精品解析：陕西省汉中市2024-2025学年高一下学期期末校际联考数学试题

陕西省汉中市2024-2025学年高一下学期期末校际联考数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数虚部为（ ） A. -3 B. -3i C. 1 D. i 3. 已知半径为2的扇形面积为5，则扇形的圆心角为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5 4. 如图，水平放置的的斜二测直观图是，其中，则（ ） A B. 2 C. D. 5. 甲、乙、丙准备在茶话会上表演节目，假设他们三人出场先后的可能性相等，则乙比丙先出场的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知中，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 函数在，上的图象大致为 A. B. C. D. 8. 给白炽灯加上一个不透光材料做的灯罩，可以降低或消除白炽灯对眼睛造成的眩光，某一灯罩的防止眩光范围，可用遮光角来衡量.遮光角是指灯罩边沿和发光体边沿的连线与水平线所成的夹角，图中灯罩的遮光角满足.若图中，且，则（ ） A. 21 B. 33 C. 42 D. 55 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 棱柱的侧面一定是平行四边形 B. 用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台 C. 空间中不同的三点可以确定唯一平面 D. 过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行 10. 已知平面向量，则下列说法正确是（ ） A. 可能垂直 B. 可能共线 C. 若，则 D. 若，则在方向上的投影向量为 11. 设函数，若区间上具有单调性，且，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 图象关于直线对称 C. 图象关于点中心对称 D. 存在，使得成立 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算＝________. 13. 已知复数满足，则_________________. 14. 在平行四边形ABCD中，为BC的中点，，则______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）若复数对应的点在直线上，求实数的值； （2）是的共轭复数，且为纯虚数，求实数的值. 16. 已知. （1）若是第二象限角，求的值； （2）求的值 17. 由正方体截去三棱锥后得到几何体如图所示，为AC与BD的交点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 18. 已知函数，将函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象. （1）求的单调递增区间； （2）在中，若，求面积的最大值 19. 在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，为底面中心，M,E分别为PA,PD的中点，为等腰直角三角形，且. （1）若平面平面，判断直线与BC的位置关系并证明； （2）求异面直线MO与EC所成角的余弦值； （3）若F,N分为CE,DE的中点，点在线段PB上，且，若平面平面ABCD，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 陕西省汉中市2024-2025学年高一下学期期末校际联考数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集进行求解即可. 【详解】因为集合， 所以. 故选：B. 2. 复数的虚部为（ ） A. -3 B. -3i C. 1 D. i 【答案】A 【解析】 【分析】首先化简等式求出复数，然后根据虚部的定义确定正确选项. 【详解】因为复数， 所以虚部为-3. 故选：A. 3. 已知半径为2的扇形面积为5，则扇形的圆心角为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形面积公式可求出扇形的圆心角. 【详解】设圆心角为，半径为, 扇形面积为，所以. 故选：B. 4. 如图，水平放置的的斜二测直观图是，其中，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则：与轴平行长度保持不变，与轴平行的长度变为原来的一半，恢复原图形长度，再根据勾股定理即可求解. 【详解】根据斜二测画法和可知：. 所以. 故选：. 5. 甲、乙、丙准备在茶话会上表演节目，假设他们三人出场先后的可能性相等，则乙比丙先出场的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式计算即可. 【详解】甲、乙、丙三人出场顺序为甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲共6种， 其中乙比丙先出场为甲乙丙，乙甲丙，乙丙甲共3种， 所以乙比丙先出场的概率为， 故选：B 6. 已知中，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理可求得结果. 【详解】根据正弦定理可得：， ，解得. 因为，所以，所以. 故选：A. 7. 函数在，上的图象大致为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先判断函数的奇偶性，利用奇偶性的对称性可排除；再由（1）可排除，进而得到正确选项． 【详解】， 故函数为奇函数， 函数图象关于原点对称，可排除； 又，可排除． 故选：． 【点睛】本题考查利用函数性质确定函数图象，考查了函数的奇偶性，考查数形结合思想，属于基础题． 8. 给白炽灯加上一个不透光材料做的灯罩，可以降低或消除白炽灯对眼睛造成的眩光，某一灯罩的防止眩光范围，可用遮光角来衡量.遮光角是指灯罩边沿和发光体边沿的连线与水平线所成的夹角，图中灯罩的遮光角满足.若图中，且，则（ ） A. 21 B. 33 C. 42 D. 55 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角公式，弦化切得到，代入式子得到，解得答案. 【详解】， 所以，则，因为，所以， 所以， 解得， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 棱柱侧面一定是平行四边形 B. 