7.2.2复数乘、除运算教学设计- 2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一年级 学期 春季 课题 7.2.2复数的乘、除运算 教学目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算； 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律; 3.理解且会求复数范围内的方程根. 教学重难点 教学重点：复数代数形式的乘法和除法运算． 教学难点：求复数范围内的方程根. 教学过程 <一>新课导入 复习回顾复数的加法和减法的运算法则和运算律，类比引发学生对复数乘法运算法则的思考。 <二>讲授新课 探究一、复数的乘法运算 问题1：两复数相加，类似于两个多项式相加。那么，你认为两个复数相乘 如何进行运算呢？ 1．复数代数形式的乘法法则 已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 问题2：复数的乘法是否类似与两个多项式相乘？有什么不同点？ 复数的乘法与多项式的乘法类似，有一点不同，即必须在所得结果中把i2换 成-1，再把实部、虚部分别合并。 两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积 仍然是一个复数。 问题3：复数的加法与实数加法一样满足交换律和结合律，那么复数的乘法 是否满足乘法交换律、结合律及乘法对加法的分配律？尝试证明你的猜想。 2.复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3 教师展示乘法交换律的证明，请同学们用同样的方法独立完成乘法结合律和 乘法对加法的分配律的证明。 例1：计算下列各题 (1)（1+2i）(3+6i) (2)(5-2i)2 (3)(4-i)(6+2i)-(7-i)(4+3i) 注意：多项式相乘满足的完全平方式和平方差公式对复数依然适用。 探究二、复数的除法运算 预备知识复习：共轭复数的概念 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，z的共轭复数用表示．即z＝a＋bi，则＝a－bi. 问题1：类比实数的除法是乘法的逆运算，规定复数的除法也是乘法的逆运算，你能尝试推导复数除法的运算法则吗？ (学生思考尝试推导) （教师给出推导过程） 问题2：试求z1=a+bi,z2=a-bi(a、b为实数)的积。 答案：z1z2=a2+b2，积为实数。 问题3：如何应用共轭复数解决问题？如何进行复数的除法运算？ 我们可以通过把分母乘以它的共轭复数实现分母的实数化。所以，我们可以应用以下的方法进行复数的除法运算： (1)首先将除式写为分式； (2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； (3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 例2：计算(1＋2i)(3－4i) 【解析】　 探究三、复数范围内方程根的问题 复数的引入解决了实系数一元二次方程“Δ小于0”时在实数范围内没有解的 问题，那么下面我们来研究复数范围内一元二次方程根的问题。 例3：已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)． (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否是方程的根． 【解析】(1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根， ∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0 ∴得∴b＝－2，c＝2. (2)将方程化为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程的一个根． 【例题反思】实系数一元二次方程“Δ小于0”时在实数范围内没有解，但在复 数范围内它有两个解，并且这两个复数解互为共轭复数。 教师提问引发学生思考：那么如何求实系数一元二次方程“Δ小于0”时的解 呢？ 例3 在复数范围内解下列方程： （1）； （2），其中，且． 【解析】（1）因为，所以方程的根为． （2）将方程配方，得， ． 所以原方程的根为． <三>课堂小结 学生总结本节课所学主要知识及解题技巧，对照学习目标检查自己是否达标。完成课本80页练习，对本节课内容进行巩固。 学科网（北京）股份有限公司 $$