精品解析：河北省廊坊市第四中学2024-2025学年八年级下学期期末数学试题

八年级数学试卷本试卷 满分为120分，考试时间为120分钟． 注意事项：1．开始答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，答在试卷上无效．填空题和解答题请把答案写在答题卷上． 一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列的式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 3. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦、在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 对顶角相等 B. 两直线平行，内错角相等 C. 若两个实数相等，则它们的绝对值相等 D. 全等三角形的对应角相等 5. 下列四个图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 某学校考查各个班级的教室卫生状况时包括以下三项：地面、黑板，门窗，其中“地面”最重要，“黑板”次之，“门窗”要求最低，根据这个要求，对地面、黑板、门窗三项考察比较合适的比例设计分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7. 如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 某校第一次体育中考结束后还有30位同学未达到满分30分，这30位同学的成绩统计如下表（每个同学的分数都是整数），小明是其中一位未满分同学．若去掉小明的成绩，则剩下的29位同学的成绩中，下列统计量一定不受影响的是（ ） 成绩 25分及以下 26分 27分 28分 29分 人数 2 1 3 9 15 A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 9. 如图，一个含有角的直角三角板的两个顶点放在一个矩形的对边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 周末，小刚去正在装修的房屋查看进度，放在地上的一块地板砖吸引了他的注意，于是他找来卷尺进行如下操作：①测量地板砖的两组对边长度是否分别相等；②测量地板砖的两条对角线是否相等，以此判断地板砖的表面是否为矩形．小刚的判断依据是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 有三个角是直角的四边形是矩形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形 11. 将直线向上平移个单位长度后与直线交于点，则方程的解为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，，为垂足，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题4个小题，每题3分，共12分） 13. 化简：______． 14. 某组数据的方差，则该组数据的总和是_____ 15. 按照如图所示的运算程序计算函数的值，若输入的值是5，则输出的值是3，若输入的值是，则输出的值是__________． 16. 如图，菱形ABCD的对角线长分别为3和8，P是对角线AC上的任一点(点P不与点A，C重合)，且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是________． 三、解答题（本大题共8题，共计72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为12和25． （1）大正方形的边长是__________，小正方形的边长是__________． （2）求图中阴影部分的周长． 18. 如图，在中，D，E分别是线段，的中点，连结并延长至点F，使，连结． （1）证明：四边形是平行四边形． （2）若，求四边形的周长． 19. 3月28日是全国中小学生安全教育日，倡议中小学生注意安全，珍爱生命．小刚骑单车从家出发去上学，当他骑了一段，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校．已知小刚家与书店、学校恰好在同一条直线上，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小刚家到学校的距离是________米；小刚在书店停留了________分钟； （2）本次上学途中，小刚一共行驶了________米；一共用了________分钟； （3）我们认为骑单车的速度超过400米/分就超过了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小刚骑车速度最快？并说明此时的速度在安全限度内吗？ 20. 舞台上，以点为坐标原点建立平面直角坐标系．从点处打出两束灯光，一束经过点，另一束经过点，与轴交于点． （1）求出这两束光线所在直线、的表达式； （2）求的面积． 21. 在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个引水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通．该村为方便村民引水决定在河边新建一个引水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路，各少多少千米？ 22. 2025年4月17日，国家航天局举行2025中国航天日新闻发布会，神舟二十号、二十一号载人飞船任务将成为今年中国航天工程重点任务之一．某中学为了解本校学生对航天科技的关注程度，在八、九年级各抽取50名学生开展航天知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取“整十”的计分方式，满分100分．竞赛成绩如图所示： 众数 中位数 方差 八年级竞赛成绩 70 188 九年级竞赛成绩 80 156 （1）你能用成绩的平均数判断哪个年级的成绩比较好吗？通过计算说明理由； （2）请根据图表中的信息，回答下列问题： ①表中__________，__________． ②现要给成绩突出的年级颁奖，如果分别从众数和方差两个角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？ 23. 端午节假期期间，佳佳一家乘坐火车前往某市旅游，计划第二天租车自驾游． 公司 租车收费方式 甲 每日固定租金100元，另外每小时收费18元． 乙 无固定租金，直接以租车时间计费，每小时租费26元． （1）设租车时间为小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出、与间的关系式； （2）若佳佳只租车6个小时，在哪家公司租车合算？ （3）请你帮助佳佳计算租多少小时选甲公司租车合算． 24. 