课第2讲 垂径定理 预习讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册

第2讲 垂径定理 目标导航 ①理解圆的对称性 ②掌握垂径定理及其推论 ③学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题 知识精讲 知识点1 垂径定理 1．垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 2．推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 【注意】 (1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即 (2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段 知识点2 垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 平分弦(该弦不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 （2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 （3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 （4） 圆的两条平行弦所夹的弧相等 【注意】 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径) 【题型1】利用垂径定理求线段长度 【例题1】如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为，水面宽为，则水的深度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示： 输水管的半径为，水面宽为，水的深度为， ， ，， ， ∴ 水的深度为：． 故选：C． 【例题2】如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝2，则CD的长为（　　） A．1 B．3 C．2 D．4 【解答】解：∵OD⊥AB，AB＝8， ∴AC＝BC＝4， 如图，连接BE， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE＝90°， ∵CE＝2， ∴BE6， 则AE10， ∴AO＝OD＝5， 在Rt△AOC中，OC3， 则CD＝OD﹣OC＝2， 故选：C． 【练习1】如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（　　） A．6 B． C．8 D． 【解答】解：作OE⊥AB交AB与点E，作OF⊥CD交CD于点F，如右图所示， 则AE＝BE，CF＝DF，∠OFP＝∠OEP＝90°， 又∵圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16， ∴∠FPE＝90°，OB＝10，BE＝8， ∴四边形OEPF是矩形，OE＝6， 同理可得，OF＝6， ∴EP＝6， ∴OP， 故选：B． 【练习2】如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上的一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于点A，B和点C，D，连结OA，此时有OA∥PE． （1）求证:AP = AO； （2）若弦AB = 24，求OP的长． 【答案】（1）见解析（2） 【详解】（1）证明：∵PG平分∠EPF ∴∠EPO=∠APO ∵OA∥PE ∴∠EPO=∠AOP ∴∠APO=∠AOP ∴AP=AO （2）过点O作OH⊥AB于点H，如图， 根据垂径定理得到AH=BH==12 ∴PH=PA+AH=AO+AH=13+12=25 在中， 由勾股定理得： 则OP的长为 故答案为： 【练习3】如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为 　 　． 【解答】①作OH⊥AB交AB于点H，连接OE 设AE=x，则BE=2x，AH=1.5x，EH=0.5x ∵CD是AO的垂直平分线 ∴OE=AE=x ∴∠EOH=30°，∠OEF=60° ∴∠DEO=∠AED=60° ∴DE=0.5x，△ECB是等边三角形 ∴EC=EB=2x ∴CD=2.5x=5 ∴x=2 ∴AO=2AD= ②如图，记DC与⊙O交于点F，连接AF、OF、OB，过点C作CT⊥AB于点T，连接OE，OT． ∵D为半径OA的中点，CD⊥OA， ∴FD垂直平分AO， ∴FA＝FO， 又∵OA＝OF， ∴△AOF是等边三角形， ∴∠OAF＝∠AOF＝∠AFO＝60°， ∵CE＝CB，CT⊥EB， ∴ET＝TB， ∵BE＝2AE， ∴AE＝ET＝BT， ∵AD＝OD， ∴DE∥OT， ∴∠AOT＝∠ADE＝90°， ∴OE＝AE＝ET， ∵OA＝OB， ∴∠OAE＝∠OBT， ∵AO＝BO，AE＝BT， ∴△AOE≌△BOT（SAS）， ∴OE＝OT， ∴OE＝OT＝ET， ∴∠ETO＝60°， ∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∠AED＝∠CEB＝60°， ∴△CEB是等边三角形， ∴CE＝CB＝BE， 设DE＝x， ∴AE＝2x，BE＝CE＝4x， ∴CD＝5x＝5， ∴x＝1， ∴AD， ∴AO＝2． 故答案为：2． 