11.1 幂的运算（第1课时）（题型专练）数学华东师大版2024八年级上册

11.1 幂的运算（第一课时） 题型一：利用同底数幂的乘法判断等式是否成立 1．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）下面计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，根据同底数幂的乘法，合并同类项法则逐一排除即可，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：，原选项计算错误，不符合题意； 、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 2．（24-25七年级下·河北唐山·期中）下列各式计算正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；      C. ，故该选项不正确，不符合题意；      D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）下列计算正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查合并同类项和同底数幂的乘法，根据相应法则逐项判断即可． 【详解】解：A、3与x不能合并，选项错误，不合题意； B、，选项错误，不合题意； C、，选项正确，符合题意； D、，选项错误，不合题意； 故选：C． 4．（24-25七年级下·北京房山·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂相乘、合并同类项，根据同底数幂相乘、合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故原计算正确，符合题意； B．，故原计算错误，不符合题意； C． ，故原计算错误，不符合题意； D． ，故原计算错误，不符合题意； 故选：A． 5．（2025·浙江湖州·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，掌握整式的混合运算法则是关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘法运算法则计算即可求解． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故原选项错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故原选项错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故原选项错误，不符合题意； 故选：C ． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列计算中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂乘法，熟知同底数幂乘法底数不变指数相加是解题的关键． 根据合并同类项，同底数幂乘法的计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、计算错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，计算错误，不符合题意； C、计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意； 故选D． 7．（2025七年级下·湖南·专题练习）下列各式中，计算过程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法，合并同类项，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误． D、，正确． 故选：D． 8．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与合并同类项，熟悉合并同类项法则是解题的关键． 根据合并同类项、同底数幂的运算法则逐一排除即可． 【详解】解：、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 题型二：同底数幂的简单运算（选填题） 1．（24-25八年级上·广东汕头·期末）计算的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，先化为同底数幂的乘法，然后根据同底数幂的乘法法则计算． 【详解】解：， 故选：B． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）计算（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．利用同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 3．（24-25八年级上·陕西延安·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘，掌握同底数幂相乘、底数不变、指数相加成为解题的关键． 直接运用同底数幂相乘的运算法则求解即可． 【详解】解：． 故选A． 4．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．先利用乘方变为同底数幂的乘法，再计算即可． 【详解】解： ， 故选：D． 5．（2025·安徽·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则解题即可． 【详解】解：， 故答案为：C． 6．（24-25七年级下·全国·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，掌握同底数相乘、底数不变、指数相加成为解题的关键． 直接运用同底数幂乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为． 7．（24-25七年级下·湖南永州·期中）计算 ．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法表示数的乘法运算，同底数幂的乘法，熟练掌握运算方法是解答本题的关键． 根据科学记数法的数的乘法，乘号前面的数相乘，乘号后面的数相乘计算即可得解． 【详解】解: 故答案为：． 8．（23-24七年级下·全国·单元测试） ， ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键．同底数的幂相乘，底数不变指数相加，据此计算即可． 【详解】解：， ． 故答案为：，． 题型三：利用同底数幂的乘法求参数的值 1．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）已知，则m的值为（    ） A．5 B．24 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘．将每个乘数表示为2的幂次，利用同底数幂相乘法则，指数相加即可求解． 【详解】解：将各数分解为2的幂次： 原式可化为： ∴， ∴． 故选：D． 2．（2025·重庆永川·模拟预测）若 则m的值为（    ） A．18 B．9 C．5 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查幂的运算，根据同底数幂相乘的法则，底数不变，指数相加求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）若，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用和同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 先逆用幂的乘方和同底数幂的乘法法则整理得出关于n的方程，再计算即可． 【详解】解：， ∴． 故答案为：9． 4．（2025·河北唐山·二模）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】该题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂乘法法则计算即可． 【详解】解：， ∴， 解得：， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，即可求解 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：6 6．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算，根据同底数幂的乘法运算可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：； 故答案为： 7．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法运算进行计算即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 8．（2025·河南安阳·模拟预测）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，利用同底数幂的乘法得出关于的方程是解答本题的关键． 