3.6-3.8圆内接四边形、正多边形，弧长、扇形面积讲义2025-2026学年浙教版数学九年级上册

3.6-3.8圆内接四边形、正多边形，弧长扇形面积 【考点归类】 考点一、圆内接四边形概念及性质 考点二、正多边形及其相关计算 考点三、弧长计算 考点四、扇形面积 考点一、圆内接四边形概念及性质 【知识梳理】 如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 注意：一个圆有无数个圆内接四边形，四边形不一定都有外接圆。 圆内接四边形对角互补。 【例题精讲】 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC=65°，分别连接AC，BD，若AC=AD，则∠DBC的度数为（　　） A．50° B．55° C．65° D．70° 2．如果四边形ABCD内接于⊙O，且∠A：∠B：∠C=1：2：3，则∠D=　　． 【巩固练习】　 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是AC上一点，且AB=AD=AE，∠DAC=50°，则∠CBE=　　度． 2．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60° （1）判断△ABC的形状，并证明你的结论； （2）若BC的长为6，求⊙O的半径． 考点二、正多边形及其相关计算 【知识梳理】 1、各边相等，各内角也相等的多边形叫正多边形。 2、经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形也叫做圆内接四边形 正多边形的有关计算 1、边心距：正多边形的每条边到其外接圆的圆心的距离 2、n边形内角和公式：（n≥3且n为正整数） 3、正n边形各个内角度数： 【例题精讲】 1．如图，△ABC和△DEF分别是⊙O的外切正三角形和内接正三角形，则它们的面积比为（　　） A．4 B．2 C． D． 2．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为　　． 【巩固练习】　　 1．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AC，AE，则的值是（　　） A．1 B． C．2 D． 考点三、弧长计算 【知识梳理】 1、扇形定义：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形。 在同一个圆中，扇形的弧长和面积与扇形的圆心角的度数大小有关，圆心角越大，弧越长，面积越大。 2、 弧长公式：（推导？） （在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l） 【例题精讲】 1．已知一个圆心角为270°扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，若半圆的半径为3m，则圆心O所经过的路线长是　　m．（结果保留π） 2．如图，已知点A为⊙O内一点，点B、C均在圆上，∠C=30°，∠A=∠B=45°，线段OA=﹣1，则阴影部分的周长为（　　） A． +2 B．+2 C．+ D．+ 【巩固练习】　 1．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，则A点运动的路径的长为（　　） A．π B．2π C．4π D．8π 考点四、扇形面积 【知识梳理】 1、扇形面积公式：（推导？） （在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形面积S） 【例题精讲】 1．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E．B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为，则图中阴影部分的面积为 　． 　 【巩固练习】　 1．如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C′，已知AC=6，BC=4，则线段AB扫过图形（阴影部分）的面积为　　．（结果保留π） 2．如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和是　　． 【课堂检测】 A组-基础训练 1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=135°，则∠AOC的度数为　　． 2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC∥AD，∠DAB=60°，∠ADC=106°，则∠OCB=　　°． 3．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，则∠CBD=　　度． 4．（1）正三角形的边长是边心距的　　倍．（2）正九边形的中心角是　　度，每个内角为　　度． 5．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为120°时，重物上升　　cm（结果保留π）． 6．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为　　． 7．如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是　　平方米． 8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠CAE． 求证：DB=DC． 9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，求证：AB=CD． 