专题2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（高效培优讲义）数学人教A版2019高二选择性必修第一册

专题2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 教学目标 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系． 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．体会用代数方法处理几何问题的思想. 3.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 4.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想. 教学重难点 1.重点 掌握如何判断直线与圆、圆与圆的位置关系 2.难点 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 知识点01 直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有_______公共点；（2）直线与圆相切，只有_______公共点；（3）直线与圆相离，_______公共点． 2．直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法：判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C_______；有一组实数解时，直线与圆C_______；无实数解时，直线与圆C_______． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交；当时，直线与圆C相切；当时，直线与圆C相离． 【即学即练】 1．设直线，圆，则与圆C（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 2．直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 知识点02 圆的切线方程的求法 1．点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即______________． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2．点在圆外，则设切线方程：______________，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 【即学即练】 1．已知点在圆上，则过点M的圆C的切线方程为 ． 2．已知为圆上一点，过点的圆的切线的方程为 . 知识点03 求直线被圆截得的弦长的方法 1．应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系______________，这也是求弦长最常用的方法． 2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 【即学即练】 1．已知直线与圆相交于，两点，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．已知直线与圆相交于A、B两点，若，则（    ） A．1 B． C． D． 知识点04 圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点；（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；（3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2．圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆_______；有一组实数解时，两圆_______；方程组无解时，两圆_______． （2）几何法：设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交；当时，两圆外切；当时，两圆外离； 当时，两圆内切；当时，两圆内含． 【即学即练】 1．已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2．在平面内与点距离为1，与点距离为2的直线共有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 题型01 不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系 【典例1】已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．与有关，不能确定 直线与圆的位置关系判断方法 法一抓住直线与圆的位置关系的代数特征，从而转化为对方程的解的研究，这是研究直线与曲线的位置关系的基本方法；法二抓住直线与圆的位置关系的几何特征，从而转化为研究圆心到直线的距离，抓住几何特征对于研究圆的问题特别有效；法三通过判定直线过圆内一定点，从而使问题获证．由上述三种解法可知，解题的切入点不同，解法就有优劣之分．因此，在解题时，审题要慢，要仔细地分析题意，透彻地理解题意，挖掘其中的隐含条件，从而找到解决问题的捷径． 【变式1】已知直线：与圆：，则（    ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 【变式2】已知圆，直线，则（   ） A．直线经过定点 B．直线与圆相交 C．圆心到直线距离为时，直线的倾斜角为或 D．时，直线被圆截得的弦长最短 【变式3】直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 题型02 由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标 【典例1】若轴与圆相切，则（    ） A． B． C． D． 直接联立求解． 【变式1】若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知在中，，，的角平分线与的外接圆相交于点，，则（  ） A．