1.4.1充分条件与必要条件教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

教学设计 课程基本信息 学科 高中数学 年级 高一 学期 秋季 课题 充分条件与必要条件 教学目标 （1）理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系； （2）理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系； （3）初步使用常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流，提升逻辑推理素养。 教学重难点 教学重点： 1.理解充分条件、必要条件的含义。 2.运用充分条件、必要条件进行数学表达、论证和交流。 教学难点： 1.理解必要条件及充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系 2.必要条件的理解。 教学过程 时间 主要师生活动 设计意图 4分钟 1.概念的引入 问题1：在初中，我们学习了命题.什么是命题？命题的一般形式是什么？ 师生活动：学生回答，教师指明命题的一般形式. 学生：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题. 教师：命题可以写成“若p则q”的形式。其中p称为命题的条件，q称为命题的结论 复习命题知识，明确命题的一般形式，为学习充分条件和必要条件做准备. 7分钟 2．概念的形成 问题2：（教科书第17页思考）下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ （1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； （3）若x24x30，则x1； （4）若平面内两条直线a与b均垂直于直线l，则a//b. 师生活动：学生判断命题的真假，教师确认(1)、(4)为真命题，(2)、(3)为假命题，并引导学生说明理由. 根据“若p，则q”形式的命题的真假，教师给出充分条件、必要条件的定义： “若p，则q”为真命题，是指由条件p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作pq，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件. 如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作pq. 此时，我们就说，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件. 通过判断“若p，则q”形式的命题的真假，建构充分条件和必要条件的定义. 5分钟 3.概念的理解 问题3：在问题2的4个命题中，能判断充分条件和必要条件吗？ 师生活动：根据定义判断(1)、(4)为真命题，p是q的充分条件，q是p的必要条件. 追问：为什么条件p是条件，结论q也叫条件呢？怎么理解“充分”和“必要”这两个词？ 引导：思考下面这个问题。如下“若p，则q”形式的命题，p是q的什么条件？q是p的什么条件？p:李明是阳光学校高一1班的学生；q:李明是阳光学校的学生； 学生：容易得到，p⇒q，即命题是真命题， 所以：“李明是阳光学校高一1班的学生”是“李明是阳光学校的学生”的充分条件， “李明是阳光学校的学生”是“李明是阳光学校高一1班的学生”的必要条件。 那结合实际理解，“充分”可以理解为p有充分的理由使q成立，即有p就有q； “必要”：可以理解为没有q成立则必然没有p成立即没q就没p。 《墨子.经上中》：充分条件，有之则必然；必要条件：无之则必不然。 设计意图：通过教科书中的例子，理解充分条件和必要条件的意义. 20分钟 4.概念的巩固 例1（教科书第18页例1）下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （4）若x21，则x1； （5）若ab，则acbc； （6）若x,y为无理数，则xy为无理数. 师生活动：学生讨论上述命题的真假，教师启发、补充，并用以下问题进行追问. 问题4：例1中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，还有其他充分条件吗？ “四边形的两组对角分别相等”“四边形的两组对边分别相等” “四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分” 都是“四边形是平行四边形”的充分条件. p是q的充分条件，是指由条件p可以推出结论q. 对于给定的结论q，使得q成立的条件p是不唯一的. 问题5：如何判断p是q的充分条件？ （设计意图：在判断具体命题的真假性中理解充分条件的概念；通过追问，理解判定定理与充分条件的关系，认识使结论q成立的条件p是不唯一的，掌握判断充分条件的方法，发展学生的逻辑推理素养.） 例2．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ （1）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形； （4）若x1，则x21； （5）若acbc，则ab； （6）若xy为无理数，则x,y为无理数. 师生活动：学生思考、讨论，教师启发、补充，规范作答，并用以下问题进行追问. 问题6：例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，还有其他必要条件吗？你能给出“四边形是平行四边形”的其他必要条件吗？ “四边形的两组对角分别相等”“四边形的两组对边分别相等” “四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的必要条件. q是p的必要条件，是指由p可以推出q. 由条件p推出的结论q是不唯一的. 问题7：如何判断q是p的必要条件？ 过例题分析，理解必要条件的概念；通过追问，理解性质定理与必要条件的关系，认识由条件p推出的结论q 是不唯一的，掌握判断必要条件的方法，发展学生的逻辑推理素养. 4分钟 课堂小结： 1、试着说说充分条件与其判断方法； 2、试着说说必要条件与其判断方法，并用自己的语言解释一下“必要”的意思； 3、利用判定定理与充分条件的关系，性质定理与必要条件的关系回顾以下初中的相关知识； 梳理本节课的知识和方法，提高学生的数学表达能力和思维能力，发展抽象概括素养. 学科网（北京）股份有限公司 $$