10．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC． （1）求证：AE=ED； （2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长． B组--巩固训练 1．如图所示，已知四边形ABCD是圆内接四边形，∠1=120°，则∠CDE=　　度． 2．周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6间的大小关系是（　　） A．S3＞S4＞S6 B．S6＞S4＞S3 C．S6＞S3＞S4 D．S4＞S6＞S3 3．一个长为4cm，宽为3cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板点A位置的变化为A→Al→A2，其中第二次翻滚被面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°的角，则点A滚到A2位置时共走过的路径长为（　　） A． B． C． D． 4．如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM=　　． 5．如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8．则图中阴影部分的面积为　　． 6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=130°，求∠OAC的度数． 7．如图所示，AB是⊙O的直径，∠B=30°，弦BC=6，∠ACB的平分线交⊙O于D，连AD． （1）求直径AB的长． （2）求阴影部分的面积（结果保留π）． C组--提升训练 1．如图，将半径为1、圆心角为60°的扇形纸片AOB，在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形A'O'B'处，则顶点O经过的路线总长为　　． 2．如图，点A1，B1，C1，D1，E1，F1分别是正六边形ABCDEF六条边的中点，连接AB1，BC1，CD1，DE1，EF1，FA1后得到六边形GHIJKL，则S六边形GHIJKI：S六边形ABCDEF的值为　　． 3．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为　　． 4．如图，AB为半圆O的直径，以AO为直径作半圆M，C为OB的中点，D在半圆M上，且CD⊥MD，延长AD交⊙O于点E，若AB=4，则图中阴影部分的面积为　　． 5．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F． （1）当∠E=∠F时，则∠ADC=　　°； （2）当∠A=55°，∠E=30°时，求∠F的度数； （3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小． 6．如图，半圆O的直径AB=6，弦CD的长为3，点C，D在半圆上运动，D点在上且不与A点重合，但C点可与B点重合． （1）若的长=π时，求的长； （2）取CD的中点M，在CD运动的过程中，求点M到AB的距离的最小值． 【课后巩固】 1．如图，已知⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E+∠F=70°，则∠A的度数是　　 2．如图，正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上．若AB=4，则CN=　　． 3．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接CA、CB，过点O作弦的垂线，交B»C于点D，连接AD． （1）求证：∠CAD=∠BAD； （2）若⊙O的半径为1，∠B=50°，求的长． 4．如图，在扇形AOB中，∠AOB=150°，以点A为圆心，OA的长为半径作交B 于点C，若OA=2，则图中阴影部分的面积为　　． 5．将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A、B、C′在同一直线上，若∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，则图中阴影部分面积为　　cm2． 6．如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于　　． 7．把一张半径为6cm圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的长度为　　cm． 8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，=，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E． （1）求证：CD平分∠ACE； 9．文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题．已知正方形的边长是2，就能求出图中阴影部分的面积． 证明：S矩形ABCD=S1+S2+S3=2，S4=　　，S5=　　，S6=　　+　　，S阴影=S1+S6=S1+S2+S3=　　． 10．如图，点C，D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD，AC，作DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F． （1）求证：AF=DF． （2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.6-3.8圆内接四边形、正多边形，弧长扇形面积 【考点归类】 考点一、圆内接四边形概念及性质 考点二、正多边形及其相关计算 考点三、弧长计算 考点四、扇形面积 考点一、圆内接四边形概念及性质 【知识梳理】 如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 注意：一个圆有无数个圆内接四边形，四边形不一定都有外接圆。 