深学生对二项式定理的理解与认识。 环节五 尝试运用，完善思维 例1. 求的展开式 例2.（1）求的展开式的第4项的系数和二项式系数； （2） 求的展开式中的系数。 解：（1）的展开式的第4项是 因此，展开式第4项的系数是280。 的展开式的第4项的二项式系数是． 一个二项展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念。 的展开式的通项是 由题知3-k=2，所以 k=1 因此，的系数是 环节六 归纳总结，反思提升 知识方面：通过归纳→猜想→证明，我们得出了二项式定理，并对此定理从二项展开式、二项式系数、通项等方面进行了简单应用； 思想方法：从特殊到一般的思维方法。 设计意图：通过提出问题，帮助学生回顾二项式定理的推导过程及二项式定理的有关概念，总结用二项式定理解决问题的方法，形成完整的知识体系。 环节七 目标检测，作业布置 完成教材第31页练习 学科网（北京）股份有限公司 $$