第13讲 由平行线分线段成比例与相似三角形（知识清单+3大题型+好题必刷） 【暑假预习】2025年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第13讲 由平行线分线段成比例与相似三角形（知识清单+3大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 由平行判断成比例的线段 题型二 由平行截线求相关线段的长或比值 题型三 相似三角形综合 知识清单 知识点1．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 知识点2．相似多边形的性质 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等． 题型练习 【题型一】由平行判断成比例的线段 【例1】（九年级上·浙江·专题练习）已知线段，，，求作线段x，使，则下列作图中（）作法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】选项A中，由可得：，即有，不合题意； 选项B中，由可得：，即有，不合题意； 选项C中，由可得：，即有，不合题意； 选项D中， ∵， ∴， ∴， 故选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，直线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：∵， ∴，， 观察四个选项，选项A正确，符合题意， 故选：A． 2．（九年级·浙江·学业考试）如图，中，，，点在的延长线上，且，连接并延长，作于，若，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】全等三角形综合问题、由平行判断成比例的线段 【分析】过点B作BF⊥CD于F，由“AAS”可证△BFC≌△CEA，可得CF＝AE＝，BF＝CE，由平行线分线段成比例可求EF＝DF，由三角形中位线定理可求BF＝CE＝，由三角形面积公式可求解． 【详解】解：如图，过点B作BF⊥CD于F， ∴∠BFC＝∠AEC＝90°， ∴∠BCF+∠FBC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCF+∠ACE＝90°， ∴∠ACE＝∠FBC， 在△BFC与△CEA中， ， ∴△BFC≌△CEA（AAS）， ∴CF＝AE＝，BF＝CE， ∵BF⊥CD，AE⊥CD， ∴BF∥AE， ∴， ∴EF＝DF， 又∵AB＝BD， ∴BF＝AE＝， ∴CE＝BF＝， ∴EF＝＝DF， ∴△BCD的面积＝×CD×BF＝×（）×＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例，三角形中位线定理，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）图①，图②，均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②恰定的网格中按要求画图．（要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．） (1)在图①中，画出格点线段，使且． (2)在图②中，作出线段的三等分点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】格点作图题、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理． （2）根据格点特点作且即可； （3）取格点P、Q，E、F连接，交格线于点K、T，则K、T即为所求． 【详解】（1）解：如图即为所求作； （2）如图即为所求； 【题型二】由平行截线求相关线段的长或比值 【例2】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，直线，直线和被，，所截，，，则的长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】A 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，点，在直线上，点，在直线上，且，若，，，，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D．6 【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知，，若，则的长为 ． 【答案】8 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由题意可得，结合计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟知平行线分线段成比例是解题的关键． （1）根据和的长度，再结合平行线分线段成比例即可解决问题； （2）根据题意得出，进而得出，再结合的长即可解决问题． 【详解】（1）解：因为， 所以． 又因为， 所以， 故答案为：； （2）解：因为， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以． 【题型三】相似三角形综合 【例3】（九年级上·全国·期中）如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，则下列结论成立的是（　　） A．△PAB∽△PCA B．△ABC∽△DBA C．△PAB∽△PDA D．△ABC∽△DCA 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐条分析判断． 【详解】∵∠APD=90°，而∠PAB≠∠PCA，∠PBA≠∠PAC，∴无法判定△PAB与△PCA相似，故A错误； 同理，无法判定△PAB与△PDA，△ABC与△DCA相似，故C、D错误； ∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，∴AB=PA，AC=PA，AD=PA，BD=2PA，∴=，∴，∴△ABC∽△DBA，故B正确． 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法． 【举一反三】 1．（九年级上·浙江宁波·期末）如图，是半圆的直径，为弧中点，点、分别在弦、上，且.若设，，则关于的函数图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意列出y与x的函数解析式即可. 【详解】∵为弧中点 ∴∠CAF=45° ∵  ，∠C为公共角 ∴△CFE∽△CAF 即CF2=CE·CA 令圆直径AB=2a，OF=a-x 在△COF中，CF2=OC2+OF2=a2+（a-x）2 CE= y=AE=AC-CE=- 即开口向下的抛物线. 