3.4-3.5圆心角、圆周角定理及其推论讲义2025-2026学年浙教版初中数学九年级上册

圆心角、圆周角定理及其推论 【考点归类】 考点一、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 考点二、圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系 考点三、圆周角的定义 考点四、圆周角定理的推论 考点一、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 【知识梳理】 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也想等。 圆心角定理的逆定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。 1、 等弧是指能够完全重合的弧，只有在同圆或等圆中才有等弧。 2、因为一条弦所对的弧有两条，所以由“弦相等”得出“弧相等”，这里的“弧相等”指的是对应的劣弧与劣弧相等、优弧与优弧相等。 【例题精讲】 1．已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为　　． 2．在同圆中，若，则AB　　2CD（填＞，＜，=）． 【巩固练习】 1．把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是　　． 2．如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，若+=+，且弦AB=8，CD=4，则⊙O的半径为　　． 考点二、圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系 【知识梳理】 1°的弧：在一个圆中，我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧。 圆心角度数与它所对弧的度数的关系：n°的圆心角所对的弧是n°的弧。 （1）圆心角的度数等于它所对的弧的度数，它与圆的半径无关，也就是说在大小不等的两个圆中，相同度数的圆心角所对的弧的度数相等；反过来，弧的度数相等，它所对的圆心角的度数也相等。 （2）相等的弧（即能够重合的弧）与度数相等（或长度相等）的弧含义是不同的，只有弧的度数和弧的长度都相等的两条弧才是等弧，即等弧一定具有相等的度数且等弧必须在同圆或等圆存在，而相同度数的弧不一定是等弧。 （3）圆心角与它所对的弧的度数相等，不能写成∠AOB=弧AB，正确的写法是∠AOB的度数等于弧AB的度数。 【例题精讲】 1．如图，矩形ABCD的顶点A，B在圆上，BC，AD分别与该圆相交于点E，F，G是的三等分点（＞），BG交AF于点H，若的度数为30°，则∠GHF等于（　　） A．40° B．45° C．55° D．80° 2．在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为　　． 【巩固练习】 1．点A、C为半径是4的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆半径的中点上，则该菱形的边长为（　　） A．或2 B．或2 C．2或2 D．2或2 2．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AB=CD，∠APO=65°，则∠APC=　　 度． 考点三、圆周角的定义 顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。 （1）圆周角要具备两个特征：角的顶点必须在圆上；角的两边都与圆相交。 （2）圆周角与圆心角的区别与联系：区别在于角的顶点位置不同，圆周角的顶点在圆周上，圆心角的顶点在圆心上；相同点是角的两边都和圆相交。 （3）圆周角与其所对弧的关系：一个圆周角只对着一条弧，而一条弧对着若干个圆周角。 圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。 （1）不能简单说成“圆周角等于圆心角的一半”，而要注意“同一条弧所对”的条件。 （2）由于圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 （4）圆周角定理给我们展示了两个方面的问题：圆周角和圆心角存在关系的前提条件是它们对着同一条弧；对着同一条弧的圆周角是圆心角的一半。 【例题精讲】 1．如图，在⊙O中，OC∥AB，∠A=20°，则∠1等于（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 2．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为88°、30°，则∠ACB的大小为（　　） A．15° B．28° C．29° D．34° 【巩固练习】 1．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，且四边形OABC是平行四边形，则∠D的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．不能确定 2．如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，∠BOC=50°，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，那么∠ACD=　　． 