1 B． C． D． 【变式3】在平面直角坐标系中，已知，，，圆过，，三点． (1)求圆的方程； (2)若斜率小于0的直线与交于，两点，与直线交于点，且，求的面积． 题型03 切线与切线长问题 【典例1】已知圆，过直线上一点P作圆C的切线，切点为A、B，则的最小值为 ． 求圆的切线方程一般有三种方法： （1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；（2）待定系数法；（3）定义法． 一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况． 【变式1】过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为 ． 【变式2】过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【变式3】已知是直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，，则面积的最大值为（ ） A． B． C．1 D．2 题型04 弦长问题 【典例1】已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的取值范围为 ． ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：． 【变式1】，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 【变式2】已知直线与圆交于A、B两点，若，则a的值是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知动直线：若直线与直线平行，则的值为 ；若动直线被圆所截，则截得的弦长最短为 ． 题型05 判断圆与圆的位置关系 【典例1】圆与圆的位置关系是 ． 已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则： （1）两圆外离；（2）两圆外切；（3）两圆相交；（4）两圆内切；（5）两圆内含； 【变式1】已知点，分别在圆，上，点，则下列说法正确的是（   ） A．圆，相交 B．的最大值为 C．点到直线距离大于 D．当最大时， 【变式2】已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【变式3】已知圆，直线，则下列结论错误的是（    ） A．直线l与圆C不可能相切 B．当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 C．恰有三条直线与圆C和圆都相切 D．直线l与直线垂直 题型06 由圆的位置关系确定参数 【典例1】圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与、d与的大小关系来判定即可． 【变式1】已知，若两圆和恰有一条公切线，则的最大值为（    ）． A． B． C．2 D． 【变式2】已知点，，若圆上存在点满足，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知圆和，动圆与圆均相切，是的内心，且，则的值为（　　） A． B． C．或 D． 题型07 公共弦与切点弦问题 【典例1】若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ）． A．5 B． C． D．10 （1）圆的切线方程的求法 ①点在圆上， 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． ②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． （2）常见圆的切线方程 过圆上一点的切线方程是； 过圆上一点的切线方程是． 过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论． 两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得． 【变式1】已知圆与圆相交于两点，则四边形的面积等于 . 【变式2】圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【变式3】在平面直角坐标系中，点的坐标满足（为参数）， (1)求点的轨迹的方程； (2)求曲线：与曲线公共弦的长. 题型08 公切线问题 【典例1】圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 利用几何法进行转化． 【变式1】若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【变式2】已知圆和圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 【变式3】若圆与圆有且仅有三条公切线， ． 题型09 圆中范围与最值问题 【典例1】圆上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地： （1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． （2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． （3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题 【变式1】是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】在平面直角坐标系中，已知点与点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是 . 【变式3】已知点，若圆上存在点满足，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型10 圆系问题 【典例1】圆与的公共弦长为（   ） A． B． C． D．