圆内接四边形对角互补。 【例题精讲】 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC=65°，分别连接AC，BD，若 AC=AD，则∠DBC的度数为（　　） A．50° B．55° C．65° D．70° 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC=∠EBC=65°． ∵AC=AD， ∴∠ACD=∠ADC=65°， ∴∠CAD=180°﹣∠ACD﹣∠ADC=50°， ∴∠DBC=∠CAD=50°， 故选：A． 2．如果四边形ABCD内接于⊙O，且∠A：∠B：∠C=1：2：3，则∠D=　　． 【解答】解：设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x， ∵四边形ABCD为圆内接四边形， ∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°， 即x+3x=180， ∴x=45°， ∴∠A=45°，∠B=90°，∠C=135°， ∴∠D=90°． 故答案为90°． 【巩固练习】 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是AC上一点，且AB=AD=AE，∠DAC=50°，则∠CBE=　　度． 【解答】解：∵AB=AE， ∴∠ABE=∠AEB， ∵∠ABE=∠ABD+∠EBD，∠AEB=∠ACB+∠EBC，∠ACB=∠ADB， ∴∠DBE=∠CBE=∠DAC=25°， 故答案为：25°． 2．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60° （1）判断△ABC的形状，并证明你的结论； （2）若BC的长为6，求⊙O的半径． 【解答】解：（1）△ABC是等边三角形， 理由如下：由圆周角定理得，∠ABC=∠APC=60°，∠CAB=∠CPB=60°， ∴△ABC是等边三角形； （2）延长BO交⊙O于E，连接CE， 由圆周角定理得，∠E=∠BAC=60°， ∴BE==4， ∴⊙O的半径为2． 考点二、正多边形及其相关计算 【知识梳理】 1、各边相等，各内角也相等的多边形叫正多边形。 2、经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形也叫做圆内接四边形 正多边形的有关计算 1、边心距：正多边形的每条边到其外接圆的圆心的距离 2、n边形内角和公式：（n≥3且n为正整数） 3、正n边形各个内角度数： 【例题精讲】 1．如图，△ABC和△DEF分别是⊙O的外切正三角形和内接正三角形，则它们的面积比为（　　） A．4 B．2 C． D． 【解答】解：过点O作ON⊥BC垂足为N，交DE于点M，连接OB，则O，D，B三点一定共线， 设OM=1，则OD=ON=2， ∵∠ODM=∠OBN=30°， ∴OB=4，DM=，DE=2，BN=2，BC=4， ∴S△ABC=×4×6=12， ∴S△DEF=×2×3=3， ∴==4． 故选：A． 2．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为　　． 【解答】解：△ABC是等腰直角三角形，且AB=a， 则AC=BC=a， 则S△ABC=AC•BC=ו=， 中间的正方形的面积是：a2， 则阴影部分的面积是：4×+a2=2a2． 故答案是：2a2． 【巩固练习】 1．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AC，AE，则的值是（　　） A．1 B． C．2 D． 【解答】解：连接AG、GE、EC，则四边形ACEG为正方形，故=． 故选：B． 考点三、弧长计算 【知识梳理】 1、扇形定义：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形。 在同一个圆中，扇形的弧长和面积与扇形的圆心角的度数大小有关，圆心角越大，弧越长，面积越大。 2、 弧长公式：（推导？） （在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l） 【例题精讲】 1．已知一个圆心角为270°扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，若半圆的半径为3m，则圆心O所经过的路线长是　　m．（结果保留π） 【解答】解：∠AOB=360°﹣270°=90°，则∠ABO=45°， 则∠OBC=45°， O旋转的长度是：2×=； O移动的距离是：=， 则圆心O所经过的路线长是：+=6π， 故答案为：6π． 2．如图，已知点A为⊙O内一点，点B、C均在圆上，∠C=30°，∠A=∠B=45°，线段OA=﹣1，则阴影部分的周长为（　　） A．+2 B．+2 C．+ D．+ 【解答】解：延长AO交BC于点D，连接OB． ∵∠A=∠ABC=45°， ∴AD=BD，∠ADB=90°，即AD⊥BC． ∴BD=CD． 在Rt△COD中，设OD=x， ∵∠C=30°， ∴∠COD=60°，OC=2x，CD=x． ∴∠COB=120°，AD=x． ∴OA=AD﹣OD=x﹣x=（﹣1）x． 而OA=﹣1， ∴x=1，即OD=1，OC=2，BC=2CD=2． ∴阴影部分的周长为：+2=+2． 故选：A． 【巩固练习】 1．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，则A点运动的路径的长为（　　） A．