8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积 教学设计- 2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

教学设计 课程基本信息 学科 高中数学 年级 高一年级 学期 春季 课题 8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 教学目标 1.掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式，并利用公式解决简单的实际问题。 2.在推导公式的过程中感受转化、类比、一般化与特殊化等数学思想方法，提高逻辑推理、直观想象素养和空间想象等能力。 教学重难点 教学重点：棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积公式。 教学难点：棱柱、棱锥和棱台体积公式的发现和理解。 教学过程 环节一 问题探究，得到公式 问题1：根据棱锥、棱柱和棱台的结构特征思考，如何求它们的表面积？ 追问：棱长为a的正方体的表面积和其展开图有何关系？ 师生活动：学生回答：S=6a2，表面积即为展开图的面积。教师PPT展示常见的棱柱、棱锥和棱台，让学生直观感受几何体的展开图。 【设计意图】：从学生已有认知出发，分析正方体的结构特征和表面积的关系，让学生体会从特殊到一般的研究方法，后又给出常见棱柱、棱锥、棱台的展开图，让学生直观感受多面体表面积的求法，即将其转化为三角形、矩形、梯形等特殊平面图形的面积，渗透学生的转化思想，提高学生的直观想象素养。 例题1 如图，四面体P−ABC各棱长均为a，求它的表面积。 例题2 已知一个正四棱锥P−ABCD的侧棱长为5，底面的边长为6，求它的表面积。 【设计意图】：应用迁移，让学生体会到几何体的结构特征可以简化多面体表面积的运算。 问题2：体积是什么？如图，写出正方体和长方体的体积。 师生活动：学生回答正方体和长方体的体积，发现可以表示为,如果把底面积记为S，高记为，那么正方体和长方体的体积都可以来表示。 思考：所有的棱柱的体积都可以用V=Sℎ表示吗？ 师生活动：用PPT向学生展示祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。 播放视频并说明：取一摞纸放在桌子上，组成一个几何体，使它倾斜一个角度，这时几何体的形状发生了改变，得到了另一个几何体，但这两个几何体的高度没变，每页纸的面积也没有改变，因而两个几何体的体积相等。根据祖暅原理，得出所有棱柱的体积都可以用V=Sℎ表示。 【设计意图】：从学生熟悉的正方体和长方体入手，让学生猜想棱柱的体积公式，并通过祖暅原理的说明及直观演示让学生理解这一猜想的正确性。培养学生从特殊到一般的思想，并且渗透转化思想，提高学生的直观想象素养。通过数学文化，激发学生学习的兴趣。 问题3：如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.根据祖暅原理，你能以三棱柱为例，说明理由吗？ 师生活动：学生通过观察三棱柱分割后的三个三棱锥，发现棱锥，和棱锥的底面积相等，高（到平面的距离）相等，三棱锥和棱锥 的底面积相同，高相等。因此这三个棱锥的体积相等，每一个都为ℎ. 追问：三棱锥的体积适用于所有的棱锥吗？为什么？ 师生活动：学生思考后发现，由祖暅原理，三棱锥的体积适用于所有的棱锥公式。因此得到了棱锥的体积公式。 【设计意图】：在探究三个棱锥相等的过程中体会到三棱锥的特殊之处，即三棱锥的任意一个面都可以当作底面，由三棱锥的体积推广到所有棱锥的体积，体现了从特殊到一般的数学思想方法。 问题4：棱台是什么？据此你能根据棱锥的体积公式得到棱台的体积公式吗？ 师生活动：学生回答棱台的定义，并想到要求棱台的体积，只需要求出大棱锥和被切掉的小棱锥的体积，作差即可。推导过程暂时不学，看书获得棱台的公式 问题5 观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式，它们间有何关系？你能从棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？ 师生活动：学生讨论、交流，结合结构特征，得到如下的关系。 【设计意图】：让学生数形结合，从多角度认识各立体图形之间的联系与区别，渗透转化的数学思想。 环节二 例题练习，应用迁移 例3 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体,下面部分是一个四棱锥,两部分的高都是0.5m，公共面ABCD是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米？（精确到0.01m3）（计算漏斗的容积时不考虑漏斗的厚度） 例4 如图，一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱AA_1=8.若侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好过AC,BC,AC,BC的中点.那么当底面ABC水平放置时，水面高为多少？ 【设计意图】：应用棱柱、棱锥的体积公式解决简单的实际问题，学会求解简单组合体的体积，培养学生认识几何体的结构特征的能力. 环节三 小结提升，形成结构 问题6 回顾本节课的探究过程，回答以下问题： （1）棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？体现了什么思想方法？ （2）棱柱、棱锥、棱台的体积公式分别是什么？棱锥体积公式的探索过程中体现了什么思想方法？ （3）简要说明“祖暅原理”在棱柱、棱锥体积公式推导中的作用。 师生活动：学生思考并交流讨论，教师总结。 环节四 布置作业，巩固提升 1.基础作业 作业1：教科书第116页的练习题1-4 作业2：教科书第120页习题8.3第1、2、6题 2.课后思考：你能尝试用“祖暅原理”得到圆柱和圆锥的体积公式吗？ 学科网（北京）股份有限公司 $$