根据同底数幂的乘法，可得关于的方程，解出的值即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 题型四：利用同底数幂的乘法求代数式的值 1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知，，则的值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：15． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法． 根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·江苏南京·期中）若，，则 ． 【答案】27 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算法则，代数式求值，掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法运算法则得到，，求出，，然后代数求解即可． 【详解】解：若， ， ， ， ． 故答案为：27． 4．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）若，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，利用同底数幂的乘法底数不变指数相加是解题关键． 根据同底数幂的乘法：同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：16． 5．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 题型五：同底数幂的乘法中混合运算 1．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘法则，逆用同底数幂相乘法则是解本题的关键． （1）逆用同底数幂相乘法则，把所求式子写成含有的形式，再把整体代入求值即可； （2）逆用同底数幂相乘法则，把所求式子写成含有的形式，再把整体代入求值即可； （3）逆用同底数幂相乘法则，把所求式子写成含有和的形式，再把，整体代入求值即可； （4）先利用同底数幂相乘法则，再逆用同底数幂相乘法法则，把所求式子写成含有和的形式，再把，整体代入求值即可． 【详解】（1）解：． （2） （3） （4） 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、二元一次方程组的解法．首先根据同底数幂相乘底数不变指数相加可得、，可以得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解方程组， 得：， 把代入得：， 解得：， 方程组的解为， ． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）已知，，求的值． （2）已知，求． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （2）根据同底数幂的乘法运算的逆用求解即可． 【详解】（1）因为，， ． （2）因为， 所以， 所以， 解得． 4．（24-25七年级下·浙江丽水·期末）已知，． (1)当时，求的值； (2)当时，且是整数，试说明的值是偶数． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）把与代入中，根据整式的加减运算法则进行化简，再根据求出值即可； （2）已知等式利用幂的乘方与积的乘方运算法则变形，再利用幂相等的条件得到与的关系式，根据与为整数，表示出值，即可作出判断． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， 把代入得， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴ ， ∴的值是偶数． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算计算，即可求解； （2）根据同底数幂乘法运算计算，即可求解． 【详解】解：（1）． （2）． 6．（24-25六年级上·全国·单元测试）已知方程的解与方程的解互为相反数，求： (1)m的值； (2)代数式的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先求出方程的解，再利用相反数的定义以及方程解的定义，即可求出未知数的值； （2）将（1）问中求出的m的值代入，逆用同底数幂相乘的法则求得代数式的值． 【详解】（1）解：解方程得，， 根据题意得，是方程的解， ∴， 解得； （2）解：将代入得： ． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）（1）已知，求n的值． （2）已知，其中a、b、c为正整数，求的值． 【答案】（1）1 （2）1024 【分析】（1）将变形为，将分别变形为，然后可计算，即可确定n的值； （2）将3996分解质因数，分别求出a、b、c的值，然后代入计算的值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴，，， ∴ ． 8．（2025七年级上·上海·专题练习）已知，求 【答案】 【分析】将已知的等式进行化简求出x与n的值，即可代入求得的值． 【详解】∵， ∴，解得， ∵， ∴， ∴，解得， ∴， 故答案为：． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知，求的值； （2）已知，试用含的式子表示． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法的逆用； （1）根据，再代入计算即可； （2）根据，再代入计算即可； 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵， ∴． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）已知，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘，熟练掌握同底数幂相乘的运算法则是解答本题的关键． （1）根据同底数幂相乘的运算法则化简即可解答； （2）根据同底数幂相乘的运算法则化简即可解答；． 【详解】解：（1）因为， 所以， 解得； （2）因为， 所以， 由，得， 所以， 所以， 所以． 11．（23-24七年级下·全国·课后作业）（1）已知，求m的值； （2）已知，，求的值． 【答案】； ． 【分析】本题考查了同底数幂的乘法． 根据同底数幂相乘底数不变指数相加可得，从而可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； 根据同底数幂相乘底数不变指数相加可得关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，代入计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：； 解：， ， ， 整理得：， ， ， ， 整理得：， 解方程组， 得， ． 题型六：同底数幂的乘法中计算题 1．（2024八年级上·全国·专题练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即计算即可； （2）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （3）将，变形，再根据同底数幂的乘法法则计算即可； （4）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （5）根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 2．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）计算：（结果写成幂的形式） 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，将原式变形为，把看作整体，根据同底数幂的乘法法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用同底数幂的乘法运算法则计算即可； （）利用同底数幂的乘法运算法则计算即可； 本题考查了同底数幂的乘法运算，掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的相关运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘底数不变指数相加计算即可． （2）根据同底数幂相乘底数不变指数相加计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加是解此题的关键． （1）根据同底数幂的乘法法则计算即可得解； （2）根据同底数幂的乘法法则计算即可得解； （3）根据同底数幂的乘法法则计算即可得解； （4）根据同底数幂的乘法法则计算即可得解； （5）根据同底数幂的乘法法则计算即可得解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式． 6．