4 圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为： 简记为：，不含 当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴） 注意：与圆C共根轴l的圆系 【变式1】已知圆，圆，则（    ） A．当时，圆与圆相切 B．当时，圆与圆相交于两点，且直线的方程为 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆相交于两点，且 【变式2】已知圆与圆交于、两点，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知和，则下列说法正确的是（   ） A．两圆相交，有两个公共点 B．两圆的公共弦所在直线方程为 C．两圆公共弦长度为 D．经过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程为 1．已知，，若在以原点为圆心的单位圆上存在两个不同的点P满足，则实数的取值范围是 2．若点关于直线对称的点在圆上，且在第一象限内，则实数的值为（       ） A． B．2 C． D． 3．已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 4．已知圆，一条过点的直线将圆分成面积相等的两部分，且该直线在碰到直线后反射，射出的直线恰好和圆相切，则的值为 ． 5．在平面直角坐标系中，动点到、两点的距离的平方和为10，则的取值范围为 . 6．已知圆，直线，若直线与轴交于点，过直线上一点作圆的切线，切点为，且，则的取值范围是 . 7．在平面直角坐标系中，圆的方程为，斜率为的直线过点且与圆相交于，两点．若，则所有满足条件的直线的斜率之积为（    ） A． B．6 C．3 D． 8．在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过l上一点P作圆的两条切线，切点分别为M、N，设线段的中点为Q，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 9．已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．已知圆：，直线：. (1)求圆的圆心及半径； (2)求直线被圆截得的弦的长度. 11．已知圆 (1)若直线，，，经过圆心，求的最大值． (2)若直线过点且与圆有且仅有一个公共点，求该直线的方程． 12．已知圆：，若圆上存在两点关于直线：对称. (1)求的值 (2)过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程. 13．在平面直角坐标系中．点，直线，．圆经过两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)当直线与圆相切时，求实数的值． (3)若直线与圆相交于两点，当变化时，是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出一个的坐标；若不存在，请说明理由． 14．已知过点的直线与圆相交于、两点，直线．    (1)当时，求直线的方程； (2)设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值； (3)是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 15．已知点，，，动点到的距离是到点距离的2倍，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知动点在直线上，过作曲线的两条切线分别切于两点，直线与分别交于，连接交于． （i）直线是否过定点，如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由； （ii）求的最小值． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 教学目标 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系． 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．体会用代数方法处理几何问题的思想. 3.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 4.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想. 教学重难点 1.重点 掌握如何判断直线与圆、圆与圆的位置关系 2.难点 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 知识点01 直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点． 2．直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法：判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交；有一组实数解时，直线与圆C相切；无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交；当时，直线与圆C相切；当时，直线与圆C相离． 【即学即练】 1．设直线，圆，则与圆C（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心C到直线l的距离， 故直线与圆C相离． 故选：C. 2．直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 【答案】A 【详解】的圆心和半径分别为， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交但不经过圆心， 故选：A 知识点02 圆的切线方程的求法 1．点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2．点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 【即学即练】 1．