考点四、圆周角定理的推论 【知识梳理】 （1）半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 （2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。 【例题精讲】 1．如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 2．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠ABC=70°，则∠BDC的度数为（　　） A．50° B．40° C．30° D．20° 【巩固练习】 1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r=5，AC=5，则∠B的度数是（　　） A．30° B．45° C．50° D．60° 2．如图，点A、C、B在⊙O上，已知∠AOB=∠ACB=a，则a的值为（　　） A．135° B．100° C．110° D．120° 【课堂检测】 A组--基础训练 1．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（　　） A．或2 B．或2 C．或2 D．或2 2．如图，已知：在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（　　） A．70° B．45° C．35° D．30° 3．如图，AB是⊙O的直轻，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA=　　． 4．如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的弦，点D是劣弧AC上一点，若点E在直径AB另一侧的半圆上，且∠AED=27°，则∠BCD的度数为　　． 5．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是直径，且∠CAD=56°，则∠B的度数为　　°． 5．如图，在⊙O中，=，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC． 7．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上． （1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数； （2）若OC=3，OA=5，求AB的长． B组--巩固训练 1．如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中： ①；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②CB平分∠ABD；③∠AOC=∠AEC；④AF=DF；⑤BD=2OF．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图，小明将一块三角板放在⊙O上，三角板的一直角边经过圆心O，测得AC=5cm，AB=3cm，则⊙O的半径长为（　　） A．2.85cm B．2.9cm C．3.1cm D．3.4cm 4．如图，在Rt△AOB中，∠B=40°，以OA为半径，O为圆心作⊙O，交AB于点C，交OB于点D．求的度数． 5．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，过点A作AE∥CD交⊙O于点E，连接BD，DE，求证：BD=DE． 6．如图，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB．求证：． 7．如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC于E，连接BE，若AC=8，DE=2，求 （1）求半圆的半径长； （2）BE的长度． C组--提升训练 1．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，则与的关系是（　　） A．= B．= C．= D．不能确定 2．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AC=12，AB=10，D是AC上一个动点，以AD为直径的⊙O交BD于E，则线段CE的最小值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 3．如图：四边形ABMN，BCPQ是四角都是直角的全等四边形（AB≤BC），点R在线段AC上移动，则满足∠NRP=90°的点R的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．1个或2个 D．无数多个 4．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于F． （1）求证：CF=BF； （2）若CD=6，AC=8，求BE、CF的长． 5．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，AD⊥BC于D，BE⊥AC交AD于H，若CF是⊙O的直径． （1）求∠FCB的度数； （2）求证：AH=CF． 【课后巩固】 1．如图，△ABC中，∠C=90°，以AC为半径的⊙C与AB相交于点D，若∠B=40°，则的度数为　　． 2．