（24-25七年级下·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)（，且n是正整数）； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了同底数幂乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键．同底数的幂相乘，底数不变指数相加，即（m，n为正整数）． （1）至（6）根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了合并同类项法则和同底数幂的乘法，注意：①把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变；②． （1）先算乘方，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，最后合并同类项即可； （2）先算乘方，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)（为大于1的整数）； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，整式的加减计算，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法法则计算； （2）根据同底数幂的乘法法则计算； （3）根据同底数幂的乘法法则计算； （4）根据同底数幂的乘法法则计算，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（m、n是正整数）； (6)（n是正整数）． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加． （1）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （2）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （3）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （4）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （5）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （6）先计算同底数幂的乘法，再合并同类项． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式 ; （6）解：原式 ． 题型七：用科学记数法表示数的乘法 1．（24-25七年级下·广西来宾·期中）已知光的速度约为，太阳光射到地球上需要的时间约为，则地球与太阳间的距离约为多少千米？用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：； 故选D． 2．（2025·北京东城·二模）某遥感卫星每秒向地面站传回的数据量为比特．后续发射的升级型号卫星数据传输速率是原遥感卫星的25倍，达到比特，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C 3．（2025·河南焦作·三模）经过近60年的发展，我国已建成目前世界上技术手段最为完 备的国家授时系统，授时精度从开始的毫秒级（千分之一秒）到了如今的百皮秒级（百亿分之一秒），提高了7个数量级，处于世界领先水平．已知1秒毫秒，1毫秒皮秒，则10秒等于（    ） A．皮秒 B．皮秒 C．皮秒 D．皮秒 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂乘法的应用，科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．据此求解即可； 【详解】解：1秒毫秒，1毫秒皮秒， 秒皮秒， 秒皮秒， 故选：B． 4．（2025·北京海淀·一模）为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题主要查了同底数幂相乘．用乘以，即可求解． 【详解】解：元， 即今年的义务教育财政预算支出约为元． 故选：C 5．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 【答案】D 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，有理数的乘方运算，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：， 故选D． 6．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行．假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，两个过程共用了秒．已知电磁波的传播速度为米/秒，则该时刻飞机与雷达站的距离为 米．(结果用科学记数法表示) 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算，解题关键是明确同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 根据距离等于速度乘以时间计算即可． 【详解】解：（m）， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）光在真空中的传播速度约为．太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要年．一年以计算，比邻星与地球之间的距离大约是多少米？ 【答案】米 【分析】本题主要考查了与科学记数法有关的乘法计算，用光的传播速度乘以每一年的秒数，再乘以即可得到答案． 【详解】解： ． 答：比邻星与地球之间的距离大约是米． 8．（23-24八年级上·吉林长春·期末）世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达米，底边长米，用了约块大石块，每块重约千克，请问：胡夫金字塔总重约为多少千克？ 【答案】胡夫金字塔总重约为千克 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算，科学记数法的含义，根据同底数幂的乘法进行法则进行计算，将最后的结果写成科学记数法的形式即可得出答案． 【详解】解：由题意，得： （千克） 答：胡夫金字塔总重约为千克． 题型一：同底数幂的乘法表示等式 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键． 根据已知等式可得，则． 【详解】解：∵， ， ， ， 故选：B． 2．（2025·江苏南京·模拟预测）已知，，，则a，b，c之间满足的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂相乘，掌握同底数幂乘法法则是解题关键．根据指数运算法则，将30分解为已知的2的幂次相乘，进而比较指数得出关系式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选A． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，，，那么a、b、c之间满足的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则及性质是解题的关键． 根据可得，再根据同底数幂的乘法可得出结论． 【详解】解：，，， ， 即：， ， ， ， ， 故选：A． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，，，那么a、b、c之间满足的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据可得，再根据得到，最后根据同底数幂的乘法可得出结论．熟练掌握它们的运算法则及性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴； 故选：A． 5．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知，，，下列结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③ 【分析】本题考查了同底数幂乘法及其逆运算、对指数的大小比较，掌握这些知识点时解题的个关键. 利用同底数幂乘法及其逆运算对等式进行对比可得：①，②，③，可证结果. 【详解】解：（1）∵， ∴，即 ∴ ∴；①正确； （2）∵， ∴ ，即 ∵ ∴ ；②不正确； （3）∵ ∴ ，而，③正确； 故答案为：①③ . 6．（24-25八年级上·重庆忠县·期中）规定：若实数x，y，z满足，则记作．若记，，，则a，b，c三者之间的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法公式的应用，由得，再用同底数幂的乘法公式可求得三者之间满足的关系式． 【详解】解：由定义可知：， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）已知，，，，，之间的关系是 ， 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键．由题意得，，，再利用同底数幂的乘法，找出，，之间等量关系即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 题型二：同底数幂的乘法中整除问题 1．