4.2.1 指数函数的概念课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.2.1 指数函数的概念 一、思路引领，明确方向 图象和性质 应用 背景 概念 数学抽象 研究函数的一般路径： 二、实例抽象，铺垫概念 问题１ 随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式. 由于旅游人数不断增加，Ａ，Ｂ两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，Ａ地提高了景区门票价格 ，而Ｂ地则取消了景区门票．表格中给出了Ａ，Ｂ两地景区2001年至2015年的游客人次． 时间/年 A地景区 B地景区 人次/万次 人次/万次 2001 600 278 2002 609 309 2003 620 344 2004 631 383 2005 641 427 2006 650 475 2007 661 528 2008 671 588 2009 681 655 2010 691 729 2011 702 811 2012 711 903 2013 721 1005 2014 732 1118 2015 743 1244 时间/年 A地景区 B地景区 人次/万次 人次/万次 2001 600 278 2002 609 309 2003 620 344 2004 631 383 2005 641 427 2006 650 475 2007 661 528 2008 671 588 2009 681 655 2010 691 729 2011 702 811 2012 711 903 2013 721 1005 2014 732 1118 2015 743 1244 观察表格，你发现 A, B 两景区游客人次有怎样的变化情况？ 逐年增加 链接 时间/年 B地景区 人次/万次 年增加量/万次 2001 278 2002 309 31 2003 344 35 2004 383 39 2005 427 44 2006 475 48 2007 528 53 2008 588 60 2009 655 67 2010 729 74 2011 811 82 2012 903 92 2013 1005 102 2014 1118 113 2015 1244 126 1.11 1.11 1.11 1.11 1.11 1.11 1.11 1.11 1.11 1.11 1.11 1.11 1.11 1.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 年增 长率 2002年游客人次 2001年游客人次 2003年游客人次 2002年游客人次 …… 2015年游客人次 2014年游客人次 B数据： 商 A数据： 差 增加量为常数 线性增长 （一次函数） 指数增长 增长率为常数 追问4 如何刻画B景区游客人次的指数增长规律？ 从2001年开始， 2年后，游客人次是2001年的 1.112 倍； 3年后，游客人次是2001年的 1.113 倍； x年后，游客人次是2001年的 1.11x 倍； 如果设经过 x 年后的游客人次为2001年的 y 倍， …… 那么 y=1.11x, 1年后，游客人次是2001年的 1.111 倍； B数据： 商 A数据： 差 增加量为常数 线性增长 （一次函数） 指数增长 增长率为常数 问题2 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”. 按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 1年后， 生物体内碳14含量=刚死亡的生物体内碳14含量×(1-p) 解: 设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为 p, 如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位. 死亡1年后，生物体内碳14含量为(1- p)1； 死亡1年后，生物体内碳14含量为(1- p)1； 死亡2年后，生物体内碳14含量为(1-p)2； 死亡3年后，生物体内碳14含量为(1-p)3； ...... 死亡5730年后，生物体内碳14含量为(1-p)5730； 那么 y =(1- p )x， 设生物死亡年数为 x，死亡生物体内碳14含量为 y. 追问 根据半衰期的概念，你能求出衰减率 p 的值吗？ 碳14： 衰减率为常数 指数衰减 根据已知条件，(1-p)5730= , 从而 即 三、归纳概括，生成概念 （1）幂的形式 （2）指数是自变量 （3）底数是大于0的常数 问题3 试从解析式的角度，分析它们有什么共同特征？ 一般地，函数 y=ax (a>0,且a≠1) 叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，定义域是 R. 特征：（1）幂的形式； （2）指数是自变量； （3）底数是大于0且不等于1的常数. 三、归纳概括，生成概念 例1 已知指数函数 y=ax (a>0,且a≠1) ,且 f (3)=π，求 f (0)，f (1)，f (-3)的值. 四、典例分析，应用概念 分析：要求 f (0)，f (1)，f (-3)的值，应先求出 f (x)=ax 的解析式，即先求出 a 的值. 解：因为 f (x)=ax，且 f (3)=π，则 a3=π，解得 所以， 于是 例2 （1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况. 解：设经过 x 年，游客给A，B两地带来的收入分别为 f(x)（万元）和 g(x)（万元），则 分析: 经过 x 年，A地游客人次 B地游客人次 当x≈10.22时，f(10.22)≈g(10.22)． 结合右图可知： 当x＜10.22时，f(x)>g(x)， 当x＞10.22时，f(x)<g(x)． 当x＝14时，g(14)－f(14)≈347303． 利用计算工具可得， 当x=0时，f(0)－g(0)=412000． 说明，在2001年，游客给 A 地带来的收入比 B 地多412000万元； 说明，在2011年3月某个时刻游客给 A 地带来的收入和 B 地差不多； （2）在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？ 所以，生物死亡10000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30%. 解: 设生物死亡 x 年后，它体内碳14含量为h(x), 如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么 当x=10000时，利用计算工具求得 N (1+p)x 指数增长模型 y=N(1+p)x 指数衰减模型 y=N(1-p)x y=kax（k R, 且k 0; a >0,且a 1) 五、课堂小结，布置作业 y=ax (a>0,且a 1) y=kax (k R, 且k 0;a>0,且a 1) 指数增长(衰减) 问题4 通过本节课的学习，你在知识和方法上有哪些收获？ 知识： 五、课堂小结，布置作业 图象和性质 应用 方法：研究函数的一般路径 概念 数学抽象 背景 五、课堂小结，布置作业 2. 教科书第115页：阅读与思考“放射性物质的衰减”. 1. 教科书第115页：练习1，2，3题； 感 谢 观 看 $$