π B．2π C．4π D．8π 【解答】解：∵每个小正方形的边长都为1， ∴OA=4， ∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′， ∴∠AOA′=90°， ∴A点运动的路径的长为：=2π． 故选：B． 考点四、扇形面积 【知识梳理】 1、扇形面积公式：（推导？） （在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形面积S） 【例题精讲】 1．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E．B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为，则图中阴影部分的面积为 　． 【解答】解：连接BD，BE，BO，EO， ∵B，E是半圆弧的三等分点， ∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°， ∴∠BAC=∠EBA=30°， ∴BE∥AD， ∵的长为， ∴=， 解得：R=2， ∴AB=ADcos30°=2， ∴BC=AB=， ∴AC===3， ∴S△ABC=×BC×AC=××3=， ∵△BOE和△ABE同底等高， ∴△BOE和△ABE面积相等， ∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S扇形BOE=﹣=﹣． 故答案为：． 　 【巩固练习】 1．如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C′，已知AC=6，BC=4，则线段AB扫过图形（阴影部分）的面积为　　．（结果保留π） 【解答】解：如图：S扇形ACA′===6π； S扇形BCB′===π； 则S阴影=6π﹣=． 2．如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和是　　． 【解答】解：连接AE，OD、OE． ∵AB是直径， ∴∠AEB=90°， 又∵∠BED=120°， ∴∠AED=30°， ∴∠AOD=2∠AED=60°． ∵OA=OD ∴△AOD是等边三角形， ∴∠OAD=60°， ∵点E为BC的中点，∠AEB=90°， ∴AB=AC， ∴△ABC是等边三角形，边长是4．△EDC是等边三角形，边长是2． 则∠BOE=∠EOD=60°， ∴和弦BE围成的部分的面积=和弦DE围成的部分的面积． 故阴影部分的面积=S△EDC=×22=． 故答案为：． 【课堂检测】 A组-基础训练 1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=135°，则∠AOC的度数为　　． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠D=180°﹣∠B=45°， 由圆周角定理得，∠AOC=2∠D=90°， 故答案为：90°． 2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC∥AD，∠DAB=60°，∠ADC=106°，则∠OCB=　　°． 【解答】解：∵OC∥AD， ∴∠OCD=180°﹣∠ADC=74°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BCD=180°﹣∠DAB=120°， ∴∠OCB=∠BCD﹣∠OCD=46°， 故答案为：46． 3．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，则∠CBD=　　度． 【解答】解：∵AB=AC=AD， ∴点B，C，D可以看成是以点A为圆心，AB为半径的圆上的三个点， ∴∠CBD是弧CD对的圆周角，∠CAD是弧CD对的圆心角； ∵∠CAD=76°， ∴∠CBD=∠CAD=×76°=38°． 4．（1）正三角形的边长是边心距的　　倍．（2）正九边形的中心角是　　度，每个内角为　　度． 【解答】解：（1）如图，设O为正三角形的中心， 则OA、OB为△ABC的半径，OD为边心距， ∵OA=OB， ∴∠ABO=∠BAO=60°×=30°， 设OD=x，在Rt△BOD中， BD=OD•cot30°=x； 则BC=2x， 即BC：OD=2x：x=2． （2）∵正九边形的中心角有九个且度数相等， ∴正九边形的中心角是=40°， 根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°，其内角和为（9﹣2）•180°，则每个内角为=140°． 故答案为2，40°，140°． 5．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为120°时，重物上升　　cm（结果保留π）． 【解答】解：l= =πcm； 故答案为π． 6．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为　　． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=3， ∴BC=AD=3，∠ADC=90°，对角线AC（BD）=5． ∵根据旋转的性质知，∠ADA′=90°，AD=A′D=BC=3， ∴点A第一次翻滚到点A′位置时，则点A′经过的路线长为：=． 同理，点A′第一次翻滚到点A″位置时，则点A′经过的路线长为：=2π． 点A″第一次翻滚到点A1位置时，则点A″经过的路线长为：=． 则当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为：+2π+=6π． 故答案是：6π． 7．