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）若为任意整数，则的值一定能（    ） A．被7整除 B．被8整除 C．被9整除 D．被10整除 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法，合并同类项，利用同底数幂的乘法运算，然后合并后找到能被整除的数或式即可得答案． 【详解】解：， 即能被7整除， 故选A． 2．（24-25八年级下·江西抚州·期中）证明：能被7整除． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，乘法分配律的逆运算，根据同底数幂乘法的逆运算法则可得，再根据乘法分配律的逆运算法则可得原式，据此可证明结论． 【详解】证明： ， ∵能被7整除， ∴能被7整除． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知（mn是正整数）能被19整除，试说明能被19整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，先逆用乘法分配律变形为，再逆用乘法分配律变形为，进而可说明结论成立． 【详解】解： ， 因为能被19整除， 所可以被19整除， 而可以被19整除， 所以可以被19整除 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）若能被整数整除，则能被整除吗？试说明理由． 【答案】能，理由见解析. 【分析】由能被整数m整除,得到等于整数,列出算式后判断即可. 【详解】解：∵能被整数整除，即等于整数， ∴ 也为整数， 则能被整除． 题型三：同底数幂的乘法中定义新运算 1．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如果，则，例如：，则， (1)根据上述规定，若= x ，则x= (2)记，求之间的数量关系 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，同底数幂的乘法运算，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义运算直接可得结果； （2）根据同底数幂的乘法运算结合新定义即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ． 故答案为： （2）解：∵，，， ∴ 即 ． 2．（24-25七年级下·福建漳州·期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道、可以求的值．如果知道、可以求的值吗？他们为此进行了研究． 规定：若，那么．例如，那么． (1)填空：_____； (2)若，，探索、满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)4 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法． （1）先判断2的多少次方是16，然后根据定义求出答案即可； （2）先根据已知条件中的规定，把，写成底数是2的幂，然后进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：4； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴，， ∴． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题： (1)①若，则_________； ②若，则_________； (2)若，求的值． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题主要考查了新定义运算，有理数的乘方运算，同底数幂乘法，数字的变化规律，熟练应用新运算的规定是解题的关键． （1）①利用新运算的规定进行运算即可；②利用新运算的规定进行运算即可； （2）将算式中的每个因式利用新运算的规定表示出幂的形式，再按照同底数幂的运算性质解答即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴． ②∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 当时，， 当时，， ∴． 4．（23-24七年级下·福建漳州·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么． 例如：∵，∴． (1)根据上述规定，填空： ________，________； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的理由： 设，则，即， ∴，即， ∴． 请你尝试运用这种方法判断是否成立，若成立，请说明理由． 【答案】(1)3， (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键． （1）分别计算左边与右边式子，即可做出判断； （2）设，，根据同底数幂的乘法法则即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴； ∵ ∴ 故答案为3，． （2）解：成立． 设，，则 ∴ ∴， ∴． 5．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如果，那么我们规定． 如：因为，所以． (1)【理解】根据上述规定，填空：___________，___________； (2)【说理】记．试说明：； (3)【应用】若，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，幂的乘方的运算法则，读懂题意理解新定义规定是解题的关键． （1）根据新定义规定即可解答； （2）根据同底数幂的运算法则、幂的乘方的运算法则及新定义规定即可解答； （3）根据同底数幂的运算法则、幂的乘方的运算法则及新定义规定即可解答； 【详解】（1）解：∵ ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 6．（24-25七年级下·广西贵港·期中）【阅读材料】对于整数定义运算：（其中m，n为常数），如． (1)若，则___________； (2)若， ，求的值． 【答案】(1)3 (2)1296 【分析】本题考查了加减消元法解方程，有理数的乘方的混合运算，新定义，同底数幂相乘的逆运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合新定义的运算法则，把代入进行运算，即可作答． （2）结合， ，列出方程组，解得，，再代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，且， ∴ ， 故答案为：3 （2）解：∵， ，， ∴， 整理得， ∴， 即， ∴， 把代入， ∴， ∴ ． 7．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）定义两个正数，之间的一种运算，记作，如果，那么，例如，所以． (1)根据上述规定，填空：_____ ，_____． (2)小亮通过探究发现：． 证明如下：设，则． 因为，所以． 又因为，，所以．所以． 所以． 请你类比这种方法证明等式成立． 【答案】(1)，； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了实数的运算，同底数幂乘法的逆用，解题关键是理解已知条件中的新运算． （）根据已知条件中的新运算进行计算即可； （）按照已知条件中的方法，先设，，然后根据新运算进行解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ， ∴， ∴． 8．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，，所以． (1)______； (2)若，探究之间的数量关系； (3)若，求的值． 【答案】(1)3 (2) (3)36 【分析】本题主要考查新定义运算，同底数幂的乘法运算，理解新定义，掌握同底数幂的乘法运算法则是关键． （1）根据材料提示方法求解即可； （2）根据题意得到，，，结合同底数幂的乘法运算即可求解； （3）设，则，，，根据同底数幂的乘法运算得到，即，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：3； （2）解：已知， ∴，，， ∵， ∴， ∴； （3）解：设， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）定义一种新运算“*”：，如：． (1)求的值； (2)，请根据上述运算，求x的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查新定义运算，同底数幂相乘，解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义的运算计算得，再由同底数幂相乘运算法则计算即可； （2）根据新定义的运算得，再由同底数幂相乘运算法则计算得，则可得方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：∵ ∴ ∴ 解得：． ∴x的值为． 