8.5.2直线与平面平行 (第二课时)教学设计- 2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 春季 课题 直线与平面平行（第二课时） 教学目标 1. 回顾并理解直线与平面平行的判定定理； 2. 探究并证明直线与平面平行的性质定理； 3. 结合直线与平面判定定理和性质定理的探究，培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力。 教学重难点 教学重点：直线与平面平行的性质定理的理解和应用，培养学生的空间想象能力； 教学难点：运用性质定理解决实际问题时的思路分析和方法选择。 教学过程 任务一：知识回顾 复习旧知：同学们，今天我们将要学习直线与平面平行的性质定理，在这之前我们已经学过了直线与平面平行的判定定理，让我们回顾一下之前的内容。 定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ①符号语言：𝑎⊄𝛼，𝑏⊂𝛼，且𝑎∥𝑏⟹𝑎∥𝛼. ②图形语言： 定理告诉我们，可以通过直线间的平行，得到直线与平面平行，这是处理空间位置关系的一种常用方法。 任务二：课内探究 1.问题探究 同学们观察和思考一下生活中的实例，比如日光灯与天花板、窗户的边框与墙面等等，同学们能否直观感受到直线与平面平行的情况下，直线与平面内直线的位置关系呢？ 大家再想一下，如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行吗？下面，我们就一起来探究一下。 2. 直线与平面平行的性质定理 2.1如图，由定义，如果直线𝑎∥平面𝛼，那么 𝑎 与 𝛼 无公共点，即 𝑎 与 𝛼 内的任何直线都无公共点。这样，平面 𝛼 内的直线与平面 𝛼 外的直线 𝑎 只能是异面或者平行的关系。那么，在什么条件下，平面 𝛼 内的直线与直线 𝑎 平行呢？ 分析：假设 𝑎 与 𝛼 内的直线 𝑏 平行，那么由基本事实的推论3，过直线 𝑎，𝑏 有唯一的平面 𝛽。这样，我们可以把直线 𝑏 看成是过直线 𝑎 的平面 𝛽 与平面 𝛼 的交线。于是可得如下结论：过直线 𝑎 的平面 𝛽 与平面 𝛼 相交于𝑏，则𝑎∥𝑏. 如图，已知 𝑎∥𝛼， 𝑎⊂𝛽，𝛼∩𝛽=𝑏. 求证： 𝑎∥𝑏. 证明：∵ 𝛼∩𝛽=𝑏， ∴ 𝑏⊂𝛼， 又 𝑎∥𝛼， ∴ 𝑎与𝑏无公共点. 又 𝑎⊂𝛽， 𝑏⊂𝛽， ∴ 𝑎∥𝑏. 2.2定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. ①符号语言：𝑎∥𝛼， 𝑎⊂𝛽，𝛼∩𝛽=𝑏⟹ 𝑎∥𝑏. ②图形语言： ③作用：判断直线与直线平行的重要依据. ④注意：定理中三个条件缺一不可. 2.3例题3如图所示的一块木料中，棱𝐵𝐶平行于平面𝐴′B′C′D′. (1) 要经过平面𝐴′B′C′D′内的一点𝑃和棱𝐵𝐶将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？ (2) 所画的线与平面𝐴BCD是什么位置关系？ 分析：要经过平面𝐴′B′C′D′内的一点𝑃和棱𝐵𝐶将木料锯开，实际上是经过𝐵𝐶及𝐵𝐶外一点𝑃作截面，也就需要找出所作的截面与相关平面的交线。我们可以依据直线与平面平行的性质定理、基本事实4和推论1画出所需要的线段. 解题：(1) 如图，在平面𝐴′B′C′D′内，过点𝑃作直线𝐸𝐹，使𝐸𝐹∥𝐵′𝐶′，并分别交棱𝐴′𝐵′，𝐷′𝐶′于点𝐸，𝐹。连接𝐵𝐸，𝐶𝐹，则𝐸𝐹，𝐵𝐸，𝐶𝐹就是应画的线. (2) 因为棱𝐵𝐶平行于平面𝐴′B′C′D′，平面𝐵𝐶 B′C′与平面𝐴′B′C′D′相交于𝐵′𝐶′，所以𝐵𝐶∥𝐵′𝐶′。由(1)知，𝐸𝐹∥𝐵′𝐶′，所以𝐸𝐹∥𝐵𝐶。而𝐵𝐶在平面𝐴BCD内，𝐸𝐹在平面𝐴BCD外，所以𝐸𝐹∥平面𝐴BCD. 显然，𝐵𝐸，𝐶𝐹都与平面𝐴BCD相交. 3.思维升华 利用直线与平面平行的性质定理解题的步骤如下： 任务三：实践应用 1．如图，在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1 𝐵1 𝐶1 𝐷1六个表面中， （1）与𝐴𝐵平行的直线有： 𝐴1𝐵1、𝐶𝐷、𝐶1𝐷1 （2）与𝐴𝐵平行的平面有：平面𝐴1𝐶1、平面D1𝐶 2. 求证：若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行. 已知：𝑎∥𝑏，𝑎⊂𝛼，𝑏⊂𝛽，𝛼∩𝛽＝𝑙. 求证：𝑎∥𝑏∥𝑙 证明：如图所示， ∵𝑎∥𝑏，𝑏⊂𝛽，𝑎⊄𝛽， ∴ 𝑎∥𝛽， 又 𝑎⊂𝛼，𝛼∩𝛽＝𝑙，∴𝑎∥𝑙，又𝑎∥𝑏， ∴𝑎∥𝑏∥𝑙. 3. 四面体ABCD中，用平行于棱AB，CD的平面截此四面体， 求证：截面MNPQ是平行四边形. 分析：已知AB//平面MNPQ， CD//平面MNPQ 证明:∵AB∥平面MNPQ，AB⊂平面ABD，平面ABD∩平面MNPQ＝PQ， ∴AB∥PQ. 又AB⊂平面ABC，平面ABC∩平面MNPQ＝MN， ∴AB∥MN， ∴MN ∥PQ. ∵CD∥平面MNPQ，同理可得CD∥MQ，CD∥NP， ∴MQ ∥NP. ∴截面MNPQ是平行四边形. 4. 四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，AC∩BD=O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH. 证明:连接MO，平行四边形ABCD中,O为AC的中点 又∵M为PC的中点，∴MO∥AP. 又AP ⊂平面BDM，MO⊂平面BDM， ∴AP∥平面BDM， 又AP⊂平面APG，平面APG∩平面BDM=GH ∴AP∥GH. 5. 三棱柱中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面交△ABC的边BC、AC于点E、F，则 ( B ) A．MF∥NE B．四边形MNEF为梯形 C．四边形MNEF为平行四边形 D．A1B1∥NE 课堂总结： 1.在证明直线与直线平行时，可以考虑利用直线与平面平行的性质定理，通过构造平面与已知平面相交，找到交线与已知直线的关系。 2.对于复杂的几何图形，要善于从已知条件中提取关键信息，明确目标，选择合适的定理和方法进行证明。 3.不仅要掌握定理的直接应用，还要学会灵活运用，通过构造辅助平面等方法，拓展解题思路。 课后习题： 1.必做题：教材课后习题。 2.选做题：探究直线与平面平行的性质定理的其他证明方法。 学科网（北京）股份有限公司 $$