【练习4】如图，等腰梯形ABCD内接于半圆D，且AB＝1，BC＝2，则OA＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，作BE⊥AD于E， OF⊥CB于F，连接OB， 在等腰梯形ABCD中， ∵OF⊥CB， ∴BF＝BC＝1， ∴OE＝1， 设AE＝x， ∵OA、OB是⊙O的半径， ∴OB＝OA＝x+1， 由勾股定理可知，AB2﹣AE2＝OB2﹣OE2，即12﹣x2＝（x+1）2﹣12， 整理得2x2+2x﹣1＝0， 解得或（不合题意，舍去） ∴OA＝AE+OE＝+1＝． 故选：A． 【题型2】利用垂径定理求最值 【例题3】在⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（　　） A． B．1 C． D．2 【解答】解：连接OD， ∵CD⊥OC交⊙O于点D， ∴△OCD是直角三角形， 根据勾股定理得CD， ∵半径OD是定值， ∴当OC⊥AB时，线段OC最小，此时D与B重合，CD， ∵OC⊥AB， ∴AC＝BCAB， ∴CDBC． 故选：A． 【例题4】如图，的半径为，，经过点的的最短弦的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】解：如图，过点作弦，交于点、，连接；过点作弦，交于点、，过点作，连接， ∴，， ∴在中，， ∵在和中，， ，， ∴， ∴， ∴为过点的最短弦， ∵的半径为，， ∴在中， ， ∴， ∴经过点的的最短弦的长为． 故选：C． 【练习5】如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为 　 　． 【解答】解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， 在Rt△ABD中，BD25， ∵AH×BDAD×AB， ∴AH12， ∵⊙O的直径为16， ∴⊙O的半径为8， ∴点O在AH上时，OH最短， ∵HM， ∴此时HM有最大值，OH＝AH﹣OA＝4， 则最大值为4， ∵OH⊥MN， ∴MN＝2MH， ∴MN的最大值为2×48． 故答案为：8． 【题型3】垂径定理的运用 【例题5】如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于 点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过O点作EH⊥AB于H，EF⊥CD于F，连接ED，如图，则CF＝DF，AH＝BH ∵A（0，﹣2），B（0，4）， ∴AB＝6， ∴BH＝3， ∴OH＝1， 在Rt△BHE中，EH4， ∵四边形EHOF为矩形， ∴EF＝OH＝1，OF＝EH＝4， 在Rt△OEF中，FD2， ∴OD＝FD﹣OF＝24， ∴D（24，0）． 故选：B． 【练习6】如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y＝﹣2x+m图象过点P，则m＝　 　． 【解答】解：过P点作PE⊥ON交y轴于点E，连接PM， ∵点M（0，﹣4），N（0，﹣10）， ∴MN＝6， ∴ME＝NE＝3， ∴E（0，﹣7）， ∵PM＝5， ∴PE4， ∵点P在第三象限， ∴P（﹣4，﹣7），代入y＝﹣2x+m得，m＝﹣15，故答案为：﹣15． 【练习7】如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为 　 　分钟． 【解答】解：如图所示： 摩天轮转动的角速度为：360°÷18分＝20°/分， 由题意得：AD⊥BC，AD＝88米，AM＝100米，CM＝BN＝34米， 则OB＝OD＝44（米），DM＝AM﹣AD＝12（米）， ∴CD＝CM﹣DM＝34﹣12＝22（米）， ∴OC＝OD﹣CD＝22（米）， ∴OCOB， ∵∠OCB＝90°， ∴∠OBC＝30°， ∴∠BOC＝90°﹣30°＝60°， ∴∠AOB＝180°﹣∠BOC＝120°， ∴最佳观赏位置的圆心角为2×120°＝240°， ∴在运行的一圈里最佳观赏时长为：240°÷20°/分＝12（分钟）， 故答案为：12． 【题型4】垂径定理的分类讨论 【例题6】⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离为（　　） A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm 【解答】解：当圆心位于AB与CD之间时，连接OA，OC，如图1所示， 过O作EF⊥AB，由AB∥CD，得到EF⊥CD， ∴E、F分别为AB、CD的中点， ∴AE＝6cm，CF＝8cm， 在Rt△AOE中，OA＝10cm，AE＝6cm， 根据勾股定理得：OE＝8cm， 在Rt△COF中，OC＝10cm，CF＝8cm， 根据勾股定理得到OF＝6cm， 此时AB和CD的距离EF＝8+6＝14cm； 当圆心在AB与CD一侧时，连接OA，OC，如图2所示， 过O作EF⊥AB，由AB∥CD，得到EF⊥CD， 同理求出OE＝8cm，OF＝6cm， 此时AB和CD的距离EF＝8﹣6＝2cm， 综上，AB和CD的距离为2cm或14cm． 故选：C． 【练习8】如图，⊙O的弦AB与半径OC垂直，点D为垂足，OD＝DC，AB＝2，点E在⊙O上，∠EOA＝30°，则△EOC的面积为　 　． 【解答】解：依照题意画出图形，连接OA． 设⊙O的半径为x（x＞0），则OD＝DCx． ∵OC⊥AB于点D， ∴∠ADO＝90°，AD＝DBAB． 在Rt△ADO中，AO＝x，ODx，AD， ∴∠OAD＝30°，∠AOD＝60°，ADx， 解得：x＝2． 当点E在外时，∠COE＝∠AOD+∠EOA＝90°， ∴S△EOCEO•OC＝2； 当点E在上时，过点E作EF⊥OC于点F， ∵∠COE＝∠AOD﹣∠EOA＝30°， ∴EFOE＝1， ∴S△EOCOC•EF＝1． 综上可知：△EOC的面积为1或2． 故答案为：1或2． 课后作业 1.