已知点在圆上，则过点M的圆C的切线方程为 ． 【答案】 【详解】由于点在圆上， 所以，所以圆， 所以圆心，， 所以过点M的圆C的切线的斜率为， 所以过点M的圆C的切线方程为， 化简得. 故答案为： 2．已知为圆上一点，过点的圆的切线的方程为 . 【答案】 【详解】由圆，可得圆心坐标为，则， 则过点的圆的切线的斜率为，且 所以过点的圆的切线的切线方程为， 即，即. 故答案为：. 知识点03 求直线被圆截得的弦长的方法 1．应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 【即学即练】 1．已知直线与圆相交于，两点，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】设圆心到直线的距离为， 则由点到直线的距离公式可得， 因为，圆的半径为，所以，解得. 故选：D. 2．已知直线与圆相交于A、B两点，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意有圆心到直线的距离为， 所以， 又解得. 故选：C. 知识点04 圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点；（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；（3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2．圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离． （2）几何法：设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交；当时，两圆外切；当时，两圆外离； 当时，两圆内切；当时，两圆内含． 【即学即练】 1．已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【详解】，圆心，半径， 可化简为， 则圆的圆心为，半径， ，所以两圆相交. 故选：C. 2．在平面内与点距离为1，与点距离为2的直线共有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【详解】∵在平面内与点距离为1的直线的是以为圆心1为半径的圆的切线， 同理可得与点距离为2的直线是以为圆心2为半径的圆的切线， 满足条件的直线为两圆的公切线， ， 两圆的位置关系为外离，公切线有4条， 故满足条件的直线有4条. 故选：D 题型01 不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系 【典例1】已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．与有关，不能确定 【答案】C 【详解】直线， 即， 令，解得， 即直线过点， 又， 则点在圆内， 所以直线与圆相交，有个公共点， 故选：C. 直线与圆的位置关系判断方法 法一抓住直线与圆的位置关系的代数特征，从而转化为对方程的解的研究，这是研究直线与曲线的位置关系的基本方法；法二抓住直线与圆的位置关系的几何特征，从而转化为研究圆心到直线的距离，抓住几何特征对于研究圆的问题特别有效；法三通过判定直线过圆内一定点，从而使问题获证．由上述三种解法可知，解题的切入点不同，解法就有优劣之分．因此，在解题时，审题要慢，要仔细地分析题意，透彻地理解题意，挖掘其中的隐含条件，从而找到解决问题的捷径． 【变式1】已知直线：与圆：，则（    ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 【答案】C 【详解】已知圆：，则圆心为，半径为， 圆心到直线的距离，即直线经过圆心. 故选：C. 【变式2】已知圆，直线，则（   ） A．直线经过定点 B．直线与圆相交 C．圆心到直线距离为时，直线的倾斜角为或 D．时，直线被圆截得的弦长最短 【答案】ABD 【详解】对于A选项，直线的方程可化为， 由得，故直线过定点，A对； 对于B选项，因为，即点在圆内， 故直线与圆相交，B对； 对于C选项，圆心为，圆心到直线的距离为， 解得，此时直线的方程为，该直线的斜率为，倾斜角为，C错； 对于D选项，当时，直线的方程为，， 此时，圆心到直线的距离取最大值，则直线被圆截得的弦长最短，D对. 故选：ABD. 【变式3】直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】C 【详解】因直线过定点， 由配方得：，可得圆心为，半径为， 因为，所以点在圆内，故直线与圆相交. 故选：C. 题型02 由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标 【典例1】若轴与圆相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆心到轴的距离为，且轴与圆相切，所以， 故选：A． 直接联立求解． 【变式1】若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得， 直线经过定点，如图， ， 当直线与半圆相切时，， 所以恰有两个公共点时，由图可知，， 故选：D． 【变式2】已知在中，，，的角平分线与的外接圆相交于点，，则（  ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】    以为坐标原点，为轴，为轴建系， 设，则 则中点坐标为， 因为，， 所以的外接圆即为以中点为圆心，半径为1的圆， 方程为：， 由的角平分线的平分线方程为：， 两方程联立可得：， 解得或， 所以的坐标为， 又， 所以， 即，结合， 可得：， 即， 故选：A 【变式3】在平面直角坐标系中，已知，，，圆过，，三点． (1)求圆的方程； (2)若斜率小于0的直线与交于，两点，与直线交于点，且，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设圆的标准方程为， 由圆过，得，解得， 所以圆的方程为. （2）依题意，设直线的方程为，点在直线上， 由，得，又，则， 于是直线的方程为， 由消去得，解得点的横坐标， 于是， 而点到直线的距离， 所以的面积为.    