故答案选：D. 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用. 2． 如图，是的中线，点F在上，延长交于于点D，若，，则= ． 【答案】/ 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点E作交于G，可得，所以，得到，再根据，得，得到，即可求解． 【详解】解：如下图，过点E作交于G， 是的中线， 点E是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，过点E作，构造相似三角形是解题的关键． 3．（九年级上·浙江宁波·期末）已知：如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D，AC与BD相交于点F． （1）求证：DB＝DC； （2）若DA＝DF，求证：△BCF∽△BDC． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可证∠EAD=∠DCB，再根据圆周角定理可证∠DAC=∠DBC，又已知∠EAD=∠DAC，即∠DCB=∠DBC得证，再根据等角对等边即可得证． （2）先根据DA＝DF得出∠DAF＝∠DFA，再根据圆周角定理∠DAF＝∠FBC，对顶角∠DFA＝∠BFC，得出∠FBC＝∠BFC，再根据相似三角形的判定解答即可． 【详解】证明：（1）∵AD是∠EAC的平分线， ∴∠EAD＝∠DAC， ∵∠EAD是圆内接四边形ABCD的外角， ∴∠EAD＝∠DCB（圆内接四边形外角等于内对角）， 又∵∠DAC＝∠DBC， ∴∠DCB＝∠DBC， ∴DB＝DC； （2）∵DA＝DF， ∴∠DAF＝∠DFA， ∵∠DAF＝∠FBC，∠DFA＝∠BFC， ∴∠FBC＝∠BFC， ∵∠DCB＝∠DBC， ∴∠DCB＝∠BFC，而∠FBC＝∠DBC， ∴△BCF∽△BDC． 【点睛】本题考查了圆周角定理，内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，找到角之间的关系是解题的关键 好题必刷 一、单选题 1．如图，在中，点D，E分别在，边上，．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例，得到； 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是找准对应线段． 2．已知：线段a，b，c，求作线段x，使x＝，以下作法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：由A得，，则x＝，不符合题意； 由B得，，则x＝，符合题意； 由C得，，则x＝，不符合题意； 由D得，，则x＝，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键． 3．如图，l1∥l2∥l3，若，DF=6，则DE等于（ ） A．3 B．3.2 C．3.6 D．4 【答案】C 【详解】试题解析：根据平行线分线段成比例定理，可得： 设 解得： 故选C. 4．如图，与相交于点O，若，则的长为（    ） A．4 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】由平行线分线段成比例定理，得到；利用AO、BO、DO的长度，求出CO的长度，再根据BC=BO+CO即可解决问题． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴； ∵AO=3，CO=2，BO=6， ∴， 解得：DO=4， ∴BD=BO+DO=4+6=10. 故选B. 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是读懂题意，掌握平行线分线段成比例. 5．如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出． 【详解】解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意； B．∵， ∴， ∴一定成立，故B不符合题意； C．∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴一定成立，故C不符合题意； D．不一定成立，故D符合题意． 6．如图，△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是(      )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴＝，BD≠BC， ∴≠，选项A不正确； ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴＝，EF=BD，＝， ∵≠， ∴≠，选项B不正确； ∵EF∥AB， ∴＝，选项C正确； ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴＝，=，CE≠AE， ∴≠，选项D不正确； 故选C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，在解答时寻找对应线段是关键． 7．如图，点是的边延长线上一点，分别交、的延长线于点、，则图中相似三角形共有（ ）对． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平行四边形的性质得BC∥AD，AB∥CD，△ABD∽△CDB，再利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，由AB∥CF得到△EAB∽△EFC，由AD∥EC得到△AFD∽△EFC，则△EAD∽△AFD；再由AD∥BE得△ADG∽△EBG；由DF∥AB得到△GDF∽△GBA． 【详解】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BC∥AD，AB∥CD，△ABD∽△CDB， ∵AB∥CF， ∴△EAB∽△EFC， ∵AD∥EC， ∴△AFD∽△EFC， ∴△EAD∽△AFD； ∵AD∥BE， ∴△ADG∽△EBG； ∵DF∥AB， ∴△GDF∽△GBA． 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．也考查了平行四边形的性质． 8．如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，C，F和点B，D，E．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．根据平行线分线段成比例定理可得，由此即可得． 