如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是　　平方米． 【解答】解：如图．小羊的活动范围是： S=+=π（平方米）． 8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠CAE． 求证：DB=DC． 【解答】证明：∵∠DAC与∠DBC是同弧所对的圆周角， ∴∠DAC=∠DBC． ∵AD平分∠CAE， ∴∠EAD=∠DAC， ∴∠EAD=∠DBC． ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠EAD=∠BCD， ∴∠DBC=∠DCB， ∴DB=DC． 9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，求证：AB=CD． 【解答】证明：∵AD∥BC， ∴∠A+∠B=180°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠C=180°， ∴∠B=∠C， 又∵AD∥BC，且AD≠BC， ∴四边形ABCD是等腰梯形， ∴AB=CD． 10．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC． （1）求证：AE=ED； （2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长． 【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵OC∥BD， ∴∠AEO=∠ADB=90°， 即OC⊥AD， ∴AE=ED； （2）∵OC⊥AD， ∴， ∴∠ABC=∠CBD=36°， ∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°， ∴． B组--巩固训练 1．如图所示，已知四边形ABCD是圆内接四边形，∠1=120°，则∠CDE=　　度． 【解答】解：∵∠1=120° ∴∠A=∠1=60° ∵四边形ABDC内接于⊙O ∴∠CDE=∠A ∴∠CDE=60°． 2．周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6间的大小关系是（　　） A．S3＞S4＞S6 B．S6＞S4＞S3 C．S6＞S3＞S4 D．S4＞S6＞S3 【解答】解：设正六边形的边长为a，如图所示， 则正△ABC的边长为2a，正方形ABCD的边长为 ． 如图（1），过A作AD⊥BC，D为垂足； ∵△ABC是等边三角形，BC=2a， ∴BD=a，由勾股定理得，AD===a， ∴S3=S△ABC=BC•AD=×2a×a=a2≈1.73a2． 如图（2），∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=， ∴S4=S□ABCD=AB2=×=a2≈2.25a2． 如图（3），过O作OG⊥BC，G为垂足， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOC==60°， ∴∠BOG=30°，OG===a． ∴S△BOC=×a×a=a2， ∴S6=6S△BOC=6×a=a2≈2.59a2． ∵2.59a2＞2.25a2＞1.73a2． ∴S6＞S4＞S3． 故选：B． 3．一个长为4cm，宽为3cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板点A位置的变化为A→Al→A2，其中第二次翻滚被面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°的角，则点A滚到A2位置时共走过的路径长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵长方形长为4cm，宽为3cm， ∴AB=5cm， 第一次是以B为旋转中心，BA长5cm为半径旋转90°， 此次点A走过的路径是=π（cm）， 第二次是以C为旋转中心，4cm为半径旋转60°， 此次走过的路径是=π（cm）， ∴点A两次共走过的路径是+=π（cm）． 故选：B． 4．如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM=　　． 【解答】解：连接OA， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠AOB==72°， ∵△AMN是正三角形， ∴∠AOM==120°， ∴∠BOM=∠AOM﹣∠AOB=48°， 故答案为：48°． 5．如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8．则图中阴影部分的面积为　　． 【解答】解：作直径CG，连接OC、OD、OE、OF、DG、OF． ∵CG是圆的直径， ∴∠CDG=90°，则DG===8， 又∵EF=8， ∴DG=EF， ∴=， ∴S扇形ODG=S扇形OEF， ∵AB∥CD∥EF， ∴S△OCD=S△BCD，S△OEF=S△BEF， ∴S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆=π×52=π． 故答案是：π． 6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=130°，求∠OAC的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC=180°， ∵∠ABC=130°， ∴∠ADC=180°﹣∠ABC=50°， ∴∠AOC=2∠ADC=100°． ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠OAC=（180°﹣∠AOC）=40°． 