6.2 二元一次方程组的解法 教学设计 2024—2025学年 华东师大版七年级数学下册

本文围绕“升级版的消元法”展开，是在学完一次方程组课标内容后的拓展提升。承接基本消元法知识，为学生多提供一种解特殊方程组的方法。通过实际问题探究，培养学生抽象、运算、模型观念等核心素养。 该设计创新点在于从实际问题引入，引导学生自主探究解法。特色教法是问题驱动，凸显学生主体地位。对学生而言，提升解决问题能力；对教师来说，提供清晰授课思路，有效突破教学难点。

数学活动——试一下升级版的消元法 “七问”： 1问：何为“升级版”的消元法？ 2问：本课为何不直接以“解方程组”入手？ 3问：列方程(组)解决实际问题的分析过程重要吗？ 4问：“整体”的灵感从何而来？ 5问：题后要不要小结？如何小结？ 6问：第二个问题是当课堂练习题还是当问题二继续研究？ 7问：本课要不要有课堂练习和课后作业？ 华东师大版数学 教材七年级课例 数学活动——试一下升级版的消元法 【课题解读】 本课是在学完《第6章一次方程组》课标既定教学内容后穿插于章末的一次“数学活动”课，是在用基本消元法(代入消元法和加减消元法)解三元或二元一次方程组后遇到新问题的再探究，是对基本消元法的有益拓展与提升，是数学研学旅途中的奇妙发现与收获，即从过去用基本消元法求出每个未知数的解，升级到用消元法直接求得“所需整体”的解或值，它是从“通法”到“特法”的一次升级，从此，学生又多了一种解某些特殊类型方程组的方法，故将此消元法称为“升级版”的消元法. 【教学目标】 1．进一步体验方程组在实际问题中的应用； 2．学会用消元法解某些特殊方程组的“整体”解或值； 3．有意识地培养学生的抽象能力、运算能力、模型观念、应用意识和创新意识的核心素养； 4．渗透用转化与化归、方程(组)思想解决实际中的数学问题. 【教学重点】用消元法求得某些特殊方程组的“整体”解或值. 【教学难点】发现并构造“所需整体”和“多余整体”的新方程组来求解. 【教学过程】 一、复习引入 1．解多元一次方程组的基本思想是什么？ 消元：多元—→一元. 2．二元一次方程组的基本解法有哪几种？ ——代入消元法和加减消元法. 3．列方程(组)解决实际问题的基本过程有哪些？ 问题 方程(组) 解答 分析 抽象 求解 检验 二、问题探究 问题一： 小红、小莉去花店买花. 小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10枝康乃馨、1枝百合，花了32元. 小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱？ （1）问题分析： 这个问题包含以下三个小问题： ①等量关系：3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合28元； ②等量关系：4枝玫瑰、10枝康乃馨、1枝百合32元； ③求解问题：2枝玫瑰、2枝康乃馨、2枝百合多少钱？ 这三个问题都与 “单价” 有关，我们可从设“单价”入手： 设玫瑰、康乃馨、百合的单价分别为元、元、元，不难列出方程组： ① ② 求解问题：，即 问题1：这个方程组有何特征？ 特征：两个方程，每个方程都有三个未知数. （我们之前没有接触过这类方程组） （2）解法探究： 问题2：怎样求这个方程组的解呢？ 思路1：直接求出，，. 学生尝试：由①②，消去，得 明确“整体” 从何而来？ . ……………… ③ 这样显然无法求出确定的解. 思路2：从求解问题出发，可否直接求出的值？尝试把方程①、②“分离”出含有的“整体”，并保持恒等变形： 由①，得 ， ………… ④④和⑤要预设留白，让学生填写！ 由②，得 ， ………… ⑤ 即这里我们不要提到“换元”概念！ ④ ⑤ 问题3：这个新方程组有何特征？ 特征：这个新方程组含有“”和“”两个“整体”. 问题4：怎样求这个新方程组的“整体”解呢？ 可用“加减消元法”求这个方程组的整体解，即可将④⑤，消去“多余整体”，即，得到“所需整体”，从而得出，问题圆满解决了！ 归纳总结： 在解某些特殊方程组时，我们不是用消元法去求出每个未知数的解，而是将方程组构造成含有“所求整体”和“多余整体”的方程组，再用消元法求得“所求整体”的解. 思路3：由思路1可得：，即， 把代入①，得： ， ， ∴， ∴. 归纳小结： 此法是用消元法将未知数，，中的某两个未知数都转化成含有第三个未知数的代数式表示，再代入所要求的整体求出整体的值. 问题二： 某校举办法治常识竞赛，确定前60名参赛者获奖. 原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人. 最后调整为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人. 调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分. 已知原定二等奖的平均分比三等奖高7分，问：调整后一等奖的平均分比二等奖的高多少？ （1）问题分析： 这个问题包含以下三个小问题： ①等量关系：原二等奖的平均分比三等奖高7分； ②等量关系：调整前、后60名获奖者的总分不变； ③求解问题：调整后一等奖的平均分比二等奖的高多少？ 这三个问题都与 “平均分” 有关，我们可从设“平均分”入手： 解：设调整前一等奖、二等奖、三等奖的平均分分别为分、分、分，则调整后一等奖、二等奖、三等奖的平均分分别为分、分、分，也可引导学生用“列表法”进行分析： 原获奖人数 原平均分 调整后获奖人数 调整后平均分 一等奖 5 10 二等奖 15 20 三等奖 40 30 不难列出方程组： 整理，得：① ② 求解问题：，即 问题1：这个方程组有何特征？ 特征：两个方程，三个未知数，且其中一个方程只有两个未知数. （2）解法探究： 问题2：怎样求这个方程组的解呢？ 根据这个方程组的特征，显然无法求出确定的解. 我们不妨从“求解问题”出发，可否直接求出的值？由于所求的整体不含，故可优先尝试消： 解法1：由②①，消去，得 . ∴. ∴调整后一等奖的平均分比二等奖的高5分. 解法2：由①，得 ， ……………… ③ 把③代入②，得 ， 即， ∴. ∴调整后一等奖的平均分比二等奖的高5分. 三、课堂小结 1．学会如何发现、提出、分析和解决问题？ 2．理解何为“升级版”的消元法？ 当遇到无法用基本消元法求出多元方程组的每个未知数的解时，可尝试用消元法直接求出“所需整体”的解或值，它是从“通法”到“特法”的一次升级，故将此消元法称为“升级版”的消元法. 四、课后作业 1．母亲节那天，小红、小莉、小莹到花店买花送给自己的母亲．小红买了3枝玫瑰，7枝康乃馨，1枝百合花，付了14元；小莉买了4枝玫瑰，10枝康乃馨，1枝百合花，付了16元；小莹买上面三种花各2枝，则她应付　　 元． 2．已知方程组 ，求的值. 作业参考解答： 1.解法一：设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为元、元、元，根据题意，得 ① ② ②①，得： ， ， ③ 将③代入①，得：， ④ ∴， ∴． 所以小莹应付元． 故应填答案为． 解法二：用问题一构造“整体法”解得. （过程略） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$