【详解】解：，， ， ， 故选：D． 9．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.若，则下列结论中一定正确的是（    ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．③和④相似 【答案】B 【分析】由题图可知，，由，可得 即可得出 【详解】由题图可知，，结合，可得. 故选B. 【点睛】当题中所给条件中有两个三角形的两边成比例时，通常考虑利用“两边成比例且夹角相等”的判定方法判定两个三角形相似一定要记准相等的角是两边的“夹角”，否则，结论不成立（类似判定三角形全等的方法“SAS"）. 10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝3cm，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC力向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC翻折，点P的对应点为R，设点Q运动的时间为t秒，若四边形PCRQ为菱形，则t的值为（　　） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】作PE⊥BC于E，根据菱形的性质得到QE=EC，根据直角三角形的性质得到AB=6cm，根据平行线分线段成比例定理得到比例式，解出x的值即可． 【详解】作PE⊥BC于E． ∵四边形PCRQ为菱形， ∴QE=EC=（3﹣t）． ∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=3cm， ∴AB=6cm， ∴BP=6﹣2t． ∵PE⊥BC，∠ACB=90°， ∴PE∥AC， ∴，即， 解得：t=1． 故选C． . 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、菱形的性质及翻折变换的性质，灵活运用翻折变换的性质、找准对应边和对应角是解题的关键． 二、填空题 11．如图，在中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使，那么可添加的条件是 ． 【答案】 （答案不唯一，也可以增加条件：或）． 【分析】题目中相似的两个三角形已经有一个公共角，可以再增加一对相等的角，用两组角相等判定两三角形相似，也可以增加两组对应边成比例，利用两组边对应成比例及夹角相等判定两三角形相似． 【详解】若增加条件：∠ACD=∠ABC， ∵∠ACD=∠ABC，且∠A=∠A， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，比较简单，熟练掌握相似三角形的三种判定方法是解题的关键． 12．的三边长，，，的三边长，，，则 ． 【答案】 【分析】根据已知条件可知两三角形的对应边成的比值相等，由此即可得答案. 【详解】∵AB=5，BC=4，AC=3， A'B'=10，B'C'=8，A'C'=6， ∴AB： A′B′=BC：B′C′=AC：A′C′=1：2， ∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′， 故答案为∽. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟知三边的比对应相等的两个三角形相似是解题的关键. 13．如图，AB∥CD∥EF，直线、与这三条平行线分别交于点A、D、F和点B、C、E．若AD：DF＝3：1，BE＝10，则CE的长为 ． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，则BC=3CE，然后利用BC+CE=BE=10可计算出CE的长． 【详解】解：∵AB//CD//EF， ∴， ∴BC=3CE， ∵BC+CE=BE， ∴3CE+CE=10， ∴CE=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 14．如图，其中相似三角形共有 对． 【答案】6 【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似及相似三角形的传递性进行求解． 【详解】如图，设CD与BE交于F． ∵∠AEB=∠ADC=90°，∠A=∠A； ∴△ACD∽△ABE； 同理可得△BDF∽△BEA∽△CDA∽△CEF． 因此本题中共有6对相似三角形． 故答案为6． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 15．如图，l1l2l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=5，DE=2，AC=15，则EF= ． 【答案】4 【分析】根据l1∥l2∥l3，由平行线分线段成比例定理得到成比例线段，代入已知数据计算即可得到答案． 【详解】∵l1∥l2∥l3， ∴， 又∵AB=5，DE=2，AC=15， ∴BC=10， ∴ ∴EF=4， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理的内容，找准对应关系是解题的关键． 16．如图，点是的弦延长线上一点，连接，取的中点，若，垂足为点，，则的长为 ． 【答案】10 【分析】作OD⊥AB于点D，根据垂径定理得：BD＝4，根据平行线分线段成比例定理可得B是PD的中点，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】解：过O作OD⊥AB于D，则∠ODB＝90°， ∴BD＝AB， ∵AB＝8， ∴BD＝4， ∵CB⊥AP， ∴∠CBP＝90°， ∴∠CBP＝∠ODB ∴ODBC， ∴ ∵C是OP的中点， ∴ PC＝PO ∴＝ ∴B是PD的中点， ∴PB＝BD＝4， ∵BC＝3， ∴PC＝， ∴OP＝2PC＝10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了垂径定理、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是关键． 三、解答题 17．作图题：请用直尺和圆规将线段分成的两段．要求：不写作法，但需保留作图痕迹． 【答案】详见解析 【分析】设线段两端点为A、B，过点A作射线AC，在射线AC上截取线段AD、DE，使得AD：DE=3：2，连接EB，由平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：如图，设线段两端点为、， 过点作射线，在射线上截取线段、，使得， 连接，过作，交于点， 由平行线分线段成比例可知． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段是解题的关键． 