1.2.1 有理数的概念教学设计 2025—2026学年人教版数学七年级上册

本文围绕有理数的概念展开，从回顾已学数出发引出定义，承接小学整数分数及初中负数知识，为后续实数等学习奠基。通过回顾数系、师生互动等环节，培养学生数学抽象、逻辑推理等核心素养，渗透于概念探究与应用中。 该设计创新点在于结合生活实例与古代算筹，采用启发式提问等教法。能提升学生思维能力，为教师提供清晰授课路径，有效突破“整数可写成分数形式”这一教学难点。

1.2.1 有理数的概念 教材分析 本节课从已学的数出发，引出有理数的概念，通过回顾正整数、负整数、0及分数的形式，说明整数可以写成分数形式，并由此定义有理数为可以写成分数形式的数。教学过程可通过具体数例引导学生归纳分类，理解有理数的内涵。本节内容承接小学阶段对整数和分数的认识，以及初中负数的学习，是数系扩充的重要一步。它帮助学生构建完整的有理数概念体系，提升分类与抽象思维能力，为后续学习实数、代数式运算及方程求解等奠定基础。 学情分析 学生在小学阶段已经学习了正整数、0和正分数，初步掌握了基本的四则运算，进入初中后又学习了负数的概念，特别是负整数和负分数的形式，具备了扩展数系的认知基础。本阶段的学生处于具体运算向抽象思维过渡的时期，具备一定的归纳和类比能力，但对抽象符号的理解仍需借助直观支持。本节课要求学生通过回顾已有数的概念，理解整数和分数可以统一表示为分数形式，并在此基础上掌握有理数的定义。通过本节课的学习，学生将进一步完善对数的认识体系，提升抽象概括能力，为后续学习有理数的运算及代数表达奠定基础。 教学目标 理解有理数的定义，掌握整数、分数与有理数之间的关系，通过将整数转化为分数形式，提升数学抽象和逻辑推理能力，发展符号意识与数感。 能对所学数进行分类整理，明确正有理数与负有理数的含义，增强归纳与分类思想，培养系统思维能力和数学表达能力。 回顾数的发展过程，体会引入负数和有理数的必要性，激发数学思考与探索兴趣，增强对数学知识体系的理解与认同。 重点难点 重点： 理解有理数的概念，明确整数和分数都属于有理数，能准确对有理数进行分类。 难点： 认识整数可写成分数形式，理解有理数概念中“可以写成分数形式”这一要点。 课堂导入 同学们，大家先来看一个生活场景。在一次足球比赛中，红队上半场进了 2 个球，下半场丢了 1 个球，若把进球记为正，丢球记为负，那这场比赛红队的净胜球数怎么表示呢？相信大家能很快写出是 。这里出现了正数、负数和 0。其实在生活中，像海拔高度、气温等很多情况都会用到这些数。那到目前为止，我们到底认识了哪些类型的数呢？它们又有着怎样的分类和特点？今天，就让我们一起走进有理数的世界，去探寻其中的奥秘。 有理数的概念 探究新知 （一）知识精讲 同学们，让我们一起来回顾一下我们已经认识的数。在小学阶段，我们主要学习了正整数，比如、、等，还有特殊的数字。进入初中后，我们又认识了负整数，如、、等。这些正整数、和负整数统称为整数。 除了整数，我们还学习了分数。分数包括正分数，如、、等；以及负分数，如、等。特别值得注意的是，整数也可以表示为分数的形式。例如： 可以写成 可以写成 可以写成 通过这个数轴图示，我们可以更直观地看到整数和分数在数轴上的分布情况。 像这样能够表示为分数形式的数，我们称之为有理数（rational number）。其中，正有理数就是可以表示为正分数形式的数，负有理数就是可以表示为负分数形式的数。引入负数后，我们对数的认识就从自然数扩展到了有理数的范围。 （二）师生互动 教师提问：同学们，我们已经知道整数可以表示为分数形式，那么请问是有理数吗？它是整数还是分数呢？ 学生回答：可以约分为，所以它是有理数，也是整数。 教师追问：很好！那么是有理数吗？为什么？ 学生思考后回答：可以写成的形式，所以它是有理数，而且是负分数。 教师继续引导：那么请思考一下，所有的分数都是有理数吗？有没有不是有理数的分数呢？ （三）设计意图 通过回顾已学过的数系，帮助学生建立新旧知识之间的联系，实现从具体到抽象的认知过渡。借助数轴图示，将抽象的数字概念可视化，培养学生的数形结合思想。