题型四：同底数幂中找规律类问题 1．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）探究与应用 ●探究规律：计算下列各式 （1）；（2）；（3）都是正整数） 描述你发现的规律：__________________________________． ●提出猜想：根据你发现的规律，如果m，n都是正整数，那么_____________． ●验证规律： 请补充上述证明过程． ●应用规律：计算下列各式 （1）；     （2）；     （3） 【答案】探究规律：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；提出猜想：；验证规律：见详解；应用规律：（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法有关的规律问题，正确理解题意找到规律是解题的关键． 探究规律：根据乘方的意义计算每个小题即可得到规律； 提出猜想：根据得到的规律即可得到答案； 验证规律：根据乘方的意义计算即可得到答案； 应用规律：根据发现的规律进行计算即可． 【详解】解：探究规律： ； ； ，发现的规律是：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 故答案为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 提出猜想：根据发现的规律可得：； 故答案为：； 验证规律：； 应用规律：计算下列各式 （1）；     （2）；     （3）． 2．（24-25七年级上·四川雅安·阶段练习）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设 则 得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： (1)求多少；（请写出计算过程） (2)求的和．（请写出计算过程） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了等式的性质，同底数幂的乘法，解一元一次方程等知识点，理解题意，正确模仿小明的方法解决问题是解题的关键． （1）模仿小明的方法列出算式，进而得出一元一次方程，解之，即可得出答案； （2）模仿小明的方法列出算式，进而得出一元一次方程，解之，即可得出答案． 【详解】（1）解：设， 则， 得，， 解得：， ； （2）解：设， 则， 得，， 解得：， ． 3．（23-24七年级下·江苏连云港·阶段练习）为了求的值，可令，然后两边同乘2变成，再让两式相减，因此有，所以，即． 仿照上面的计算过程计算下列式子： (1)计算的值； (2)计算的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题是数字类的规律题，也是同底数幂的乘法，根据扩大倍数，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键． （1）设，求出，用，求出的值，进而求出S的值； （2）设，则的值，同理可得结果． 【详解】（1）解：设， 则， ， ， ， 即； （2）解：设， 则， ， ， ， 则． 4．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列各式： ， ， ， …… (1)仔细观察： ______； (2)探究规律： 根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)实践应用： 计算：； (4)深度思考： 计算：． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了整式的规律探究，同底数幂的乘法．理解题意，推导一般性规律解题的关键． （1）由题意知，； （2）由题意知，第个等式为，然后利用同底数幂的乘法的逆运算求解证明即可； （3）由题意知，，则； （4）令，则，根据，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：由题意知，第个等式为， 由题意知，； ∴第个等式成立； （3）解：由题意知，， ∴， ∴； （4）解：令， 则， ∴， 解得，， ∴． 5．（23-24七年级上·河南周口·期中）在学习第一章有理数时，类比小学两个正数的运算法则学习了有理数的加减法、有理数的乘除法，在第二章整式的加减时，类比第一章有理数的学习过程学习了整式的加减，那么整式的乘法是否可以类比有理数的乘法进行学习呢?我们从特殊情况入手对两个同底数幂相乘进行探究． （1）探究 根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律? ①， ②， ③， （2）规律 （都是正整数）． 即______．（文字表达） （3）应用 ①计算； ②把看成一个整体，计算． 【答案】（1）①8；②6；③（2）同底数幂相乘，底数不变，指数相加（3）①；② 【分析】本题考查了同底数幂的乘法公式的推导和应用.掌握同底数幂的乘法公式的计算公式是关键； （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可； （2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可； （3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可； 【详解】（1）①， ②， ③， 故答案为： （2）， 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 故答案为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； （3）①； ② 6．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）观察下面三行数： ①，…； ②，…； ③，…． (1)试用乘方的形式表示第①行数中的第100个数； (2)第②、③行数与第①行数分别有什么关系？ (3)取每行的第10个数，分别记为①10，②10，③10，计算的值． 【答案】(1) (2)减2，除以3 (3)，，，（或或19685） 【分析】（1）本题主要考查了数字规律，根据已有数据观察可得“序数为奇数符号为负，序数为偶数符号为偶数，其绝对值是3的序数次幂”，据此即可解答；观察得到数字规律是解题的关键； （2）本题主要考查了数字规律，根据已有数据观察可得“第②行每一个数比第①行对应数字小2，第③行每一个数是第①行对应数字的倍”据此即可解答； （3）本题主要考查了数字规律的应用，先根据以上所得规律写出每行第10个数，然后相加即可；根据规律确定各行的第十个数是解题的关键． 【详解】（1）解：第①行数可写作 所以第100个数为． （2）解：第②行数是第①行相应的数减2； 第③行数是第①行相应的数除以3． （3）解：第①行第10个数是， 第②行第10个数是， 第③行第10个数是， 所以 ． 7．（23-24七年级上·甘肃天水·期中）阅读下面的材料，并回答后面的问题． 材料：由乘方的意义，我们可以得到， ． 于是，我们可以得到同底数幂的乘法的运算规律：（，都是正整数），问题： (1)计算： ①； ②． (2)将写成底数是2的幂的形式． (3)若，求的值． 【答案】(1)①；② (2) (3)2016 【分析】（1）①根据同底数幂的乘法法则计算；②根据同底数幂的乘法法则计算； （2）根据乘方法则、同底数幂的乘法法则计算； （3）根据同底数幂的乘法法则列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解：①； ②； （2）； （3）， 由题意得，， 解得，． 8．（2023·安徽安庆·一模）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： 第4个等式：， …… 请根据以上规律，解决下列问题 (1)试写出第6个等式：___________； (2)请证明第4个等式． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）仿照给出的等式写出第6个等式即可； （2）设，则，，得出，求出，即可证明结论． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： 第4个等式：， 第5个等式：， 第6个等式：； 故答案为：； （2）证明：设， ∴， 即， ∴， ∴，即． 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下面计算中①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法，合并同类项，解题的关键是熟练掌握运算法则． 依据同底数幂相乘法则和合并同类项的方法，逐一判断各式的正确性即可． 【详解】解：∵，，，，与无法合并，， ∴只有符合题意， 故选：． 2．（24-25七年级上·四川眉山·期中）（1）观察下列解题过程： 计算：的值． 解：设，（1） 则（2） （2）（1），得，． 那么关于实数的方程的解是（   ） A． B．或 C．或 D．或或 【答案】C 【分析】本题主要考乘方的应用以及分类讨论求解方程，读懂题中的解题过程，通过对不同取值分类分析，判断方程是否成立，分类讨论是解题关键．