如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在边上的点处，折痕为．过点作交于，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）当点在边上移动时，折痕的端点、也随之移动． 当点与点重合时（如图），求菱形的边长； 若限定、分别在边、上移动，直接写出菱形的面积的最大值和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试卷本试卷 满分为120分，考试时间为120分钟． 注意事项：1．开始答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，答在试卷上无效．填空题和解答题请把答案写在答题卷上． 一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列的式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解答本题的关键． 根据二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不能确定的正负，故A选项不符合题意； B、，二次根式没有意义，故B选项不符合题意； C、是二次根式，故C选项符合题意； D、，二次根式没有意义，故D选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此即可判断． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B、符合最简二次根式的条件，故本选项符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故答案为：B． 3. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦、在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，，在直角三角形中，勾（较短的直角边）的平方加股（较长的直角边）的平方等于弦（斜边）的平方． 题中已知两直角边分别为3和4，要求弦，代入数据计算即可． 【详解】解：弦 故选A． 4. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 对顶角相等 B. 两直线平行，内错角相等 C. 若两个实数相等，则它们的绝对值相等 D. 全等三角形的对应角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识．写出各个命题的逆命题，然后判断是否成立即可． 【详解】解：A、对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，不成立； B、两直线平行，内错角相等的逆命题为内错角相等，两直线平行，成立， C、若两个实数相等，则它们的绝对值相等的逆命题为绝对值相等的两个实数相等，不成立； D、全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，不成立； 故选：B． 5. 下列四个图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义的知识，对于的任何值，都有唯一的值与之相对应，函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点；本题根据函数的定义，逐项判断，进行作答即可求解； 【详解】解：选项A、B、C中的图象，对于的任何值，都有唯一的值与之相对应，是的函数，都不符合题意； 选项D中的图象，对于的任何值，有一个或两个的值与之相对应，不是的函数，符合题意； 故选：D. 6. 某学校考查各个班级的教室卫生状况时包括以下三项：地面、黑板，门窗，其中“地面”最重要，“黑板”次之，“门窗”要求最低，根据这个要求，对地面、黑板、门窗三项考察比较合适的比例设计分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知：“地面”最重要，“黑板”次之，“门窗”要求最低，再观察各个选项，可得答案． 【详解】解：“地面”最重要，“黑板”次之，“门窗”要求最低， 对地面、黑板、门窗三项考察比较合适的比例设计分别为，，， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了加权平均数，解答本题的关键是明确权的意义. 7. 如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质得出是解此题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直接可以得出答案． 【详解】解，互相垂直， 是直角三角形， 是的中点， ， 故选：A． 8. 某校第一次体育中考结束后还有30位同学未达到满分30分，这30位同学的成绩统计如下表（每个同学的分数都是整数），小明是其中一位未满分同学．若去掉小明的成绩，则剩下的29位同学的成绩中，下列统计量一定不受影响的是（ ） 成绩 25分及以下 26分 27分 28分 29分 人数 2 1 3 9 15 A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数和方差的有关计算，解题的关键是熟练掌握平均数、中位数、众数和方差的定义．根据相关的定义和公式，进行判断即可． 【详解】解：假设去掉的一个数是29，则去掉这个数后，仍然29最多，因此这组数据的众数仍然是29，保持不变，而去掉的数是其他数时，也是29最多，因此众数仍然是29．而去掉一个数后，平均数、中位数和方差都有可能发生改变． 故选：C． 9. 如图，一个含有角的直角三角板的两个顶点放在一个矩形的对边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的性质，解题的关键是根据矩形性质得出，推出，由，代入数据计算即可． 【详解】解：如图，有一个含有角的直角三角板， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：D． 10. 周末，小刚去正在装修的房屋查看进度，放在地上的一块地板砖吸引了他的注意，于是他找来卷尺进行如下操作：①测量地板砖的两组对边长度是否分别相等；②测量地板砖的两条对角线是否相等，以此判断地板砖的表面是否为矩形．小刚的判断依据是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 有三个角是直角的四边形是矩形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，熟练掌握平行四边形和矩形的判定是解题的关键．利用①判定平行四边形，再利用②判定矩形，即可得判断依据． 【详解】解：由①测量地板砖的两组对边长度是否分别相等， 即，， 则可判断四边形是平行四边形； 由②测量地板砖的两条对角线是否相等， 即， 则利用“对角线相等的平行四边形是矩形”可判断四边形是矩形； 故选：A． 