7.1.1数系的扩充和复数的概念 教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 春季 课题 7.1.1数系的扩充和复数的概念 教学目标 1. 类比从自然数系逐步扩充到实数系的过程与方法，归纳出数系扩充的一般“规则”，能说明虚数i的由来，在保持加法、乘法运算律不变的前提下引入复数。 2. 通过实系数一元二次方程无实根的引入，使学生感受引入复数的必要性，体会实际需求与内部矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用。 3. 通过具体实例归纳出复数的代数表示，能够明晰其基本结构，会对复数进行分类，会用Venn图表示所学数集之间的关系；在确保复数集中元素互异性的条件下给出复数相等的定义，并能运用复数相等的定义解决简单的数学问题。 4. 在从实数系扩充到复数系的过程中，再次体会数系扩充的“基本思想”，体会扩充的合理性及人类理性思维在数系扩充中的作用，提升数学抽象素养、逻辑推理素养。 教学重难点 教学重点： 1. 从实数系扩充到复数系的过程与方法、引进虚数单位i的必要性、复数的有关概念。 教学难点： 1. 从实数系扩充到复数系的过程中所蕴含的“基本思想”，复数的代数表示及其分类。 教学过程 环节一：创设情境，引出“背景” 教师引导：同学们，通过昨天对复数的课本知识和阅读材料的预习，大家可以了解到复数的应用很广泛，中学阶段我们主要是从解方程的角度研究复数，请同学们求解以下三个实系数一元二次方程的根。 （1）求实系数方程 的实数解？ （2）求实系数方程 的实数解？ （3）求实系数方程 的实数解？ 学生活动:独立求解后解答 设计意图：从学生熟悉的实系数一元二次方程入手，激发学生学习的热情，通过方程（3）无实根，使其感受数学的困惑，深刻体会引入“新数的必要性”.通过（1）（2）与（3）的对比，突出实系数方程无实根的本质：负数不能开平方，即方程在实数系下无解，为引入数系的扩充做准备. 通过交流展示，培养学生的观察、概括与表达能力. 教师追问：类比方程（1）（2），将方程（3）也用求根公式写出来，体会方程（3）无实根的本质是什么？ 学生： 教师追问：x²=-1这个方程的解的问题能解决了吗？ 学生活动：讨论后回答 设计意图：借助追问将复杂问题转化为基本问题，使学生明确关键在于找到（引入）平方等于-1的数，发现问题的本质，为后续从解方程的角度引入“新数”作好准备，通过创设情境提出本节课研究的主题 环节二：复习回顾，再现“思想” 教师引导：为了解决方程在实数系下无解的问题，我们需要把实数系进一步扩充.数，早已融入我们的日常生活，在数学内部也起着举足轻重的作用，数的发展本身也是一部辉煌而厚重的历史，今天短短一节课，我们要跨越千年、追溯历史、一起先回顾数系数的前三次扩充，去探寻数系一次次扩充的秘密. 学生活动：小组讨论（用venn图） 设计意图：实数集，自然是本课时学生学习的“最近发展区”，也是本课时知识的生长点；数学史的展示可激发学生的兴趣，使学生了解数学的发展并非一帆风顺，通过交流展示，一方面培养学生的观察、概括与表达能力；另一方面通过对前三次数系扩充的梳理，为数系的再一次扩充以及如何扩充打下基础，使学生感受到数系扩充的必要性和合理性，并提炼出数系扩充的基本思想，为后续从实数系扩充到复数系提供方法指引，在追问中突破本课时的难点之一. 环节三：引出“新数”，构建新知 教师引导：观察数系扩充的过程，结合方程的解，说说扩充的必要性和“规则”是什么？大家小组讨论一下，并请小组代表分享你们小组的成果. 学生活动：小组讨论后作答 设计意图：通过提问，引导学生自主建构复数概念体系. 教师追问：每一次数学内部解方程的矛盾是怎么解决的呢？仅仅是引入了新数吗？ 学生：除了引入新数，还增加了新的运算法则 教师引导得出：扩充后数系中的加法运算、乘法运算，与原数系中的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律。 教师引导：添加“新数”后，原来数集中规定的加法乘法运算法则和运算律在新数数集中仍然成立。那么，把新数“”添加到实数集中，组成的新数集包含哪些元素？ 学生讨论：根据加法和乘法的一致性，可以形成a+i、bi、a+bi这样的数 教师追问：新数“”添加到实数集中，组成的新数集中也增加了新的元素，根据这些元素的特征，请大家概括复数的概念. 学生活动：小组讨论后作答 教师引导：复数是实数的充要条件是什么？ 复数的充要条件是什么？ 学生活动：小组讨论后作答 设计意图：通过设置问题，引导学生由复数为0时实部虚部都为0 的特殊情况得到复数相等的充要条件，让学生体会特殊到一般的数学思想. 教师引导：既然复数是一个二元数，那同学们怎么看复数相等以及复数能不能比大小的问题呢？ 学生活动：独立思考后回答 设计意图：类比向量不能比较大小，加深学生对虚数不能比较大小的本质复数为二元数的理解. 教师引导：进一步地，你能对复数进行分类吗？ 学生活动：小组讨论 设计意图：通过小组讨论交流，培养学生的合作精神，强化学生分类讨论思想的应用，提高学生逻辑推理的数学素养. 环节四: 例题练习，巩固所学 练习 7，，，，，，你能将上述复数分类，分出实数、纯虚数和虚数，并指出虚数的实部与虚部吗？ 例1 当实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是下列数？ （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数. 设计意图：使学生在问题解决的过程中，内化复数的相关概念，起到及时反馈、学以致用的功效 环节五: 小结提升，形成结构 请围绕以下问题，回顾总结本节课的学习内容： 1.复数相关的概念有哪些？如何分类？复数相等的条件是什么？ 2.本节课应用了哪些数学思想？ 学生活动：独立思考完成 设计意图：使学生对本课时有一个全面、系统的认识，在掌握数学知识的同时，积累相应的研究数学问题的经验、思想和方法，体会科学精神. 环节六：布置作业，应用迁移 教科书课后作业 学科网（北京）股份有限公司 $$