本题可利用乘方的意义，根据题中解题过程先求解出方程的解，然后分情况讨论的值，判断方程是否成立 ． 【详解】解：设 ①， 则 ②， ② ①得：，即 ． ∵， ∴，化简得，即 ． 解得或； 当时： 将代入方程左边，得，因为除外其余项都是，所以左边，与右边相等，是解． 当时： 将代入方程左边，得，这里是个相加，结果为， ∴不是方程的解． 当时： 将代入方程左边，得 ． 观察规律：的奇数次幂为，偶数次幂为，方程左边共2027项，可两两分组为1和，共1031组，还剩最后一项 ， ∴左边，与右边相等， ∴是方程的解． 综上，方程的解为或， 故选：C ． 3．（24-25七年级下·山东聊城·期中）水由水分子组成，水中约有个水分子，则水中有（   ）个水分子． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数乘方的应用，根据“水中约有个水分子，”，则水中含有的水分子的个数为，再利用有理数的乘方和同底数幂的乘方进行运算即可．掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵水中约有个水分子，， ∴， ∴水中有个水分子． 故选：B． 4．（24-25七年级下·江苏常州·期末）已知，其中，，，是正整数，则下列说法中正确的是（    ） A．是偶数 B．是偶数 C．是偶数 D．是奇数，是偶数 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂乘法．熟练掌握同底数幂乘法的法则，奇数偶数性质，是解题的关键． 将等式右边统一为3的幂，结合完全平方数的性质确定指数为偶数，进而分析各选项的奇偶性，即得． 【详解】∵，且左边为完全平方数， ∴必为偶数． ∵，且为偶数， ∴也需为偶数． 若为偶数，为偶数，则需为偶数； 若为奇数，为奇数，则需为奇数． ∴与奇偶性相同， ∴必为偶数． A：如为奇数时，可能为奇数，错误； B：是偶数，正确； C：的奇偶性由决定，不一定为偶数； D：的奇偶性不确定，错误． 故选：B． 5．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球9个、54个、45个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（    ）． A．9 B．81 C．243 D．729 【答案】C 【分析】本题考查了幂的混合运算，找准数量关系，合理利用整体思想是解答本题的关键． 先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案． 【详解】解：调整后，甲袋中有个球，乙袋中有个球，丙袋中有个球． ∵一共有（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同， ∴调整后每只袋中有（个）球， ，， ， ， 故选：C． 6．（24-25七年级下·山东聊城·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：；比如若，则，若，那么的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，新定义下的实数运算，根据，通过对所求式子变形，然后根据同底数幂的乘法计算即可解答本题． 【详解】解：∵，， 故． 故选： C． 7．（2025·江西南昌·模拟预测）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数乘法计算，根据题意可得． 【详解】解：， 故选：D． 8．（24-25七年级下·江苏·期中）规定，若，则x的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，新定义，根据新定义可得，则，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 9．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）已知，，求 ． 【答案】60 【分析】本题考查代数式求值，涉及同底数幂的乘法运算的逆用，根据题意，将，代值求解即可得到答案．熟记同底数幂的乘法运算的逆运算是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， 故答案为：60． 10．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）计算： ． 【答案】// 【分析】本题考查了幂的运算，逆用同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．（23-24七年级下·广东深圳·期中）已知，，，现给出3个数，，之间的三个关系式： ①； ②； ③． 其中正确的关系式是 （填序号）． 【答案】①③ 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：，， ，， ，，， 故其中正确的关系式是①③， 故答案为：①③． 12．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，，为正整数），类似的，我们规定关于任意正整数，的一种新运算：，请根据这种新运算填空： （1）若，则 ； （2）若，那么 ．（用含和的代数式表示，其中为正整数）． 【答案】 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，关键是正确理解新定义，将把新运算化成常规运算． （1）将变形为，再根据定义新运算进行求解便可； （2）根据，及定义新运算将原式变形为，再根据同底数幂乘法法则计算求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵，， ∴． 故答案为：（1）（2）． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)（为正整数）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键 （1）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解； （2）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解； （3）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解； （4）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 14．（24-25八年级上·四川乐山·阶段练习）求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、等式的性质，令，则，由得，即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：令， ∴， 由得：， ∴，即． 15．（24-25七年级下·湖南郴州·阶段练习）若，求的值． 【答案】1024 【分析】本题主要考查的是同底数幂乘法，首先利用同底数幂的乘法法则进行计算，然后计算指数部分，最后将代入进行计算即可，将整体代入是解题的关键． 【详解】解：， ， 原式． 16．（23-24七年级下·江苏连云港·阶段练习）对于任何实数，我们规定符号的意义是：，按照这个规定请你计算：当时，的值． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的运算，实数的运算，理解规定符号的意义是解题的关键．根据，得到，再结合求解，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， 上式． 17．（23-24七年级下·河北沧州·期中）数学课外小组的同学发现，很多计算法则逆用时会有神奇的效果．如同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似的，我们规定关于任意正整数、的一种新运算：（其中、为正整数）． 例如：，则； ． 请根据这种新运等解决以下问题： (1)若，则________________； (2)在（1）成立的前提下，当，求的值； (3)若，化简：． 【答案】(1)125 (2) (3) 【分析】（1）①根据新的运算，再将相应的值代入运算即可； （2）根据新的运算，再将相应的值代入运算即可； （3）结合新的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 本题主要考查同底数幂的乘法，数字的变化规律，解答的关键是理解清楚所给的新的运算． 【详解】（1）解：① ∴ ； 故答案为：125； （2） ， ， ， ， ； （3）， ， ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.1 幂的运算（第一课时） 题型一：利用同底数幂的乘法判断等式是否成立 1．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）下面计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北唐山·期中）下列各式计算正确的是(　　) A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）下列计算正确的是(    ) A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·北京房山·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江湖州·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列计算中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 7．