18．如图，a∥b∥c．直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F． （1）若AB=3，BC=5，DE=4，求EF的长； （2）若AB：BC=2：5，DF=10，求EF的长． 【答案】(1)；(2)． 【详解】试题分析：（1）根据平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例性质求EF； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例性质求EF即可． 试题解析：（1）∵a∥b∥c， ∴，即， 解得； （2）∵a∥b∥c， ∴， ∴， 解得． 考点：平行线分线段成比例． 19．如图，在中，D，E分别是和上的点，且． (1)如果，那么的长是多少？ (2)如果，那么的长是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理求解即可； （2）利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键根据平行线分线段成比例定理列出比例式进行求解． 20．如图，△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC，求证：AM2＝AB•AD． 【答案】详见解析. 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，然后利用比例的基本性质变形即可． 【详解】证明：∵MN∥BC， ∴， ∵DN∥MC， ∴， ∴， 即AM2＝AD•AB． 【点睛】此题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式并根据比例的基本性质变形是解决此题的关键. 21．如图, AD 、 BC交于点 O, BA 、 DC的延长线交于点 P, ．试说明：①△ PAC∽△ PDB;②△ PBC∽△ PDA． 【答案】①见解析；②见解析 【详解】试题分析：由PA•PB=PC•PD，根据比例性质得，再加上公共角，于是可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似得到结论． 试题解析：①在△ PAC和△ PDB中， ∵∠ APC=∠ DPB, ∴△ PAC∽△ PDB． ②在△ PBC和△ PDA中， ∵∠ BPC=∠ DPA, ． ∴△ PBC∽△ PDA． 22．如图，Rt△ABC中，AB=12cm，BC=10cm，点D从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B移动，到达点B处停止运动，在移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC（点E、F分别在AC、BC上）．点D出发几秒后四边形DFCE的面积为20cm2？    【答案】3+秒或3﹣秒 【分析】根据四边形DFCE的面积=△ABC的面积﹣△ADE的面积﹣△DBF的面积=20cm2，列方程求解即可； 【详解】解：设运动时间为ts，则AD=2tcm，DB=（12﹣2t）cm． ∵DF∥AC， ∴， ∴， ∴BF=（12﹣2t）， ∵DE∥BC， ∴， ∴， ∴DE=t， 根据题意得：×12×10﹣×2t×t﹣×（12﹣2t）×（12﹣2t）=20． 整理得t2﹣6t+6=0， 解得：t1=3+，t2=3﹣． ∴D出发3+或3﹣秒后四边形DFCE的面积为20cm2． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的应用，根据四边形DFCE的面积=△ABC的面积﹣△ADE的面积﹣△DBF的面积=20cm2列关于t的方程是解题的关键． 23．如图，已知∥∥，它们依次交直线、于点、、和点、、，，；    （1）求、的长； （2）如果，，求的长； 【答案】（1）AB=4；BC=10；（2）9. 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出AB的长，得出BC的长； （2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=7，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH，即可得出结果． 【详解】（1）∵AD∥BE∥CF ∴ ∴ ∵AC＝14     ∴AB=4 ∴BC= （2）    过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G 又∵AD∥BE∥CF，AD=7 ∴AD=HE=GF=7 ∵CF=14      ∴CG=147=7 ∵BE∥CF ∴ ∴BH=2 ∴BE=2+7=9 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键． 24．已知的半径为，弦． (1)求圆心O到弦的距离． (2)若弦恰好是的中位线，以中点E为圆心，R为半径作，当和相切时，求R的值． 【答案】(1) (2)当两圆外切时，半径，当两圆内切时，半径 【分析】（1）过O作于F，交于E，根据等腰三角形性质求出，根据勾股定理求出即可； （2）由中位线的性质可知，，再由平行线分线段成比例定理得，然后分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：过O作于F，交于E， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即圆心O到弦的距离是； （2）解 ：∵是的中位线， ∴，， ∴， ∴， 即， 分为两种情况：当两圆外切时，半径， 当两圆内切时，半径． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线，平行线分线段成比例定理，圆与圆的位置关系的应用，注意分类讨论的思想． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 由平行线分线段成比例与相似三角形（知识清单+3大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 由平行判断成比例的线段 题型二 由平行截线求相关线段的长或比值 题型三 相似三角形综合 知识清单 知识点1．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 知识点2．相似多边形的性质 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等． 