7．如图所示，AB是⊙O的直径，∠B=30°，弦BC=6，∠ACB的平分线交⊙O于D，连AD． （1）求直径AB的长． （2）求阴影部分的面积（结果保留π）． 【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠B=30°， ∴AB=2AC， ∵AB2=AC2+BC2， ∴AB2=AB2+62， ∴AB=4． （2）连接OD． ∵AB=4， ∴OA=OD=2， ∵CD平分∠ACB，∠ACB=90°， ∴∠ACD=45°， ∴∠AOD=2∠ACD=90°， ∴S△AOD=OA•OD=•2•2=6， ∴S扇形△AOD=•π•OD2=•π•（2）2=3π， ∴阴影部分的面积=S扇形△AOD﹣S△AOD=3π﹣6． C组--提升训练 1．如图，将半径为1、圆心角为60°的扇形纸片AOB，在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形A'O'B'处，则顶点O经过的路线总长为　　． 【解答】解：顶点O经过的路线可以分为三段，当弧AB切直线l于点B时，有OB⊥直线l，此时O点绕不动点B转过了90°； 第二段：OB⊥直线l到OA⊥直线l，O点绕动点转动，而这一过程中弧AB始终是切于直线l的，所以O与转动点的连线始终⊥直线l，所以O点在水平运动，此时O点经过的路线长=BA’=AB的弧长 第三段：OA⊥直线l到O点落在直线l上，O点绕不动点A转过了90° 所以，O点经过的路线总长S=π+π+π=π． 故答案为π． 2．如图，点A1，B1，C1，D1，E1，F1分别是正六边形ABCDEF六条边的中点，连接AB1，BC1，CD1，DE1，EF1，FA1后得到六边形GHIJKL，则S六边形GHIJKI：S六边形ABCDEF的值为　　． 【解答】解：设正六边形ABCDEF的边长为4a，则AA1=AF1=FF1=2a． 作A1M⊥FA交FA的延长线于M． 在Rt△AMA1中，∵∠MAA1=60°， ∴∠MA1A=30°， ∴AM=AA1=a，MA1=a，FM=5a， 在Rt△A1FM中，FA1==2a， ∵∠F1FL=∠AFA1，∠F1LF=∠A1AF=120°， ∴△F1FL∽△A1FA， ∴==， ∴==， ∴FL=a，F1L=a， 根据对称性可知：GA1=F1L=a， ∴GL=2a﹣a=a， ∴S六边形GHIJKI：S六边形ABCDEF=（）2=， 故答案为． 3．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为　　． 【解答】解：连接BH、BH1， ∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2， ∴AB=4， ∴AC==2， 在Rt△BHC中，CH=AC=，BC=2， 根据勾股定理可得：BH=； ∴S扫=S扇形BHH1﹣S扇形BOO1 ==π． 4．如图，AB为半圆O的直径，以AO为直径作半圆M，C为OB的中点，D在半圆M上，且CD⊥MD，延长AD交⊙O于点E，若AB=4，则图中阴影部分的面积为　　． 【解答】解：连接EO，DO，过点D作DF⊥AB于点F， ∵CD与半圆M相切， ∴DC⊥MD， ∵AB=4，O为AB中点，M、C分别为AO、OB的中点， ∴AM=OM=OC=CB=1， 在Rt△MDC中，DM=1，MC=OM+OC=2， ∴DM=MC，即∠DCM=30°， ∴∠DMC=60°， ∵AM=DM， ∴∠MAD=∠MDA=30°， ∴∠EOB=60°， ∵OA=OE， ∴∠OAE=∠OEA=30°， ∴OD=OA=1，AD==， ∵OD⊥AE， ∴AE=2AD=2， ∴DF=AD=，AF=， ∴AC=2AF=3， 则S阴影=S△AOE+S扇形EOB﹣S△ACD=×2×1+﹣×3×=+． 故答案为：+． 5．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F． （1）当∠E=∠F时，则∠ADC=　　°； （2）当∠A=55°，∠E=30°时，求∠F的度数； （3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小． 【解答】解：（1）∵∠E=∠F，∠DCE=∠BCF，∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠BCF+∠F， ∴∠ADC=∠ABC， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ADC+∠ABC=180°， ∴∠ADC=90°． 故答案为：90°； （2）∵在△ABE中，∠A=55°，∠E=30°， ∴∠ABE=180°﹣∠A﹣∠E=95°， ∴∠ADF=180°﹣∠ABE=85°， ∴在△ADF中，∠F=180°﹣∠ADF﹣∠A=40°； （3）∵∠ADC=180°﹣∠A﹣∠F，∠ABC=180°﹣∠A﹣∠E， ∵∠ADC+∠ABC=180°， ∴180°﹣∠A﹣∠F+180°﹣∠A﹣∠E=180°， ∴2∠A+∠E+∠F=180°， ∴∠A=90°﹣=90°﹣． 6．如图，半圆O的直径AB=6，弦CD的长为3，点C，D在半圆上运动，D点在上且不与A点重合，但C点可与B点重合． （1）若的长=π时，求的长； （2）取CD的中点M，在CD运动的过程中，求点M到AB的距离的最小值． 【解答】解：（1）连接OD、OC， ∵CD=OC=OD=3， ∴△CDO是等边三角形， ∴∠COD=60°， ∴==π， 又∵半圆弧的长度为：×6π=3π， ∴=3π﹣π﹣= （2）过点M做ME⊥AB于点E， 连接OM， 再CD运动的过程中，CD=3， 由垂径定理可知：DM=， ∴由勾股定理可知：OM== ∴由勾股定理可知：ME2=OM2﹣OE2 若ME取最小值，则只需要OE最小即可， 令OE=0， 此时ME=OM=， 即点M到AB的距离的最小值为 【课后巩固】 1．