题型03 切线与切线长问题 【典例1】已知圆，过直线上一点P作圆C的切线，切点为A、B，则的最小值为 ． 【答案】1 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离，又， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为1. 故答案为：1 求圆的切线方程一般有三种方法： （1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；（2）待定系数法；（3）定义法． 一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况． 【变式1】过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设圆的圆心为，半径为1， 由切线长定理可得， 又因为，，则，所以， 所以，则四边形面积为， 所以， 当的长最小时，弦长最小， 而的最小值为圆心到直线的距离， 所以，所以． 故答案为：. 【变式2】过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【详解】已知圆的方程为，可得圆心，半径. 因为PQ为圆的切线，所以， 在中，根据勾股定理可得. 已知，则. 点，根据两点间距离公式，可得. 因为，当且仅当时，，此时取得最小值，. 因为，当取最小值时，， 则. 的最小值为. 故选：A. 【变式3】已知是直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，，则面积的最大值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】∵圆心O到直线的距离，所以， 设 ，，所以，，所以， 则面积 故选：A. 题型04 弦长问题 【典例1】已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】依题意，圆，圆心，半径为， 直线过定点，，故点在圆内， 当直线过圆心时，弦长最大，为直径， 当直线与垂直时，弦长最小， 此时的最小值为，故的取值范围为． 故答案为：． ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：． 【变式1】，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 【答案】2 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 【变式2】已知直线与圆交于A、B两点，若，则a的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由圆可知圆心，半径， 由，解得， 则圆心到直线的距离为，则，解得. 故选：C． 【变式3】已知动直线：若直线与直线平行，则的值为 ；若动直线被圆所截，则截得的弦长最短为 ． 【答案】 【详解】当时，显然不符合题意， 当时，由两直线平行，得，解得或， 当时，两直线重合，不符合，所以． 由得，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 截得的弦长为， 当且仅当时，取等号． 故截得的弦长最短为． 故答案为：；. 题型05 判断圆与圆的位置关系 【典例1】圆与圆的位置关系是 ． 【答案】相交 【详解】由题设，且对应半径为，且对应半径为， 所以，故，即两圆相交. 故答案为：相交 已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则： （1）两圆外离；（2）两圆外切；（3）两圆相交；（4）两圆内切；（5）两圆内含； 【变式1】已知点，分别在圆，上，点，则下列说法正确的是（   ） A．圆，相交 B．的最大值为 C．点到直线距离大于 D．当最大时， 【答案】BCD 【详解】对于选项 A：圆 的圆心为 ，半径 ； 圆 的圆心为 ，半径 ； 两圆心间距离：， ， 因为 ，所以两圆外离，不相交；故A 错误； 对于选项 B：点 在 上，点 在 上，两圆外离， ，故B 正确； 对于选项 C：过点A作圆的切线（取靠近圆的一条）， 过点作切线的垂线垂足为，过点作垂线，垂足为， 此时的长即为点到直线距离的最小值. 易知，在中，，； 因为为圆的切线，所以易得； ， ， ，故C正确； 对于选项D:过点A分别作两圆的切线，切点分别为，，如下图所示： 由图易得，此时.故D正确. 故选：BCD 【变式2】已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【详解】圆关于直线对称， 圆心在直线上，，， 圆，即，圆心为，半径为． 圆的标准方程是，圆心，半径， 所以， 所以圆与圆的位置关系是相交． 故选：B. 【变式3】已知圆，直线，则下列结论错误的是（    ） A．直线l与圆C不可能相切 B．当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 C．恰有三条直线与圆C和圆都相切 D．直线l与直线垂直 【答案】B 【详解】对于A项，整理直线 可得出， 解方程组可得，直线过定点. 圆的圆心为，半径为， 则， 所以点在圆内，即直线过圆内一定点， 所以，直线l与圆C一定相交，不可能相切.故A正确； 对于B项，当时，直线化为. 此时有圆心到直线的距离，且， 因此圆C上只有两个点到直线l的距离等于1.故B错误； 对于C项，圆可化为， 圆心为，半径为. 因为，所以两圆外切， 即恰有三条直线与圆C和圆都相切，故C正确； 对于D项，因为， 所以直线l与直线垂直，故D项正确. 故选：B 题型06 由圆的位置关系确定参数 【典例1】圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 【答案】B 【详解】两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为， 由圆，则圆心，半径， 点到公共弦所在直线的距离， 公共弦长为，则，解得或， 由圆，整理可得， 则，所以或. 故选：B. 利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与、d与的大小关系来判定即可． 