（2025七年级下·湖南·专题练习）下列各式中，计算过程正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二：同底数幂的简单运算（选填题） 1．（24-25八年级上·广东汕头·期末）计算的结果是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）计算（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·陕西延安·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·全国·期中）计算： ． 7．（24-25七年级下·湖南永州·期中）计算 ．（结果用科学记数法表示） 8．（23-24七年级下·全国·单元测试） ， ． 题型三：利用同底数幂的乘法求参数的值 1．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）已知，则m的值为（    ） A．5 B．24 C．9 D．10 2．（2025·重庆永川·模拟预测）若 则m的值为（    ） A．18 B．9 C．5 D．3 3．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）若，则 ． 4．（2025·河北唐山·二模）若，则的值为 ． 5．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）若，则的值为 ． 6．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如果，那么 ． 7．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）若，则的值为 ． 8．（2025·河南安阳·模拟预测）已知，则 ． 题型四：利用同底数幂的乘法求代数式的值 1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知，，则的值为 ． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知，则的值为 ． 3．（24-25七年级下·江苏南京·期中）若，，则 ． 4．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）若，则 ． 5．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，则 ． 题型五：同底数幂的乘法中混合运算 1．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知，，求的值． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）已知，，求的值． （2）已知，求． 4．（24-25七年级下·浙江丽水·期末）已知，． (1)当时，求的值； (2)当时，且是整数，试说明的值是偶数． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 6．（24-25六年级上·全国·单元测试）已知方程的解与方程的解互为相反数，求： (1)m的值； (2)代数式的值． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）（1）已知，求n的值． （2）已知，其中a、b、c为正整数，求的值． 8．（2025七年级上·上海·专题练习）已知，求 9．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知，求的值； （2）已知，试用含的式子表示． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）已知，求的值； （2）若，求的值． 11．（23-24七年级下·全国·课后作业）（1）已知，求m的值； （2）已知，，求的值． 题型六：同底数幂的乘法中计算题 1．（2024八年级上·全国·专题练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) 2．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）计算：（结果写成幂的形式） 3．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 6．（24-25七年级下·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)（，且n是正整数）； (5)； (6)． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)（为大于1的整数）； (3)； (4)． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（m、n是正整数）； (6)（n是正整数）． 题型七：用科学记数法表示数的乘法 1．（24-25七年级下·广西来宾·期中）已知光的速度约为，太阳光射到地球上需要的时间约为，则地球与太阳间的距离约为多少千米？用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京东城·二模）某遥感卫星每秒向地面站传回的数据量为比特．后续发射的升级型号卫星数据传输速率是原遥感卫星的25倍，达到比特，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河南焦作·三模）经过近60年的发展，我国已建成目前世界上技术手段最为完 备的国家授时系统，授时精度从开始的毫秒级（千分之一秒）到了如今的百皮秒级（百亿分之一秒），提高了7个数量级，处于世界领先水平．已知1秒毫秒，1毫秒皮秒，则10秒等于（    ） A．皮秒 B．皮秒 C．皮秒 D．皮秒 4．（2025·北京海淀·一模）为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 5．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 6．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行．假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，两个过程共用了秒．已知电磁波的传播速度为米/秒，则该时刻飞机与雷达站的距离为 米．(结果用科学记数法表示) 7．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）光在真空中的传播速度约为．太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要年．一年以计算，比邻星与地球之间的距离大约是多少米？ 8．（23-24八年级上·吉林长春·期末）世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达米，底边长米，用了约块大石块，每块重约千克，请问：胡夫金字塔总重约为多少千克？ 题型一：同底数幂的乘法表示等式 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·江苏南京·模拟预测）已知，，，则a，b，c之间满足的等式是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，，，那么a、b、c之间满足的关系是（　　） A． B． C． D． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，，，那么a、b、c之间满足的关系是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知，，，下列结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号是 . 6．（24-25八年级上·重庆忠县·期中）规定：若实数x，y，z满足，则记作．若记，，，则a，b，c三者之间的关系式是 ． 7．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）已知，，，，，之间的关系是 ， 题型二：同底数幂的乘法中整除问题 1．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）若为任意整数，则的值一定能（    ） A．被7整除 B．被8整除 C．被9整除 D．被10整除 2．（24-25八年级下·江西抚州·期中）证明：能被7整除． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知（mn是正整数）能被19整除，试说明能被19整除． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）若能被整数整除，则能被整除吗？