5.2.1 三角函数的概念 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.2.1 三角函数的概念 1 引导语:在客观世界中存在大量运动，变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种变化规律就是周期现象,比如日出日落、钟摆运动等,匀速圆周运动是这类现象的代表 创设情境，提出问题 今天我们继续按照研究函数的一般套路来展开探究。 我们知道，函数是描述客观世界运动变化规律的数学模型。 如：直线运动-----一次函数；抛物运动-----二次函数； 指数爆炸-----指数函数；对数增长-----对数函数； 那么圆周运动-----用什么函数模型刻画呢？ 提出问题，引导探索 函数问题的研究路径： 明确研究背景 对应关系的特点分析 下定义 研究性质 函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称 f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记作： y=f(x) x∈A． 任 意 唯一 确定 引导探索，形成概念 实际问题：摩天轮转动过程中如何刻画座舱的位置变化？ 数学问题：随着 POA的变化，动点P在半径为r的圆上作圆周运动 那么如何从函数的角度来刻画点P的位置变化呢？ 引导探索，形成概念 如图：圆 O 上的点 P 以 A 为起点做逆时针方向旋转。如何借助角α的大小变化刻画点 P 的位置变化呢？ 先研究单位圆上点P的变化情况。 引导探索，形成概念 如图：单位圆 O 上的点 P 以 A 为起点做逆时针方向旋转。我们考虑建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况。 引导探索，形成概念 【建立直角坐标系】以单位圆的圆心O为原点， 以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，则A(1,0)，P(x,y). 【分析变量】 弧度数 角的大小 P点坐标(x,y) 点P的位置 【对应关系】问题：任意给定一个角，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标能唯一确定吗？ 探究：如图，当 时，点P的坐标是什么？当 或 时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？ x y O A(1, 0) P x y O A(1, 0) P x y O A(1, 0) P M M P P P 问题：任意给定一个角α，观察它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，你有什么发现？ 引导探索，形成概念 问题：你认为点 P 的坐标 (x, y) 是角 α 的函数吗? 如果是, 你能用集合与对应语言来刻画这种函数关系吗？ 如果不是，那谁才是角 α 的函数呢？ 任意给定角 ，唯一确定点P（x,y) α 引导探索，形成概念 任意给定角 ，唯一确定点P（x,y) α = = 唯一确定的横坐标 唯一确定的纵坐标 = = =- = 引导探索，形成概念 角α的终边与单位圆交于点P(u,v). 引导探索，形成概念 f :实数α（弧度）对应于点P的纵坐标y A集合 B集合 g:实数α（弧度）对应于点P的横坐标 α 自变量 函数值 对应关系 α 引导探索，形成概念 设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆相交于点P(x，y) (1)把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即 y=sinα； (2)把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即 x=cosα； 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数,即单位圆上点P的位置可以用三角函数模型来刻画。 引导探索，形成概念 （2）三角函数的三要素分别是什么？ 问题：（1）正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么？与以往学习的函数定义有什么不同？ 正弦函数 y=sin α 余弦函数 正切函数 x=cos α =tan 概念辨析 角 实数 (角的弧度) 三角 函数值 三角函数可以看成是以实数α(α为弧度)为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数. （1）正弦函数： （2）余弦函数： （3）正切函数：       注意:（1）在任意角的三角函数定义中，α是一个使函数有意义的实数 （2）x是自变量，离开自变量x的sin,con,tan是没有意义的 概念辨析 知识回顾：在初中我们是如何定义锐角三角函数的？ O a b M P c 1、锐角三角函数是研究三角形各种几何量之间的关系而发展起来的，是解三角形的工具；任意角三角函数是研究现实中的周期现象而发展起来的，核心是周期性。它们研究的对象不同，具有的性质也不同。 2、锐角三角函数载体是直角三角形；任意角三角函数研究的载体是单位圆，突出了圆的几何性质，它是三角形的代数化。只有角的范围在（0，）内，二者间有明显联系。 概念辨析 解：如图在直角坐标系中作 请说出角。 问题： 如果改变角α终边上点P的位置，三角函数值是否会改变呢？ 思考：例2实际上提供了另外一种求任意角三角函数值的方法，你能用自己的语言叙述吗？ 证明：如图，设角 的终边与单位圆交于点 P0 分别过点 作 x 轴的垂线 ，垂足分别为 ， M M0 因为 与 同号，所以 同理可得 例2.如图，设 是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的 坐标为（x,y），点P与原点的距离为r。求证： 则sin α=y0 P 设角 是一个任意角， 是终边上的任意一点，点 与原 点的距离|OP|= 任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 在角的终边上的位置无关. 三角函数概念的推广： 三人自行车脚踏的高度设置！ 物理中交变电流的研究！ 赛车游戏的开发！ 反思凝练，感悟升华 1.通过本节课的学习，你能阐述任意角三角函数的研究思路吗? 2.在获得知识的过程中，体现了什么样的数学思想方法？ 数学来源于生活，又服务于生活！ 应用 反思凝练，感悟升华 ？ 作业： 1.必做：《教材》179页练习1-4， 2.选做：收集并整理关于三角函数发展史的有关资料 教材中现在的定义与历史上大数学家欧拉的定义是一致的，欧拉令圆的半径为1，用平面直角坐标系来定义三角函数，彻底解决了三角函数在四个象限中的符号问题。 神秘的三角学 到公元前2世纪，古希腊天文学家「三角学之父」希帕霍斯（Hipparchus of Nicaea）为了天文观测的需要，制作了第一个和现在三角函数表相仿的「弦表」，就是规定在一个圆内，不同圆心角所对弦长的表。思考的是定圆各中心角所对应的弦长﹝全弦﹞，成为西方三角学的最早奠基者。 大约公元5世纪，印度数学家改进了弦表，计算半弦。他们研究一个角的倍角所对弦的一半。后来，哥白尼的学生雷提库斯（1514—1576）将传统的圆中的弧与弦的关系改进为角关系，定义为直角三角形的边长之比。 拓展阅读 $$