通过师生互动中的层层递进式提问，引导学生深入理解有理数的概念，特别是整数与分数的关系，培养学生逻辑思维能力和数学表达能力。在探究过程中，注重培养学生用数学语言准确描述概念的能力，为后续学习实数等更广泛的数系奠定基础。 新知应用 例1题目： 指出下列各数中的正有理数、负有理数，并分别指出其中的正整数、负整数： 、、、、、、、、、、 解答： 我们先回顾一下有理数的定义：可以写成分数形式的数叫做有理数。也就是说，如果一个数可以表示为两个整数相除的形式（分母不为0），那么它就是有理数。 接下来我们逐个分析这些数： 是整数，也是正整数，可以写成，是有理数，属于正有理数，同时也是正整数。 是有限小数，可以写成，是有理数，属于正有理数，但不是整数。 是负分数，是有理数，属于负有理数，但不是整数。 百分数可以转化为小数，即，可以写成，是有理数，属于正有理数，但不是整数。 是整数，是负整数，可以写成，是有理数，属于负有理数，同时也是负整数。 转化为小数是，可以写成，是有理数，属于负有理数，但不是整数。 是正分数，是有理数，属于正有理数，但不是整数。 是负小数，可以写成，是有理数，属于负有理数，但不是整数。 是整数，是正整数，可以写成，是有理数，属于正有理数，同时也是正整数。 是整数，是负整数，可以写成，是有理数，属于负有理数，同时也是负整数。 是循环小数，可以写成分数形式（如），是有理数，属于正有理数，但不是整数。 因此，分类如下： 正有理数：、、、、、 其中正整数有：、 负有理数：、、、、 其中负整数有：、 总结： 1.题目考查内容 ① 有理数的定义与分类； ② 正有理数与负有理数的识别； ③ 整数与分数在有理数体系中的归属。 2.题目求解要点 ① 理解有理数的定义：能写成分数形式的数都是有理数； ② 掌握百分数、小数、循环小数等都可以转化为分数形式； ③ 区分正有理数与负有理数的标准是符号； ④ 判断是否为整数时，需看其是否为没有小数部分的整数形式； ⑤ 分类时要逐个分析每个数的性质，不能遗漏或混淆类别。 新知巩固 题目：第1题 我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种。发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数。如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（　　） A．6037 B． C．637 D． 解答： 我们先来理解题意和图示含义： 算筹表示数的规则： 个位、百位、万位用纵式表示； 十位、千位用横式表示； “0”用空位表示； 负数是在最后一个数字上加一斜杠。 观察给出的图“”，它是一个带有斜杠的算筹表示。 根据图中内容分析： 图中从右到左依次是： 个位：纵式“7”； 十位：横式“3”； 百位：空位（表示0）； 千位：横式“6”。 所以这个数是：6千、0百、3十、7个，即 。 因为该数的最后一位上有斜杠，表示这是一个负数，所以最终表示的是：。 总结： 1. 题目考查内容 本题考查了对古代算筹记数方式的理解，以及负数的表示方法，涉及整数的构成与符号判断。 2. 题目求解要点 理解算筹的纵横表示规则； 掌握“空位”表示“0”的含义； 明确斜杠表示负数； 按照位值顺序读出数字并判断符号。 3. 同类型题目解题步骤 分析图示中的纵横排列； 识别每一位上的数字； 判断是否有空位（表示0）； 判断是否加有斜杠（表示负数）； 按照位值写出数字并确定正负。 题目：第2题 有下列说法，正确的个数是（　　）个 ①0是最小的整数； ②一个有理数不是正数就是负数； ③若是正数，则是负数； ④自然数一定是正数； ⑤一个整数不是正整数就是负整数； ⑥非负数就是指正数。 A．0 B．1 C．2 D．3 解答： 我们逐条分析每个说法是否正确： ①0是最小的整数 错误。整数包括正整数、0和负整数，没有最小的整数。 ②一个有理数不是正数就是负数 错误。有理数还包括0，0既不是正数也不是负数。 ③若是正数，则是负数 正确。正数取相反数后变为负数。 ④自然数一定是正数 错误。