如图所示的暗礁区，两灯塔A，B之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S）不进入暗礁区，那么S对两灯塔A，B的视角∠ASB必须（　　） A．大于60° B．小于60° C．大于30° D．小于30° 3．如图，，C、D分别是半径OA、OB的中点，连接PC、PD交弦AB于E、F两点． 求证：（1）PC=PD；（2）PE=PF． 4．已知：如图，⊙O中的弦AB与弦CD交于点P，点M、N分别是AB、CD的中点，=，求证：△PMN是等腰三角形． 5．如图所示，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于点D．若AB=10，AC=6，求BC、BD的长． 6．如图，点B，C为⊙O上一动点，过点B作BE∥AC，交⊙O于点E，点D为射线BC上一动点，且AC平分∠BAD，连接CE． （1）求证：AD∥EC； （2）连接EA，若BC=6，则当CD=　　时，四边形EBCA是矩形． 7．如图，点A、B、C是圆O上的三点，AB∥OC （1）求证：AC平分∠OAB； （2）过点O作OE⊥AB于E，交AC于点P，若AB=2，∠AOE=30°，求圆O的半径OC及PE的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆心角、圆周角定理及其推论 【考点归类】 考点一、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 考点二、圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系 考点三、圆周角的定义 考点四、圆周角定理的推论 考点一、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 【知识梳理】 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也想等。 圆心角定理的逆定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。 1、 等弧是指能够完全重合的弧，只有在同圆或等圆中才有等弧。 2、因为一条弦所对的弧有两条，所以由“弦相等”得出“弧相等”，这里的“弧相等”指的是对应的劣弧与劣弧相等、优弧与优弧相等。 【例题精讲】 1．已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为　　． 解：∵弦AB把圆周分成1：5的两部分， ∴弦AB所对的圆心角的度数=×360°=60°． 故答案为60°． 2．在同圆中，若，则AB　　2CD（填＞，＜，=）． 解：找出的中点E，连接AE、BE， ∵的中点E， ∴==， ∵， ∴==， ∴AE=EB=CD， ∵AE+EB＞AB， ∴AB＜2CD， 故答案为：＜． 【巩固练习】 1．把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是　　． 解：如图， 过O作OG⊥AB，交⊙O于G，交AB于H，连接AG、AO， 由折叠得：GH=OH， ∴AG=AO， ∵AO=OG， ∴AO=OG=AG， ∴△AGO是等边三角形， ∴∠AOG=60°， 同理∠BOG=60°， ∴∠BOC=90°+60°=150°， 则弧的度数是150°； 故答案为：150°． 2．如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，若+=+，且弦AB=8，CD=4，则⊙O的半径为　　． 解：∵+=+， ∴弧AB，CD就是一个半圆弧， 则B、O、D′就在一条直线上，而且BD′是一直径， ∴∠D′AB=90°，弧AD′=弧CD， ∴AD′=CD=4， 在Rt△CAB中，由勾股定理得：BD′==4， ∴OB=2， 故答案是：2． 考点二、圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系 【知识梳理】 1°的弧：在一个圆中，我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧。 圆心角度数与它所对弧的度数的关系：n°的圆心角所对的弧是n°的弧。 （1） 圆心角的度数等于它所对的弧的度数，它与圆的半径无关，也就是说在大小不等的两个圆中，相同度数的圆心角所对的弧的度数相等；反过来，弧的度数相等，它所对的圆心角的度数也相等。 （2） 相等的弧（即能够重合的弧）与度数相等（或长度相等）的弧含义是不同的，只有弧的度数和弧的长度都相等的两条弧才是等弧，即等弧一定具有相等的度数且等弧必须在同圆或等圆存在，而相同度数的弧不一定是等弧。 （3） 圆心角与它所对的弧的度数相等，不能写成∠AOB=弧AB，正确的写法是∠AOB的度数等于弧AB的度数。 【例题精讲】 1．如图，矩形ABCD的顶点A，B在圆上，BC，AD分别与该圆相交于点E，F，G是的三等分点（＞），BG交AF于点H，若的度数为30°，则∠GHF等于（　　） A．40° B．45° C．55° D．80° 解：连接BF， ∵的度数为30°， ∴的度数为150°，∠AFB=15°， ∵G是的三等分点， ∴的度数为50°， ∴∠GBF=25°， ∴∠GHF=∠GBF+∠AFB=40°， 故选：A． 2．在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为　　． 解：如图， ∵AB=OA=OB，∴△AOB为等边三角形， ∴∠AOB=60°， 故答案为60°． 【巩固练习】 1．