【变式1】已知，若两圆和恰有一条公切线，则的最大值为（    ）． A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】圆，即，圆心，半径 圆，即，圆心，半径 两圆恰有一条公切线，说明两圆内切，圆心距等于半径之差： 令，则最大值为 故选：B. 【变式2】已知点，，若圆上存在点满足，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若为坐标原点，则， 所以， 所以点落在以原点为圆心，以为半径的圆上， 又因为点落在以为圆心，以为半径的圆上， 所以点是两圆的交点，即两圆有交点， 由圆与圆的位置关系得到，解得， 所以的最大值为. 故选：A. 【变式3】已知圆和，动圆与圆均相切，是的内心，且，则的值为（　　） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径， 由，得，是圆内含于圆，设圆M的半径为r， 由P为的内心，设内切圆的半径为，由， 得，整理得， 当动圆M内切于圆，与圆外切（），则， ，则，，因此a＝17； 当动圆M内切于圆，圆内切于动圆M时，则， ，则，，得a＝19 所以a＝17或19. 故选：C． 题型07 公共弦与切点弦问题 【典例1】若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ）． A．5 B． C． D．10 【答案】A 【详解】，，， 由，解得，或， 则， 因为，所以四边形的面积为. 故选：A. （1）圆的切线方程的求法 ①点在圆上， 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． ②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． （2）常见圆的切线方程 过圆上一点的切线方程是； 过圆上一点的切线方程是． 过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论． 两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得． 【变式1】已知圆与圆相交于两点，则四边形的面积等于 . 【答案】9 【详解】由已知，圆，圆， 圆心，半径，圆心，半径， 法一：如图，准确画图，容易发现四边形是边长为3正方形，其面积为9； 法二：将两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程为： 到距离为，所以，即， 又， 所以，四边形的面积. 故答案为：9. 【变式2】圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 圆的圆心为，半径为， 联立与得公共弦所在直线为， 圆心到直线的距离为， 故弦长为， 故选：C 【变式3】在平面直角坐标系中，点的坐标满足（为参数）， (1)求点的轨迹的方程； (2)求曲线：与曲线公共弦的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得， 两式平方再相加得. （2）曲线：和曲线： 的方程作差得：，将代入曲线：中得， 所以两个交点分别为：，所以公共弦长为 题型08 公切线问题 【典例1】圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆的方程等价于， 所以圆是以为圆心，为半径的圆， 圆 是以为圆心，为半径的圆， 所以圆，圆的圆心距为， 圆，圆半径之和为， 即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切， 所以圆，圆有3条公切线． 故选：C 利用几何法进行转化． 【变式1】若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 【变式2】已知圆和圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 【答案】D 【详解】解：由题可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径 对于A，显然，圆与圆相交，故A错误; 对于B，易知两圆相交，将方程与相减， 得公共弦所在直线的方程为，故B错误; 对于C，因为，， 所以公切线段长为，故C错误; 对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条， 又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P， 即过点P可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确; 故选：D. 【变式3】若圆与圆有且仅有三条公切线， ． 【答案】 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 由，得到， 则，即，圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆有且仅有三条公切线，所以圆与圆外切， 则，即，解得， 故答案为：. 题型09 圆中范围与最值问题 【典例1】圆上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】已知圆的标准方程为：，则其圆心,半径. 直线方程为，根据点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离为： . 因为，那么圆与直线相离. 因此，圆上点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径，即： 故选:A. 涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地： （1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． （2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． （3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题 【变式1】是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径. 