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，如果钢珠的直径为10mm，钢珠上项端离零件上表面的距离为8mm，如图，则这个零件小孔的宽口AB等于（    ）mm． A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D， 则AB=2AD， ∵钢珠的直径是10mm， ∴钢珠的半径是5mm． ∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm， ∴OD=3mm． 在Rt△AOD中，∵mm， ∴AB=2AD=2×4=8mm 故选D 2.已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】D 【详解】解：连接，过点作于点，如图所示， 则，， ∵PA＝4，PB＝6， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 故选：D 3.如图，AC是的直径，弦于E，连接BC，过点O作于F，若，，则OE的长为（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】A 【详解】解：连接OB、AB， 中 故选：A． 4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过O作OG⊥AB于G，连接OC、OM， ∵DE＝3，∠ACB＝90°，OD＝OE， ∴OCDE， 只有C、O、G三点在一条直线上OG最小， ∵OM， ∴只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值， 过C作CF⊥AB于F， ∴G和F重合时，MN有最大值， ∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴AB5， ∵AC•BCAB•CF， ∴CF， ∴OG＝CF﹣OC， ∴MG， ∴MN＝2MG， 故选：D． 5.如图，在⊙O中，弦AB⊥OC于E点，C在圆上，AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径AO＝___________． 【答案】5 【详解】解：设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，OE=OC-CE=r-2， ∵OC⊥AB，AB=8， ∴AE=BE=AB=4， 在Rt△OAE中，由勾股定理得：42+（r-2）2=r2， 解得：r=5， 即⊙O的半径长为5， 故答案为：5． 6.如图，M是⊙O内一点，已知过点M的⊙O最长的弦为20cm，最短的弦长为16cm，则OM=_______cm． 【答案】6 【详解】解：过点M的⊙O最长的弦就是直径， ∴BO=10cm， 最短的弦就是垂直于直径的弦，即BM=8cm． 所以利用勾股定理可得OM==6cm． 故答案为：6． 7.如图，在⊙O内有折线ABCO，点A、B在圆上，点C在⊙O内，其中AB=9，OC=3，∠B=∠C=60°，则BC的长为_____. 【答案】6 【详解】延长CO交AB于点D，过点O作OE⊥AB垂足为E， 因为∠B=∠C=60°， 所以∠BDC=60°， 所以△BDC是等边三角形， 所以BC=BD=CD，∠DOE=30°． 因为OE⊥AB，AB=9， 所以BE=AE=4.5． 设OD=x，OC=3 所以DE= ，BD=4.5+，CD=OC+DO=x+3， 所以4.5+=x+3， 解得x=3， 所以BC=CD=OC+OD=3+3=6， 故答案为：6． 8.如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB＝120°，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了 　 　步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：1.732，π取3.142） 【解答】解：作OC⊥AB于C，如图， 则AC＝BC， ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠B（180°﹣∠AOB）（180°﹣120°）＝30°， 在Rt△AOC中，OCOA＝10，ACOC＝10， ∴AB＝2AC＝2069（步）； 而的长84（步）， 的长与AB的长多15步． 所以这些市民其实仅仅少走了 15步． 故答案为15． 9.已知AB是半圆O的直径，OD⊥弦AC于D，过点O作交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC＝2， (1)求OF的长； (2)连接BE，若BE=，求半径OA的长． 【答案】(1)OF＝1 (2)半径为3 【详解】（1）解：∵OD⊥AC，AC＝2， ∴AD＝CD＝1， ∵OD⊥AC，EF⊥AB， ∴∠ADO＝∠OFE＝90°， ∵， ∴∠DOE＝∠ADO＝90°， ∴∠DAO+∠DOA＝90°，∠DOA+∠EOF＝90°， ∴∠DAO＝∠EOF， ∵在△ADO和△OFE中，， ∴△ADO≌△OFE（AAS）， ∴OF＝AD＝1． （2）解：设OA=OB=OE= x，则：BF=OB-OF=x-1， ∵EF⊥AB， ∴∠BFE＝∠OFE＝90°， ∴， ∴， 解得：，（舍去）∴半径OA=3． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2讲 垂径定理 目标导航 ①理解圆的对称性 ②掌握垂径定理及其推论 ③学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题 知识精讲 知识点1 垂径定理 1．垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 2．