11. 将直线向上平移个单位长度后与直线交于点，则方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了两直线交点解方程，一次函数的平移，理解函数平移的性质，两直线交点解方程的方法是关键． 根据函数图象的平移得到平移后的解析式，再根据两直线交点解方法即可． 【详解】解：直线向上平移个单位长度后的解析式为， ∴直线与直线的交点为， ∴方程的解为， 故选：B ． 12. 如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，，为垂足，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质是解题的关键；连接，由题意易得，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选D． 二、填空题（本大题4个小题，每题3分，共12分） 13. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质进行求解即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 某组数据的方差，则该组数据的总和是_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方差的定义，解题关键是对方差公式的理解．根据方差的求解公式可知这组数的平均数以及这组数的个数，据此即可作答． 【详解】解：， 平均数是，这组数的个数为， 则该组数据的总和是：， 故答案为：． 15. 按照如图所示的运算程序计算函数的值，若输入的值是5，则输出的值是3，若输入的值是，则输出的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了函数值，正确得出的值是解题关键．直接利用已知代入得出的值，进而求出输入时，得出的值． 【详解】解：当输入的值是，输出的值是3， ， 解得：， 故输入的值是时，． 故答案为： 16. 如图，菱形ABCD的对角线长分别为3和8，P是对角线AC上的任一点(点P不与点A，C重合)，且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据已知条件易证四边形AEPF是平行四边形，设AP与EF相交于O点，则S△POF=S△AOE．所以阴影部分的面积等于菱形面积的一半．由此即可解答. 【详解】设AP与EF相交于O点． ∵ABCD为菱形， ∴BC∥AD，AB∥CD． ∵PE∥BC，PF∥CD， ∴PE∥AF，PF∥AE． ∴AEFP是平行四边形． ∴S△POF=S△AOE． ∴阴影部分的面积就是△ABC的面积，△ABC的面积=菱形的面积=×（×3×8）=6， 则阴影部分的面积是6． 故答案为6． 【点睛】本题考查了菱形的性质，根据菱形的性质得出阴影部分的面积就是△ABC的面积是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共8题，共计72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为12和25． （1）大正方形的边长是__________，小正方形的边长是__________． （2）求图中阴影部分的周长． 【答案】（1）5， （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，算术平方根的计算，二次根式的化简，二次根式的乘法，二次根式的加减，熟练掌握正方形的性质，算术平方根的解答，二次根式的运算是解题的关键． （1）根据正方形的性质，利用求算术平方根的方法解答即可． （2）根据周长的定义，二次根式的乘法，加减混合计算解答即可． 【小问1详解】 解：∵长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为12和25． ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：根据题意，得阴影的周长为： ． 18. 如图，在中，D，E分别是线段，的中点，连结并延长至点F，使，连结． （1）证明：四边形是平行四边形． （2）若，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：∵在中，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴点是的中点， ∴， ∴， ∵， 即， ∴四边形是平行四边形； （2）18． 【解析】 【分析】本题考查了中位线定理，平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定是解题的关键． （1）根据中位线定理及中点定义可知，，再根据平行四边形的判定即可解答； （2）根据平行四边形的性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，， 则四边形的周长． 19. 3月28日是全国中小学生安全教育日，倡议中小学生注意安全，珍爱生命．小刚骑单车从家出发去上学，当他骑了一段，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校．已知小刚家与书店、学校恰好在同一条直线上，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小刚家到学校的距离是________米；小刚在书店停留了________分钟； （2）本次上学途中，小刚一共行驶了________米；一共用了________分钟； （3）我们认为骑单车的速度超过400米/分就超过了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小刚骑车速度最快？并说明此时的速度在安全限度内吗？ 【答案】（1）1500，4； （2）2700；14 （3）分钟时速度最快，不在安全限度内 【解析】 【分析】（1）根据函数图象的纵坐标，可得答案；根据函数图象的横坐标，可得到达书店时间，离开书店时间，根据有理数的减法，可得答案； （2）根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法，可得答案； （3）根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与时间的关系，可得速度． 本题主要考查了函数图象，解决本题的关键是要观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标得出时间，又利用了路程与时间的关系． 【小问1详解】 解：根据图象，学校的纵坐标为1500，小刚家的纵坐标为0， 故小刚家到学校的路程是1500米； 根据函数图象，小刚在书店停留的时间为从8分到12分， ∴（分钟） 故小刚在书店停留了4分钟． 故答案为：1500，4； 【小问2详解】 解：有函数图象可知， 一共行驶的总路程（米）；一共用了分钟， 故答案为：2700；14． 