因为到直线的距离， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与该圆相离， 所以的最小值为. 故选：C. 【变式2】在平面直角坐标系中，已知点与点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】设，因为， 所以，化简得， 则圆与圆有公共点，所以，即，解得. 故答案为：. 【变式3】已知点，若圆上存在点满足，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径， 则，，其中为坐标原点， 可得， 则，可知点的轨迹为以圆心，半径的圆， 设为圆，由题意可知：圆与圆有公共点， 则，即， 解得， 所以实数的最大值为． 故选：A． 题型10 圆系问题 【典例1】圆与的公共弦长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】圆：  ①，所以，. 圆：  ②，所以，. 因为，所以圆与圆相交. 因此公共弦所在直线的方程为①②：， 圆的圆心到公共弦的距离为， 即公共弦长为. 故选：A 圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为： 简记为：，不含 当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴） 注意：与圆C共根轴l的圆系 【变式1】已知圆，圆，则（    ） A．当时，圆与圆相切 B．当时，圆与圆相交于两点，且直线的方程为 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆相交于两点，且 【答案】AB 【详解】圆，则， 圆的圆心，半径为；圆的圆心，半径为， 则，，， 对于A，当时， ，，则，故两圆内切，故A正确； 对于B， 当时，，，则，故两圆相交，又圆，故直线的方程为，故B正确； 对于D，由选项B可知，此时圆心到直线的距离为，则，故D错误； 对于C，两圆相交，则，即，解得，故C错误. 故选：AB. 【变式2】已知圆与圆交于、两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆即，圆心，半径； 圆即，圆心，半径， 因为，则，所以两圆相交， 则两圆的公共弦方程为， 则到的距离， 所以. 故选：A 【变式3】已知和，则下列说法正确的是（   ） A．两圆相交，有两个公共点 B．两圆的公共弦所在直线方程为 C．两圆公共弦长度为 D．经过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程为 【答案】ABD 【详解】因为：，所以，. ：，所以，. 所以. 对A选项：因为，即，所以两圆相交，有两个公共点，故A正确； 对B选项：由， 所以两圆的公共弦所在直线方程为即，故B正确； 对C选项：到直线的距离为：，所以两圆的公共弦长度为：，故C错误； 对D选项：设所求圆的方程为：（） 整理得：. 因为圆心在直线上，所以. 所以所求圆的方程为：即， 配方得：.故D正确. 故选：ABD 1．已知，，若在以原点为圆心的单位圆上存在两个不同的点P满足，则实数的取值范围是 【答案】 【详解】由题意，设点，因为，， 则， 所以，即， 因为以原点为圆心的单位圆上存在两个不同的点， 所以与以原点为圆心的单位圆有两个交点， 所以，解得， 故答案为： 2．若点关于直线对称的点在圆上，且在第一象限内，则实数的值为（       ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】显然在圆上，又直线经过该圆的圆心， 所以点关于直线对称的点在圆上， 又点关于直线对称的点在圆上， 所以对称点为圆和圆的交点，联立得交点为（舍去第四象限的点）， 所以与两点所在直线，与垂直，故. 故选：D. 3．已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】B 【详解】直线过定点，圆， 易知 设到距离为， ， 当时，. 故选:B． 4．已知圆，一条过点的直线将圆分成面积相等的两部分，且该直线在碰到直线后反射，射出的直线恰好和圆相切，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为一条过点的直线将圆分成面积相等的两部分， 所以该直线经过圆心. 所以该直线的斜率为. 所以该直线的方程为，倾斜角为. 因为该直线碰到直线后反射，那么射出的直线与轴的夹角为， 中，当时，， 从而射出的直线的斜率为，且射出的直线经过点. 所以射出的直线方程为，即. 又该射出的直线恰好与圆相切，所以圆心到该直线的距离为圆的半径， 即. 故答案为：.    5．在平面直角坐标系中，动点到、两点的距离的平方和为10，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由动点到点距离的平方和为10，得， 则点的轨迹方程为，点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆， 可看作是点与点连线的斜率， 设直线，即，则圆心到直线的距离， 由直线与圆有公共点，得圆心到直线的距离，整理得，解得或， 所以的取值范围为． 故答案为： 6．已知圆，直线，若直线与轴交于点，过直线上一点作圆的切线，切点为，且，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】设，则 ，整理得，， 即点在圆上， 又点在直线上， 故直线与圆有交点， 即，则，解得. 故答案为：. 7．在平面直角坐标系中，圆的方程为，斜率为的直线过点且与圆相交于，两点．若，则所有满足条件的直线的斜率之积为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】D 【详解】如图，由题意得，圆心，半径． 因为， 且， 所以，解得， 所以． 设圆心到直线的距离为，由垂径定理可得 ，即，所以． 由题意知直线的方程为， 所以圆心到直线的距离， 即， 两边平方，得， 化简得． 设方程的两根分别为， 由根与系数关系，得. 