点A、C为半径是4的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆半径的中点上，则该菱形的边长为（　　） A．或2 B．或2 C．2或2 D．2或2 解：过B作直径，连接AC交AO于E， ∵点B为的中点， ∴BD⊥AC， 如图①， ∵点D恰在该圆直径上，D为OB的中点， ∴BD=×4=2， ∴OD=OB﹣BD=2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴DE=BD=1， ∴OE=1+2=3， 连接OC， ∵CE===， 在Rt△DEC中，由勾股定理得：DC===2； 如图②， OD=2，BD=4+2=6，DE=BD=3，OE=3﹣2=1， 由勾股定理得：CE===， DC===2， 故选：C． 2．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AB=CD，∠APO=65°，则∠APC=　　 度． 解：连接OA、OD， ∵AB=CD， ∴=， ∴=， ∴AC=BD， 在△APC和△DPB中， ， ∴△APC≌△DPB， ∴PA=PD， 在△AOP和△DOP中， ， ∴△AOP≌△DOP， ∴∠APO=∠DPO=65°， ∴∠APD=130°， ∴∠APC=50°． 故答案为：50°． 考点三、圆周角的定义 【知识梳理】 顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。 （1） 圆周角要具备两个特征：角的顶点必须在圆上；角的两边都与圆相交。 （2） 圆周角与圆心角的区别与联系：区别在于角的顶点位置不同，圆周角的顶点在圆周上，圆心角的顶点在圆心上；相同点是角的两边都和圆相交。 （3） 圆周角与其所对弧的关系：一个圆周角只对着一条弧，而一条弧对着若干个圆周角。 圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。 （1） 不能简单说成“圆周角等于圆心角的一半”，而要注意“同一条弧所对”的条件。 （2） 由于圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 （3） 圆周角定理给我们展示了两个方面的问题：圆周角和圆心角存在关系的前提条件是它们对着同一条弧；对着同一条弧的圆周角是圆心角的一半。 【例题精讲】 1．如图，在⊙O中，OC∥AB，∠A=20°，则∠1等于（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 解：∵OC∥AB， ∴∠C=∠A=20°， 又∵∠O=2∠A=40°， ∴∠1=∠O+∠C=20°+40°=60°． 故选：D． 2．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为88°、30°，则∠ACB的大小为（　　） A．15° B．28° C．29° D．34° 解：根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半， 根据量角器的读数方法可得：∠ACB=（88°﹣30°）÷2=29°． 故选：C． 【巩固练习】 1．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，且四边形OABC是平行四边形，则∠D的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．不能确定 解：∠D=∠AOC， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴∠B=∠AOC， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠B+∠D=180°， 3∠D=180°， ∴∠D=60°， 故选：B． 2．如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，∠BOC=50°，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，那么∠ACD=　　． 解：连接OD， ∵AD∥OC， ∴∠DAB=∠BOC=50°， ∵OA=OD ∴∠AOD=180°﹣2∠DAB=80°， ∴∠ACD=∠AOD=40° 故答案为40° 考点四、圆周角定理的推论 【知识梳理】 （1） 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 （2） 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。 【例题精讲】 1．如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 解：连接DC， ∵C（，0），D（0，1）， ∴∠DOC=90°，OD=1，OC=， ∴∠DCO=30°， ∴∠OBD=30°， 故选：B． 2．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠ABC=70°，则∠BDC的度数为（　　） A．50° B．40° C．30° D．20° 解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠ABC=70°， ∴∠BAC=90°﹣∠ABC=20°， ∴∠BDC=∠BAC=20°． 故选：D． 