题型练习 【题型一】由平行判断成比例的线段 【例1】（九年级上·浙江·专题练习）已知线段，，，求作线段x，使，则下列作图中（）作法正确的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，直线，则（    ） A． B． C． D． 2．（九年级·浙江·学业考试）如图，中，，，点在的延长线上，且，连接并延长，作于，若，则的面积为 ． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）图①，图②，均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②恰定的网格中按要求画图．（要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．） (1)在图①中，画出格点线段，使且． (2)在图②中，作出线段的三等分点． 【题型二】由平行截线求相关线段的长或比值 【例2】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，直线，直线和被，，所截，，，则的长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，点，在直线上，点，在直线上，且，若，，，，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D．6 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知，，若，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． (1)求的值； (2)求的长． 【题型三】相似三角形综合 【例3】（九年级上·全国·期中）如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，则下列结论成立的是（　　） A．△PAB∽△PCA B．△ABC∽△DBA C．△PAB∽△PDA D．△ABC∽△DCA 【举一反三】 1．（九年级上·浙江宁波·期末）如图，是半圆的直径，为弧中点，点、分别在弦、上，且.若设，，则关于的函数图像大致是（    ） A． B． C． D． 2． 如图，是的中线，点F在上，延长交于于点D，若，，则= ． 3．（九年级上·浙江宁波·期末）已知：如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D，AC与BD相交于点F． （1）求证：DB＝DC； （2）若DA＝DF，求证：△BCF∽△BDC． 好题必刷 一、单选题 1．如图，在中，点D，E分别在，边上，．若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．已知：线段a，b，c，求作线段x，使x＝，以下作法正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，l1∥l2∥l3，若，DF=6，则DE等于（ ） A．3 B．3.2 C．3.6 D．4 4．如图，与相交于点O，若，则的长为（    ） A．4 B．10 C．11 D．12 5．如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是(      )    A． B． C． D． 7．如图，点是的边延长线上一点，分别交、的延长线于点、，则图中相似三角形共有（ ）对． A． B． C． D． 8．如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，C，F和点B，D，E．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.若，则下列结论中一定正确的是（    ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．③和④相似 10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝3cm，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC力向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC翻折，点P的对应点为R，设点Q运动的时间为t秒，若四边形PCRQ为菱形，则t的值为（　　） A． B．2 C．1 D． 二、填空题 11．如图，在中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使，那么可添加的条件是 ． 12．的三边长，，，的三边长，，，则 ． 13．如图，AB∥CD∥EF，直线、与这三条平行线分别交于点A、D、F和点B、C、E．若AD：DF＝3：1，BE＝10，则CE的长为 ． 14．如图，其中相似三角形共有 对． 15．如图，l1l2l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=5，DE=2，AC=15，则EF= ． 16．如图，点是的弦延长线上一点，连接，取的中点，若，垂足为点，，则的长为 ． 三、解答题 17．作图题：请用直尺和圆规将线段分成的两段．要求：不写作法，但需保留作图痕迹． 18．如图，a∥b∥c．直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F． （1）若AB=3，BC=5，DE=4，求EF的长； （2）若AB：BC=2：5，DF=10，求EF的长． 19．如图，在中，D，E分别是和上的点，且． (1)如果，那么的长是多少？ (2)如果，那么的长是多少？ 20．如图，△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC，求证：AM2＝AB•AD． 21．如图, AD 、 BC交于点 O, BA 、 DC的延长线交于点 P, ．试说明：①△ PAC∽△ PDB;②△ PBC∽△ PDA． 22．如图，Rt△ABC中，AB=12cm，BC=10cm，点D从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B移动，到达点B处停止运动，在移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC（点E、F分别在AC、BC上）．点D出发几秒后四边形DFCE的面积为20cm2？    23．如图，已知∥∥，它们依次交直线、于点、、和点、、，，；    （1）求、的长； （2）如果，，求的长； 24．已知的半径为，弦． (1)求圆心O到弦的距离． (2)若弦恰好是的中位线，以中点E为圆心，R为半径作，当和相切时，求R的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$