8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 1 思考：正方体的表面积与其展开图有何关系？ 问题探究 几何体表面积 展开图的面积 平面图形面积 空间问题 平面问题 问题1 如何求棱柱、棱锥、棱台的表面积？ 2 名称 几何体 展开图 直棱柱（以直六棱柱为例） 正棱锥（以正四棱锥为例） 正棱台（以正三棱台为例） 棱柱、棱锥、棱台的表面积，就是围成它们的各个面的面积之和。 问题探究 3 例1 如图，四面体各棱长均为，求它的表面积。 例题讲解 解：因为是正三角形，其边长为, 所以 . . 因此，四面体P-ABC的表面积 ： 几何体的结构特征可以简化多面体表面积的运算 4 例2 已知一个正四棱锥的侧棱长为5，底面的边长为6，求它的表面积。 例题讲解 解：如图所示，正四棱锥 =5,=6,过点作垂直AB于， 则AE=3,PE= 因此 故 5 问题2 体积是什么？如图，写出正方体和长方体体积公式。 V正方体= V长方体= 思考 ：所有的棱柱的体积都可以用表示吗？ 记底面积为高为 问题探究 6 问题探究 祖暅原理：幂势既同，则积不容异 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。 7 问题探究 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。 8 一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h，那么这个棱柱的体积为 例题讲解             棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一底面作垂线，这个点与垂足之间的距离。特别地，直棱柱的侧棱垂直于底面，故侧棱长即为直棱柱的高。 9 问题3 如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.根据祖暅原理，你能以三棱柱为例，说明理由吗？ 例题讲解 1 2 3 10 一般地，如果棱锥的底面积是S，高是h，那么这个棱锥的体积为 新知探究 棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离。 11 问题4 棱台的定义是什么？据此你能根据棱锥的体积公式得到棱台的体积公式吗？ 新知探究 12 新知探究 棱台的体积公式为 其中分别为棱台的上、下底面积，为棱台的高。 棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离。 13 上底扩大 上底缩小 问题5 观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式，它们间有何关系？你能从棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？ 问题探究 14 例3 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体,下面部分是一个四棱锥,两部分的高都是0.5m，公共面ABCD是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米？（精确到0.01m3）（计算漏斗的容积时不考虑漏斗的厚度） 例题讲解 解：由题意知， 长方体体积 棱锥体积 所以这个漏斗的容积 15 例4 如图，一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱.若侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好过AC,BC,AC,BC的中点.那么当底面ABC水平放置时，水面高为多少？ 解：当三棱柱容器的侧面水平放置时，液体部分是四棱柱形，高为原三棱柱形容器的高，侧棱。设当底面ABC水平放置时，液面高为。 由题，四棱柱底面与原三棱柱底面面积比为3：4. 由两种状态下液体的体积相等，有,即=6。 因此当底面水平放置时，液面高为6。 放置前后液体的体积不变 例题讲解 16 问题6 回顾本节课的探究过程，回答以下问题： （1）棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？体现了什么思想方法？ （2）棱柱、棱锥、棱台的体积公式分别是什么？棱锥体积公式的探索过程中体现了什么思想方法？ （3）简要说明“祖暅原理”在棱柱、棱锥体积公式推导中的作用。 课堂小结 17 基础作业 作业1：教科书第116页的练习题1-4 作业2：教科书第120页习题8.3第1、2、6题 课后思考：你能尝试用“祖暅原理”得到圆柱和圆锥的体积公式吗？ 作业布置 18 Lavf59.16.100 $$