自然数包括0和正整数，0不是正数。 ⑤一个整数不是正整数就是负整数 错误。整数还包括0，0既不是正整数也不是负整数。 ⑥非负数就是指正数 错误。非负数包括0和正数。 综上，只有③是正确的，因此正确个数是 1。 总结： 1. 题目考查内容 本题考查了对有理数、整数、自然数、正负数、非负数等基本概念的理解与辨析。 2. 题目求解要点 明确各类数的定义； 注意0的特殊性； 区分“非负数”、“正数”、“自然数”等术语； 对每一个说法进行逐一判断。 3. 同类型题目解题步骤 回忆相关数集的定义； 对每个说法进行逻辑判断； 注意0在不同集合中的归属； 统计正确说法的数量。 题目：第3题 下列说法： ①有理数可以分为正有理数和负有理数； ②若，则为负数； ③多项式的二次项系数是3； ④所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。 其中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 解答： 我们逐条分析： ①有理数可以分为正有理数和负有理数 错误。有理数还可以包括0，0既不是正有理数也不是负有理数。 ②若，则为负数 错误。当时，说明，即可以是0或负数，不一定是负数。 ③多项式的二次项系数是3 错误。多项式中，是二次项，其系数是，不是3。 ④所有的有理数都可以用数轴上的点来表示 正确。有理数都可以在数轴上找到对应的点。 综上，只有④是正确的，因此正确个数是 1。 总结： 1. 题目考查内容 本题考查了有理数的分类、绝对值性质、多项式项的识别及有理数与数轴的关系。 2. 题目求解要点 理解有理数的分类； 掌握绝对值的性质； 正确认识多项式的项与系数； 理解有理数与数轴的对应关系。 3. 同类型题目解题步骤 回忆有理数的分类； 分析绝对值表达式； 识别多项式中的各项及其次数； 判断有理数是否能在数轴上表示； 逐条判断说法是否成立。 题目：第4题 下列说法： ①是非负整数； ②非正数包括和负数； ③非负数就是正整数和； ④正整数、正分数和都属于非负有理数。 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 解答： 我们逐条分析： ①是非负整数 错误。非负整数是指大于等于0的整数，是负整数，不属于非负整数。 ②非正数包括和负数 正确。非正数是指小于等于0的数，包括0和负数。 ③非负数就是正整数和 错误。非负数包括正有理数和0，不只是正整数和0。 ④正整数、正分数和都属于非负有理数 正确。非负有理数包括所有大于等于0的有理数，包括正整数、正分数和0。 综上，②和④是正确的，因此正确个数是 2。 总结： 1. 题目考查内容 本题考查了对非正数、非负数、非负有理数等概念的理解与判断。 2. 题目求解要点 明确“非正数”、“非负数”、“非负有理数”的定义； 注意0的归属； 区分整数与有理数的范围。 3. 同类型题目解题步骤 回忆相关数集的定义； 对每个说法进行逐一判断； 注意0的特殊性； 统计正确说法的数量。 板书设计 有理数的概念 ├─ 我们认识的数 │ ├─ 整数 │ │ ├─ 正整数：、、、 │ │ ├─ │ │ └─ 负整数：、、、 │ └─ 分数 │ ├─ 正分数：、、、 │ └─ 负分数：、、 ├─ 有理数定义 │ ├─ 定义：可写成分数形式的数 │ ├─ 正有理数：可写成正分数形式 │ └─ 负有理数：可写成负分数形式 └─ 数的范围扩展：引入负数后扩大到有理数范围 教学反思 本节课围绕有理数的概念展开，通过回顾已学数的分类，引导学生理解整数与分数的关系，并逐步引出有理数的定义，教学设计结构清晰，内容层层递进，符合学生的认知规律。从课堂反馈来看，多数学生能够理解有理数的分类及其表示方式，基本达成了教学目标。成功之处在于通过具体例子帮助学生建立有理数的整体认知，增强了数系扩展的意识；不足在于对“可化为分数形式”的抽象表述部分，部分学生理解仍显薄弱，需在后续教学中加强实例训练与逻辑解释，进一步提升学生的抽象思维能力。 学科网（北京）股份有限公司 $$