试说明理由． 题型三：同底数幂的乘法中定义新运算 1．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如果，则，例如：，则， (1)根据上述规定，若= x ，则x= (2)记，求之间的数量关系 2．（24-25七年级下·福建漳州·期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道、可以求的值．如果知道、可以求的值吗？他们为此进行了研究． 规定：若，那么．例如，那么． (1)填空：_____； (2)若，，探索、满足的数量关系，并说明理由． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题： (1)①若，则_________； ②若，则_________； (2)若，求的值． 4．（23-24七年级下·福建漳州·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么． 例如：∵，∴． (1)根据上述规定，填空： ________，________； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的理由： 设，则，即， ∴，即， ∴． 请你尝试运用这种方法判断是否成立，若成立，请说明理由． 5．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如果，那么我们规定． 如：因为，所以． (1)【理解】根据上述规定，填空：___________，___________； (2)【说理】记．试说明：； (3)【应用】若，直接写出的值． 6．（24-25七年级下·广西贵港·期中）【阅读材料】对于整数定义运算：（其中m，n为常数），如． (1)若，则___________； (2)若， ，求的值． 7．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）定义两个正数，之间的一种运算，记作，如果，那么，例如，所以． (1)根据上述规定，填空：_____ ，_____． (2)小亮通过探究发现：． 证明如下：设，则． 因为，所以． 又因为，，所以．所以． 所以． 请你类比这种方法证明等式成立． 8．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，，所以． (1)______； (2)若，探究之间的数量关系； (3)若，求的值． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）定义一种新运算“*”：，如：． (1)求的值； (2)，请根据上述运算，求x的值． 题型四：同底数幂中找规律类问题 1．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）探究与应用 ●探究规律：计算下列各式 （1）；（2）；（3）都是正整数） 描述你发现的规律：__________________________________． ●提出猜想：根据你发现的规律，如果m，n都是正整数，那么_____________． ●验证规律： 请补充上述证明过程． ●应用规律：计算下列各式 （1）；     （2）；     （3） 2．（24-25七年级上·四川雅安·阶段练习）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设 则 得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： (1)求多少；（请写出计算过程） (2)求的和．（请写出计算过程） 3．（23-24七年级下·江苏连云港·阶段练习）为了求的值，可令，然后两边同乘2变成，再让两式相减，因此有，所以，即． 仿照上面的计算过程计算下列式子： (1)计算的值； (2)计算的值 4．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列各式： ， ， ， …… (1)仔细观察： ______； (2)探究规律： 根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)实践应用： 计算：； (4)深度思考： 计算：． 5．（23-24七年级上·河南周口·期中）在学习第一章有理数时，类比小学两个正数的运算法则学习了有理数的加减法、有理数的乘除法，在第二章整式的加减时，类比第一章有理数的学习过程学习了整式的加减，那么整式的乘法是否可以类比有理数的乘法进行学习呢?我们从特殊情况入手对两个同底数幂相乘进行探究． （1）探究 根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律? ①， ②， ③， （2）规律 （都是正整数）． 即______．（文字表达） （3）应用 ①计算； ②把看成一个整体，计算． 6．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）观察下面三行数： ①，…； ②，…； ③，…． (1)试用乘方的形式表示第①行数中的第100个数； (2)第②、③行数与第①行数分别有什么关系？ (3)取每行的第10个数，分别记为①10，②10，③10，计算的值． 7．（23-24七年级上·甘肃天水·期中）阅读下面的材料，并回答后面的问题． 材料：由乘方的意义，我们可以得到， ． 于是，我们可以得到同底数幂的乘法的运算规律：（，都是正整数），问题： (1)计算： ①； ②． (2)将写成底数是2的幂的形式． (3)若，求的值． 8．（2023·安徽安庆·一模）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： 第4个等式：， …… 请根据以上规律，解决下列问题 (1)试写出第6个等式：___________； (2)请证明第4个等式． 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下面计算中①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·四川眉山·期中）（1）观察下列解题过程： 计算：的值． 解：设，（1） 则（2） （2）（1），得，． 那么关于实数的方程的解是（   ） A． B．或 C．或 D．或或 3．（24-25七年级下·山东聊城·期中）水由水分子组成，水中约有个水分子，则水中有（   ）个水分子． A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏常州·期末）已知，其中，，，是正整数，则下列说法中正确的是（    ） A．是偶数 B．是偶数 C．是偶数 D．是奇数，是偶数 5．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球9个、54个、45个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（    ）． A．9 B．81 C．243 D．729 6．（24-25七年级下·山东聊城·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：；比如若，则，若，那么的结果是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·江西南昌·模拟预测）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·江苏·期中）规定，若，则x的值是 ． 9．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）已知，，求 ． 10．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）计算： ． 11．（23-24七年级下·广东深圳·期中）已知，，，现给出3个数，，之间的三个关系式： ①； ②； ③． 其中正确的关系式是 （填序号）． 12．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，，为正整数），类似的，我们规定关于任意正整数，的一种新运算：，请根据这种新运算填空： （1）若，则 ； （2）若，那么 ．（用含和的代数式表示，其中为正整数）． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)（为正整数）． 14．（24-25八年级上·四川乐山·阶段练习）求的值． 15．（24-25七年级下·湖南郴州·阶段练习）若，求的值． 16．（23-24七年级下·江苏连云港·阶段练习）对于任何实数，我们规定符号的意义是：，按照这个规定请你计算：当时，的值． 17．（23-24七年级下·河北沧州·期中）数学课外小组的同学发现，很多计算法则逆用时会有神奇的效果．如同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似的，我们规定关于任意正整数、的一种新运算：（其中、为正整数）． 例如：，则； ． 请根据这种新运等解决以下问题： (1)若，则________________； (2)在（1）成立的前提下，当，求的值； (3)若，化简：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$