【小问3详解】 解：由图象可知：分钟时，平均速度（米/分）， 分钟时，平均速度（米/分）， 分钟时，平均速度（米/分）， ∵ ∴分钟时速度最快，不在安全限度内． 故建议小刚在从书店去学校的途中放慢速度，保持安全骑行； 20. 舞台上，以点为坐标原点建立平面直角坐标系．从点处打出两束灯光，一束经过点，另一束经过点，与轴交于点． （1）求出这两束光线所在直线、的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，求两直线围城的三角形面积． （1）用待定系数法求解即可； （2）联立直线的解析式和直线的解析式，求出交点B的坐标，进一步求的面积即可． 【小问1详解】 解：设直线的表达式为，把代入，得 ， ∴ ∴； 设直线的表达式为，把，代入，得 ∴ 【小问2详解】 解：当时，， ∴ ∴△AOB的面积为． 21. 在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个引水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通．该村为方便村民引水决定在河边新建一个引水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路，各少多少千米？ 【答案】新路比原路少千米，比原路少千米． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得（千米），设千米，则千米，然后通过勾股定理求出千米，最后代入求解即可，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴（千米）， 设千米，则千米， ∵， ∴， 解得：， ∴千米， ∴新路比原路少（千米），比原路少（千米）， 答：新路比原路少千米，比原路少千米． 22. 2025年4月17日，国家航天局举行2025中国航天日新闻发布会，神舟二十号、二十一号载人飞船任务将成为今年中国航天工程重点任务之一．某中学为了解本校学生对航天科技的关注程度，在八、九年级各抽取50名学生开展航天知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取“整十”的计分方式，满分100分．竞赛成绩如图所示： 众数 中位数 方差 八年级竞赛成绩 70 188 九年级竞赛成绩 80 156 （1）你能用成绩的平均数判断哪个年级的成绩比较好吗？通过计算说明理由； （2）请根据图表中的信息，回答下列问题： ①表中__________，__________． ②现要给成绩突出的年级颁奖，如果分别从众数和方差两个角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？ 【答案】（1）用平均数无法判定哪个年级的成绩比较好， 理由：由题意得： 八年级成绩的平均数是：（分）， 九年级成绩的平均数是：（分）， 故用平均数无法判定哪个年级的成绩比较好； （2）①，；②应该给九年级颁奖 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，求平均数，众数，方差，根据方差判断稳定性，从统计图表中获取信息是解题的关键． （1）根据已知数据求得八年级与就九年级的平均数即可求解； （2）①根据众数、中位数的定义，进行计算即可求解；②分别从众数和方差两方面分析即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①九年级竞赛成绩中分出现的次数最多，故众数； 八年级竞赛成绩的中位数为：，则 故答案为：，； ②如果从众数角度看，八年级的众数为分，九年级的众数为分，所以应该给九年级颁奖； 如果从方差角度看，八年级的方差为，九年级的方差为，又因为两个年级的平均数相同，九年级的成绩的波动小，所以应该给九年级颁奖． 综上所述，应该给九年级颁奖． 23. 端午节假期期间，佳佳一家乘坐火车前往某市旅游，计划第二天租车自驾游． 公司 租车收费方式 甲 每日固定租金100元，另外每小时收费18元． 乙 无固定租金，直接以租车时间计费，每小时租费26元． （1）设租车时间为小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出、与间的关系式； （2）若佳佳只租车6个小时，在哪家公司租车合算？ （3）请你帮助佳佳计算租多少小时选甲公司租车合算． 【答案】（1）, （2）租乙公司合算 （3）租车时间超过小时时选甲公司合算 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键， （1）根据题意即可直接写出、函数解析式； （2）当租车时间为6小时时，分别计算出甲乙两个公司的费用，再进行比较大小，即可得到答案； （3）选甲公司租车合算时，需要，从而可计算出租车时间． 【小问1详解】 解：甲公司：费用由固定租金和每小时收费组成， ∴； 乙公司：费用仅按小时计费，无固定租金， ∴． 【小问2详解】 解：当租车时间为6小时时， 甲公司的费用为：（元）， 乙公司的费用为：（元）， ∵， ∴租乙公司合算． 【小问3详解】 解：当甲公司更合算时，需满足， ∴， 解得：， ∴租车时间超过小时时选甲公司合算． 24. 如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在边上的点处，折痕为．过点作交于，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）当点在边上移动时，折痕的端点、也随之移动． 当点与点重合时（如图），求菱形的边长； 若限定、分别在边、上移动，直接写出菱形的面积的最大值和最小值． 【答案】（1） 证明：∵折叠纸片使点落在边上的点处，折痕为， ∴点与点关于对称， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； （2）菱形的边长为；菱形面积的最大值是，最小值是． 【解析】 【分析】（）由折叠的性质得出，，，由平行线的性质得出，证出，得出，因此，即可得出结论； （）根据矩形的性质和勾股定理求得的长，再在中求得，即菱形的边长； 当点与点重合时，点离点最近，由知，此时；当点与点重合时，点离点最远，此时四边形为正方形，，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点与点关于对称， ∴， 在中，， ∴； 在中，，， ∴， ∴， 解得：， ∴菱形的边长为； 如图，当点与点重合时，点离点最近，菱形的面积最小， 由知，此时，， ∴菱形的面积的最小值为， 当点与点重合时，点离点最远，菱形的面积最大，此时四边形为正方形， 由折叠性质可知：， ∴菱形的面积的最小值为， ∴菱形面积的最大值是，最小值是． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，菱形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，正方形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $