7.2.2复数的乘、除运算 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.2.2复数的乘除法 1 学习目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算； 2.理解复数乘法的交换律、结合律和 乘法对加法的分配律; 3.理解且会求复数范围内的方程根. 2 (a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i z1＋(z2＋z3) 探究一 复数的乘法 z2＋z1 探究一 复数的乘法 问题1：两复数相加，类似于两个多项式相加。那么，你认为两个复数相乘如何进行运算呢？ 4 探究一 复数的乘法 探究一 复数的乘法 问题2：复数的乘法是否类似于两个 多项式相乘？有什么不同点？   探究一 复数的乘法 问题3：复数的加法与实数加法 一样满足交换律和结合律，那么 复数的乘法是否满足乘法交换律 结合律及乘法对加法的分配律？ 尝试证明你的猜想？ 探究一 复数的乘法 交换律 z1z2＝_____ 结合律 (z1z2)z3＝________ 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝_________ 探究一 复数的乘法 请同学们用同样的方法独立完成乘法 结合律和乘法对加法的分配律的证明。 例1　计算下列各题. (1)(1－2i)(3＋6i)； 探究一 复数的乘法 (2)(5－2i)2； (3)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i). 探究一 复数的乘法 解（1）(1－2i)(3＋6i)＝3＋6i－6i＋12＝15； （2）(5－2i)2＝52－2×5×2i＋(2i)2 ＝25－20i－4＝21－20i； （3）(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i) ＝(24＋8i－6i＋2)－(28＋21i－4i＋3) ＝(26＋2i)－(31＋17i) ＝－5－15i. 探究二 复数的除法 当两个复数的 ， 时， 这两个复数叫做互为 ，z的共轭复数用 表示.即z＝a＋bi，则 ＝ . 　预备知识 共轭复数 实部相等 虚部互为相反数 共轭复数 a－bi 问题1：类比实数的除法是乘法的 逆运算，规定复数的除法也是乘法 的逆运算，你能尝试推导复数除法 的运算法则吗？ 探究二 复数的除法 探究二 复数的除法 探究二 复数的除法 探究二 复数的除法 问题3：如何应用共轭复数解决问题？ 如何进行复数的除法运算？ 探究二 复数的除法 解:   例3： 探究三 复数范围内方程根的问题 探究三 复数范围内方程根的问题 探究三 复数范围内方程根的问题 探究三 复数范围内方程根的问题 预备知识 复数加法与减法的运算法则 (1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则 ①z1＋z2＝ ； ②z1－z2＝ . (2)对任意z1，z2，z3∈C，有 ①z1＋z2＝ ； ②(z1＋z2)＋z3＝ ． 1．复数的乘法 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝__________________ (a，b，c，d∈R)． (ac－bd)＋(ad＋bc)i 2．复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 z2z1 z1(z2z3) z1z2＋z1z3 问题2：试求z1＝a＋bi，z2＝a－bi(a，b∈R)的积． 【答案】z1z2＝a2＋b2，积为实数． 答案：在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似． 1、已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)． (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否是方程的根． 解析　(1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根， ∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0. ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＋c＝0，,2＋b＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝－2，,c＝2.))∴b＝－2，c＝2. (2)将方程化为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立， ∴1－i也是方程的一个根． $$