【巩固练习】 1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r=5，AC=5，则∠B的度数是（　　） A．30° B．45° C．50° D．60° 解：∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD=90°． Rt△ACD中，AD=2r=10，AC=5． 根据勾股定理，得：CD==5， ∴CD=AD， ∴∠DAC=30°， ∴∠B=∠D=90°﹣30°=60°； 故选：D． 2．如图，点A、C、B在⊙O上，已知∠AOB=∠ACB=a，则a的值为（　　） A．135° B．100° C．110° D．120° 【解答】解：∵∠ACB=a ∴优弧所对的圆心角为2a ∴2a+a=360° ∴a=120°． 故选：D． 【课堂检测】 A组--基础训练 1．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（　　） A．或2 B．或2 C．或2 D．或2 解：过B作直径，连接AC交AO于E， ∵点B为的中点， ∴BD⊥AC， 如图①， ∵点D恰在该圆直径的三等分点上， ∴BD=×2×3=2， ∴OD=OB﹣BD=1， ∵四边形ABCD是菱形， ∴DE=BD=1， ∴OE=2， 连接OC， ∵CE==， ∴边CD==； 如图②，BD=×2×3=4， 同理可得，OD=1，OE=1，DE=2， 连接OC， ∵CE===2， ∴边CD===2， 故选：D． 2．如图，已知：在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（　　） A．70° B．45° C．35° D．30° 解：∵OA⊥BC，∠AOB=70°， ∴=， ∴∠ADC=∠AOB=35°． 故选：C． 3．如图，AB是⊙O的直轻，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA=　　． 解：∵点C是半径OA的中点， ∴OC=OD， ∵DE⊥AB， ∴∠CDO=30°， ∴∠DOA=60°， ∴∠DFA=30°， 故答案为：30° 4．如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的弦，点D是劣弧AC上一点，若点E在直径AB另一侧的半圆上，且∠AED=27°，则∠BCD的度数为　　． 解：连接AD，BD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵∠AED=27°， ∴∠DBA=27°， ∴∠DAB=90°﹣27°=63°， ∴∠DCB=180°﹣63°=117° 故答案为：117° 5．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是直径，且∠CAD=56°，则∠B的度数为　　°． 解： 连接DC， ∵AD为直径， ∴∠ACD=90°， ∵∠CAD=56°， ∴∠D=90°﹣56°=34°， ∴∠B=∠D=34°， 故答案为：34． 5．如图，在⊙O中，=，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC． 证明：∵=， ∴AB=AC ∴△ABC是等腰三角形 ∵∠ACB=60° ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=CA ∴∠AOB=∠BOC=∠COA． 7．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上． （1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数； （2）若OC=3，OA=5，求AB的长． 解：（1）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB， ∴=， ∴∠DEB=∠AOD=×52°=26°； （2）根据勾股定理得，AC===4， ∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB， ∴AB=2AC=2×4=8． B组--巩固训练 1．如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中： ①；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 解：如图连接OB、OD； ∵AB=CD， ∴=，故①正确 ∵OM⊥AB，ON⊥CD， ∴AM=MB，CN=ND， ∴BM=DN， ∵OB=OD， ∴Rt△OMB≌Rt△OND， ∴OM=ON，故②正确， ∵OP=OP， ∴Rt△OPM≌Rt△OPN， ∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确， ∵AM=CN， ∴PA=PC，故③正确， 故选：D． 2．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②CB平分∠ABD；③∠AOC=∠AEC；④AF=DF；⑤BD=2OF．