如图，已知⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E+∠F=70°，则∠A的度数是　　 【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠A=∠BCF， ∵∠EBF=∠A+∠E， 而∠EBF=180°﹣∠BCF﹣∠F， ∴∠A+∠E=180°﹣∠BCF﹣∠F， ∴∠A+∠E=180﹣∠A﹣∠F， 即2∠A=180°﹣（∠E+∠F）=110°， ∴∠A=55°， 故答案为：55°． 2．如图，正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上．若AB=4，则CN=　　． 【解答】解：在Rt△BCM中，∵AB=BC=4，∠CBM=60°，∠M=90°， ∴∠BCM=30°， ∴BM=BC=2，CM=BM=2， ∴AM=4+2=6， ∵四边形AMNP是正方形， ∴MN=MA=6， ∴CN=MN﹣CM=6﹣2， 故答案为6﹣2． 3．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接CA、CB，过点O作弦的垂线，交B»C于点D，连接AD． （1）求证：∠CAD=∠BAD； （2）若⊙O的半径为1，∠B=50°，求的长． 【解答】（1）证明：∵点O是圆心，OD⊥BC， ∴， ∴∠CAD=∠BAD； （2）连接CO， ∵∠B=50°， ∴∠AOB=100°， ∴的长为：L=． 4．如图，在扇形AOB中，∠AOB=150°，以点A为圆心，OA的长为半径作交B 于点C，若OA=2，则图中阴影部分的面积为　　． 【解答】解：连接OC、AC， 由题意得OA=OC=AC=2， ∴△AOC为等边三角形，∠BOC=90°， ∴扇形COB的面积为：=π， △AOC的面积为：×2×=， 扇形AOC的面积为：=π， 则阴影部分的面积为：π+﹣π=+π． 故答案为：+π． 5．将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A、B、C′在同一直线上，若∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，则图中阴影部分面积为　　cm2． 【解答】解：∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm， ∴BC=2，AC=2，∠A′BA=120°，∠CBC′=120°， ∴阴影部分面积=（S△A′BC′+S扇形BAA′）﹣S扇形BCC′﹣S△ABC=×（42﹣22）=4πcm2． 故答案为：4π． 6．如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于　5π　． 7．把一张半径为6cm圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的长度为　　cm． 【解答】解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E， 由题意可得：EO=BO，AB∥DC， 可得∠EBO=30°， 故∠BOD=30°， 则∠BOC=150°， 故的度数是150°， 所以的长度=， 故答案为：5π 8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，=，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E． （1）求证：CD平分∠ACE； 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD=180°， ∵∠BCD+∠DCE=180°， ∴∠DCE=∠BAD， ∵=， ∴∠BAD=∠ACD， ∴∠DCE=∠ACD， ∴CD平分∠ACE； 9．文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题．已知正方形的边长是2，就能求出图中阴影部分的面积． 证明：S矩形ABCD=S1+S2+S3=2，S4=　　，S5=　　，S6=　　+　　，S阴影=S1+S6=S1+S2+S3=　　． 【解答】证明：由题意：S矩形ABCD=S1+S2+S3=2， S4=S2，S5=S3，S6=S4+S5，S阴影面积=S1+S6=S1+S2+S3=2． 故答案为：S2，S3，S4，S5，2． 10．如图，点C，D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD，AC，作DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F． （1）求证：AF=DF． （2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号） 【解答】（1）证明：连接OD，OC， ∵C、D是半圆O上的三等分点， ∴==，度数都是60°， ∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°， ∴∠DAC=30°，∠CAB=30°， ∵DE⊥AB， ∴∠AEF=90°， ∴∠ADE=180°﹣90°﹣30°﹣30°=30°， ∴∠DAC∠ADE=30°， ∴AF=DF； （2）解：由（1）知，∠AOD=60°， ∵OA=OD，AB=4， ∴△AOD是等边三角形，OA=2， ∵DE⊥AO， ∴DE=， ∴S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD=﹣×2×=π﹣． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$