推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 【注意】 (1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即 (2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段 知识点2 垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 平分弦(该弦不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 （2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 （3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 （4） 圆的两条平行弦所夹的弧相等 【注意】 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径) 【题型1】利用垂径定理求线段长度 【例题1】如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为，水面宽为，则水的深度为（   ） A． B． C． D． 【例题2】如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝2，则CD的长为（　　） A．1 B．3 C．2 D．4 【练习1】如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（　　） A．6 B． C．8 D． 【练习2】如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上的一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于点A，B和点C，D，连结OA，此时有OA∥PE． （1）求证:AP = AO； （2）若弦AB = 24，求OP的长． 【练习3】如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为 　 　． 【练习4】如图，等腰梯形ABCD内接于半圆D，且AB＝1，BC＝2，则OA＝（　　） A． B． C． D． 【题型2】利用垂径定理求最值 【例题3】在⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（　　） A． B．1 C． D．2 【例题4】如图，的半径为，，经过点的的最短弦的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【练习5】如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为 　 　． 【题型3】垂径定理的运用 【例题5】如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于 点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【练习6】如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y＝﹣2x+m图象过点P，则m＝　 　． 【练习7】如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为 　 　分钟． 【题型4】垂径定理的分类讨论 【例题6】⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离为（　　） A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm 【练习8】如图，⊙O的弦AB与半径OC垂直，点D为垂足，OD＝DC，AB＝2，点E在⊙O上，∠EOA＝30°，则△EOC的面积为　 　． 课后作业 1.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，如果钢珠的直径为10mm，钢珠上项端离零件上表面的距离为8mm，如图，则这个零件小孔的宽口AB等于（    ）mm． A．4 B．6 C．7 D．8 2.已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（    ） A． B．4 C． D．5 3.如图，AC是的直径，弦于E，连接BC，过点O作于F，若，，则OE的长为（    ） A．3 B．4 C． D．5 4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（　　） A． B． C． D． 5.如图，在⊙O中，弦AB⊥OC于E点，C在圆上，AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径AO＝___________． 6.如图，M是⊙O内一点，已知过点M的⊙O最长的弦为20cm，最短的弦长为16cm，则OM=_______cm． 7.如图，在⊙O内有折线ABCO，点A、B在圆上，点C在⊙O内，其中AB=9，OC=3，∠B=∠C=60°，则BC的长为_____. 8.如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB＝120°，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了 　 　步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：1.732，π取3.142） 9.已知AB是半圆O的直径，OD⊥弦AC于D，过点O作交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC＝2， (1)求OF的长； (2)连接BE，若BE=，求半径OA的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$