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解：①∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BD， 故①正确； ②∵OC∥BD， ∴∠OCB=∠DBC， ∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC， ∴∠OBC=∠DBC， ∴BC平分∠ABD， 故②正确； ③∵∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角， ∴∠AOC≠∠AEC， 故③不正确； ④∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BD， ∵OC∥BD， ∴∠AFO=90°， ∵点O为圆心， ∴AF=DF， 故④正确； ⑤由④有，AF=DF， ∵点O为AB中点， ∴OF是△ABD的中位线， ∴BD=2OF， 故⑤正确； 综上可知：其中一定成立的有①②④⑤， 故选：C． 3．如图，小明将一块三角板放在⊙O上，三角板的一直角边经过圆心O，测得AC=5cm，AB=3cm，则⊙O的半径长为（　　） A．2.85cm B．2.9cm C．3.1cm D．3.4cm 解：作OH⊥BC于H，如图，则CH=BH， 在Rt△ACB中，BC===， ∴CH=BC=， ∵∠OCH=∠BCA， ∴Rt△COH∽Rt△CBA， ∴=，即=， ∴OC=3.4． 故选：D． 4．如图，在Rt△AOB中，∠B=40°，以OA为半径，O为圆心作⊙O，交AB于点C，交OB于点D．求的度数． 解：连接OC， ∵∠O=90°，∠B=40°， ∴∠A=180°﹣90°﹣40°=50°， ∵OA=OC， ∴∠ACO=∠A=50°， ∴∠COD=∠ACO﹣∠B=10°， ∴的度数是10°．． 5．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，过点A作AE∥CD交⊙O于点E，连接BD，DE，求证：BD=DE． 证明：连接OE，如图， ∵OA=OE，∴∠A=∠OEA， ∵AE∥CD，∴∠BOD=∠A，∠DOE=∠OEA， ∴∠BOD=∠DOE， ∴BD=DE． 6．如图，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB．求证：． 证明：连结OC、OD，如图， ∵AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点， ∴OM=ON， ∵CM⊥AB，DN⊥AB， ∴∠OMC=∠OND=90°， 在Rt△OMC和Rt△OND中， ， ∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL）， ∴∠COM=∠DON， ∴=． 7．如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC于E，连接BE，若AC=8，DE=2，求 （1）求半圆的半径长； （2）BE的长度． 解：（1）设圆的半径为r， ∵D是弧AC中点， ∴OD⊥AC，AE=AC=4， 在Rt△AOE中，OA2=OE2+AE2，即r2=（r﹣2）2+42， 解得，r=5，即圆的半径长为5； （2）连接BC， ∵AO=OB，AE=EC， ∴BC=2OE=6， ∵AB是半圆的直径， ∴∠ACB=90°， ∴BE==2． C组--提升训练 1．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，则与的关系是（　　） A．= B．= C．= D．不能确定 解：连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E， ∵把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O， ∴OD=OE， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴OD∥BC， ∵OA=OB， ∴OD=BC， ∴BC=OE=OB=OC， ∴∠COB=60°， ∴∠AOC=120°， ∴=， 故选：A． 2．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AC=12，AB=10，D是AC上一个动点，以AD为直径的⊙O交BD于E，则线段CE的最小值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 解：如图，连接AE，则∠AED=∠BEA=90°， ∴点E在以AB为直径的⊙Q上， ∵AB=10， ∴QA=QB=5， 当点Q、E、C三点共线时，QE+CE=CQ（最短）， 而QE长度不变，故此时CE最小， ∵AC=12， ∴QC==13， ∴CE=QC﹣QE=13﹣5=8， 故选：D． 3．如图：四边形ABMN，BCPQ是四角都是直角的全等四边形（AB≤BC），点R在线段AC上移动，则满足∠NRP=90°的点R的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．1个或2个 D．无数多个 解：设两个矩形的长是a，宽是b．连接PN，延长PQ交AN于H，连接BN，BP， 在△PNH中， 根据勾股定理可得： PN==， 过PN的中点E作EF⊥AC于点F． 则EF是梯形ANPC的中位线， 则EF=（a+b）； 以PN为直径的圆，半经为的圆， 又（a+b）=a+b≤， 而只有a=b是等号才成立， 由a≤b，可得圆与直线AC相交或相切，则直角顶点R的位置有两个或一个． 故选：C． 4．