故选：D． 8．在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过l上一点P作圆的两条切线，切点分别为M、N，设线段的中点为Q，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】设点，， 因为是圆的切线，所以， 所以在以为直径的圆上， 其圆的方程为， 又在圆上， 则将两个圆的方程作差得直线的方程：， 即，所以直线恒过定点， 又因为，四点共线，所以， 即在以为直径的圆上， 其圆心为，半径为， 所以， 所以的最大值为. 故选：D． 9．已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】关于直线的对称直线为， 则题设等价于函数的图象和的图象有两个交点． 令等价于， 设直线和相切， 由，解得或（舍）， 又当直线过点时，解得， 所以k的取值范围是. 故选：A． 10．已知圆：，直线：. (1)求圆的圆心及半径； (2)求直线被圆截得的弦的长度. 【答案】(1)圆心，半径 (2) 【详解】（1）圆：的标准方程为：， ∴圆的圆心为，半径为. （2）由（1）可知：圆的圆心为，半径为. 弦中点，连接，，如图所示. 由圆的性质可知，. ∴圆心到直线：的距离.    在中，，∴， 即直线被圆截得的弦的长度为. 11．已知圆 (1)若直线，，，经过圆心，求的最大值． (2)若直线过点且与圆有且仅有一个公共点，求该直线的方程． 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）圆的圆心坐标为，半径， 因为直线经过圆心， 所以，又，， ，当且仅当时等号成立， 即， 所以的最大值为； （2）过点斜率不存在的直线为， 联立，可得， 所以直线与圆有且只有一个交点，满足条件， 过点的斜率为的直线方程为， 若直线与圆有且只有一个交点， 则点到直线距离为， 所以，化简可得， 解得，即直线方程为， 所以若直线过点且与圆有且仅有一个公共点， 则该直线方程为或. 12．已知圆：，若圆上存在两点关于直线：对称. (1)求的值 (2)过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）因为圆：可化为， 所以圆心为，半径为， 因为圆C上存在两点关于直线：对称，则直线经过圆心， 将代入，即 ，解得. （2）依题意，设圆心到直线距离为d，因为，则． 当直线l斜率不存在时，直线方程l为，符合题意； 当直线l斜率存在时，设直线l方程为，即， 所以圆心到直线l的距离，解得， 直线l的方程为，即， 综上所述，直线l的方程为或. 13．在平面直角坐标系中．点，直线，．圆经过两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)当直线与圆相切时，求实数的值． (3)若直线与圆相交于两点，当变化时，是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出一个的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)为点时，为定值 【详解】（1）设圆心坐标为 ，因为圆心在直线 上， 则， 因为利用圆经过点和，所以， 两边平方后得， 整理得，又，解得，，所以圆心为， 的以圆的半径， 所以圆的标准方程为； （2）因为， 由题意可得 的距离为，所以 两边平方，化简得，解得或； （3）直线的方程为 即， 由，解得，所以直线经过定点， 又，所以点在圆外， 设过的直线与圆的切点为， 则有，又， 所以 所以当为定点时，为定值. 14．已知过点的直线与圆相交于、两点，直线．    (1)当时，求直线的方程； (2)设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值； (3)是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)存在直线，使得向量与共线，直线的方程为 【详解】（1）（解法一）设弦的中点为， ①当直线的斜率不存在时，易知符合题意．            ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为即， ，，则由，解得， 此时直线的方程为， 故直线的方程为或； （解法二）易知直线的斜率不为零，设直线方程为， ，，则由，解得或， 故直线的方程为或； （2）（解法一）由于、为圆的两条切线， 所以， 又，而的最小值为点到直线的距离，   所以， 故四边形面积的最小值为； （解法二） （前两步同解法一） 设点的坐标为，则， ， 所以当时，， 故四边形面积的最小值为； （3）易知直线的斜率不为零，设直线的方程为，、， 由，可得， 可得， 所以，所以， 则，所以. 又，，所以， 若向量与共线，则， 由，可得，解得， 当时，， 所以存在直线，使得向量与共线， 直线的方程为，即. 15．已知点，，，动点到的距离是到点距离的2倍，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知动点在直线上，过作曲线的两条切线分别切于两点，直线与分别交于，连接交于． （i）直线是否过定点，如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由； （ii）求的最小值． 【答案】(1)； (2)（i）过定点，定点坐标为；（ii）. 【详解】（1）由题意得，则，设， 则， 化简得 （2）（i）设， 则以为直径的圆为：. 与方程作差可得直线为：. 即，则，解得. 则过定点. （ii）首先证明一个结论，标准圆， 其圆上任意一点，在该点处的切线方程为， 证明如下，当直线的斜率和直线的斜率均存在且不为0时，则，， 则切线方程为，即。 当直线的斜率不存在时，此时，，易得切线方程为，适合， 当直线的斜率为0时，此时，，易得切线方程为，适合， 综上圆上任意一点，在该点处的切线方程为. 设，， 则化简直线为：. 过定点，所以有（*） 直线为：，令，则，则 同理，直线为：，则同理得 则直线为： 即 同理直线为： 由，交于可知 两式作差可得 对比（*）式可得 即，即也在直线上. 则. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$