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于F． （1）求证：CF=BF； （2）若CD=6，AC=8，求BE、CF的长． （1）证明：延长CE交⊙O于点P， ∵CE⊥AB， ∴=， ∴∠BCP=∠BDC， ∵C是的中点， ∴CD=CB， ∴∠BDC=∠CBD， ∴∠CBD=∠BCP， ∴CF=BF； （2）∵CD=6，AC=8， ∴AB=10， ∴BE==3.6， ∴CE==4.8，设CF=x，则FE=4.8﹣x，BF=x， ∴（4.8﹣x）2+3.62=x2， ∴x=． 5．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，AD⊥BC于D，BE⊥AC交AD于H，若CF是⊙O的直径． （1）求∠FCB的度数； （2）求证：AH=CF． 解：（1）连接BF，则∠F=∠BAC=60°， ∵CF是⊙O的直径， ∴∠FBC=90°， ∴∠FCB=90°﹣∠F=30°； （2）证明：连接AF， ∵CF是⊙O的直径， ∴∠FAC=90°， ∴FA⊥AC， ∵BE⊥AC， ∴FA∥BE， ∵∠FBC=90°， ∴FB⊥BC， ∵AD⊥BC， ∴FB∥AD， ∴四边形FBHA是平行四边形， ∴AH=FB， 在Rt△FBC中，∠FCB=30°， ∴FB=FC， 即AH=FC． 【课后巩固】 1．如图，△ABC中，∠C=90°，以AC为半径的⊙C与AB相交于点D，若∠B=40°，则的度数为　　． 解：连接CD， ∵∠ACB=90°，∠B=40°， ∴∠A=90°﹣∠B=50°， ∵CA=CD， ∴∠A=∠CDA=50°， ∴∠ACD=180°﹣2∠A=80°， ∴的度数为80°． 故答案是：80°． 2．如图所示的暗礁区，两灯塔A，B之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S）不进入暗礁区，那么S对两灯塔A，B的视角∠ASB必须（　　） A．大于60° B．小于60° C．大于30° D．小于30° 解：连接OA，OB，AB，BC，如图所示： ∵AB=OA=OB，即△AOB为等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∵∠ACB与∠AOB所对的弧都为， ∴∠ACB=∠AOB=30°， 又∠ACB为△SCB的外角， ∴∠ACB＞∠ASB，即∠ASB＜30°． 故选：D． 3．如图，，C、D分别是半径OA、OB的中点，连接PC、PD交弦AB于E、F两点． 求证：（1）PC=PD；（2）PE=PF． 证明：（1）连接PO， ∵， ∴∠POC=∠POD． ∵C、D分别是半径OA、OB的中点， ∴OC=OD． ∵PO=PO， ∴△PCO≌△PDO． ∴PC=PD． （2）∵△PCO≌△PDO， ∴∠PCO=∠PDO． ∵OA=OB， ∴∠A=∠B． ∴∠AEC=∠BFD． ∴∠PEF=∠PFE． ∴PE=PF． 4．已知：如图，⊙O中的弦AB与弦CD交于点P，点M、N分别是AB、CD的中点，=，求证：△PMN是等腰三角形． 证明：连结OM，ON，OA，OD， ∵=， ∴=， ∴AB=CD， ∵点M、N分别是AB、CD的中点， ∴∠OMA=∠OMP=90°，∠OND=∠ONP=90°，AM=AB，DN=CD， ∴AM=DN， ∵OA=OD， 在Rt△OMA和Rt△OND中，OM=，ON=， ∴OM=ON， ∴∠OMN=∠ONM， ∴∠PMN=∠PNM， ∴PM=PN， ∴△PMN是等腰三角形． 5．如图所示，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于点D．若AB=10，AC=6，求BC、BD的长． 解：（1）∵AB是直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）， 在Rt△ABC中，AB=10，AC=6， ∴BC===8，即BC=8； ∵AB是直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°， ∵∠ACB的平分线交⊙O于点D， ∴∠DCA=∠BCD， ∴=， ∴AD=BD， ∴在Rt△ABD中，AD=BD=AB=×10=5，即BD=5． 6．如图，点B，C为⊙O上一动点，过点B作BE∥AC，交⊙O于点E，点D为射线BC上一动点，且AC平分∠BAD，连接CE． （1）求证：AD∥EC； （2）连接EA，若BC=6，则当CD=　　时，四边形EBCA是矩形． （1）证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠DAC， ∵∠E=∠BAC， ∴∠E=∠DACM ∵BE∥AC， ∴∠E=∠ACE， ∴∠ACE=∠DAC， ∴AD∥EC． （2）解：当四边形ACBE是矩形时，∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠ACD=90°， ∵∠BAC=∠DAC， ∴∠ABD=∠D， ∴AB=AD， ∴BC=CD=6， 故答案为6． 7．如图，点A、B、C是圆O上的三点，AB∥OC （1）求证：AC平分∠OAB； （2）过点O作OE⊥AB于E，交AC于点P，若AB=2，∠AOE=30°，求圆O的半径OC及PE的长． （1）证明：∵AB∥OC， ∴∠C=∠BAC． ∵OA=OC， ∴∠C=∠OAC． ∴∠BAC=∠OAC． 即AC平分∠OAB． （2）∵OE⊥AB， ∴AE=BE=AB=1． 又∵∠AOE=30°，∠PEA=90°， ∴∠OAE=60°．OA=2， ∴∠EAP=∠OAE=30°， ∴PE=AE×tan30°=1×=， 即PE的长是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$