用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台 C. 空间中不同的三点可以确定唯一平面 D. 过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行 【答案】AD 【解析】 【分析】根据圆锥和圆台的结构特征即可求解AB，根据空间中点线面的关系即可求解CD. 【详解】对于A, 棱柱的侧面一定是平行四边形,A正确， 对于B，用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台，故B错误， 对于C, 空间中不在同一直线上的不同的三点可以确定唯一平面，C错误， 对于D 过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行,D正确， 故选：AD 10. 已知平面向量，则下列说法正确的是（ ） A. 可能垂直 B. 可能共线 C. 若，则 D. 若，则在方向上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示、向量共线的坐标表示、向量的模的坐标表示和投影向量的公式对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 若，则，即， 不存在这样的，所以不可能垂直，A错误； 对于选项B： 若共线，那么， 根据正切函数的值域，存在使其成立，所以可能共线，B正确； 对于选项C： 若，则向量， 所以，所以，所以C正确； 对于选项D： 若，则向量， 那么在方向上投影向量为，所以D正确. 故选：BCD. 11. 设函数，若在区间上具有单调性，且，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 图象关于直线对称 C. 图象关于点中心对称 D. 存在，使得成立 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意可判断出，判断A;根据，确定对称轴，对称中心，判断BC；，，判断D. 【详解】若在区间上具有单调性，则，则， 又，则， 因为， 所以一条对称轴为，一个对称中心横坐标为， 对称中心为， 则，所以，， 所以对称轴为，对称中心为， 对于A，，故A正确； 对于B，当时，对称轴为，故B正确； 对于C，假设图象关于点中心对称，则，此时，不符合题意，故C错误； 对于D，，，则，， 若，则 则，则， 故在，不存在使得成立，故D错误， 故选：AB. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算＝________. 【答案】1 【解析】 【分析】 将式中的用代换，然后利用两角差的正切公式可得答案 【详解】解：＝＝tan 45°＝1. 故答案为：1 【点睛】此题考查两角差的正切公式的应用，属于基础题. 13. 已知复数满足，则_________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的运算化简，即可由模长公式求解. 【详解】由可得， 故， 故答案为： 14. 在平行四边形ABCD中，为BC的中点，，则______________. 【答案】1 【解析】 【分析】应用平行四边形法则及加减法运算化简，结合平面向量基本定理得参数值. 【详解】在平行四边形中，为的中点，， ，又因为， 且因为不共线，所以. 故答案为：1. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）若复数对应的点在直线上，求实数的值； （2）是的共轭复数，且为纯虚数，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数对应点为，即可求解； （2）根据复数的乘法化简可得，即可根据纯虚数的特征求解. 【小问1详解】 ，对应的点为， 由于在直线上，故，解得； 【小问2详解】 ，， 故且，解得. 16. 已知. （1）若是第二象限角，求的值； （2）求的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的正切可求出的正弦和余弦，然后利用和差的余弦函数计算即可. （2）利用正弦函数的二倍角公式和商数关系将式子化简成只含有正切的形式，继而可求出结果. 【小问1详解】 因为，所以. 因为，是第二象限角， 所以. 所以. 【小问2详解】 . 17. 由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行即可，即证明. （2）要证明面面平行，需通过证明一平面内的两条相交直线与另一平面平行即可. 【小问1详解】 取的中点，连接. 则. 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，不在平面内， 所以平面. 【小问2详解】 因为，平面，不在平面内， 所以平面. 由（1）知，平面. 因为平面， 所以平面平面. 18. 已知函数，将函数图象向左平移个单位长度，得到函数图象. （1）求的单调递增区间； （2）在中，若，求面积的最大值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角可得，结合题意可得，从而可求解； （2）由（1）可得，再由余弦定理及基本不等式可得，再利用三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】 由， 将向左平移个单位得， 则当，时，单调递增， 故的单调递增区间为. 【小问2详解】 由，因，所以， 由余弦定理得，当且仅当时取等号， 所以， 故面积的最大值为. 19. 在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，为底面中心，M,E分别为PA,PD的中点，为等腰直角三角形，且. （1）若平面平面，判断直线与BC的位置关系并证明； （2）求异面直线MO与EC所成角的余弦值； （3）若F,N分为CE,DE的中点，点在线段PB上，且，若平面平面ABCD，求实数的值. 【答案】（1），证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理和性质定理证明即可. （2）由三角形中位线转化得异面直线与所成角即为与夹角，由余弦定理求解即可； （3）连接，由面面平行的性质定理及平行线的性质即可得到结果. 【小问1详解】 证明：因为底面ABCD为平行四边形， 所以， 又因为面，面， 所以面， 又因为面，面平面， 所以. 【小问2详解】 连接，则为中点，又点为中点，所以， 异面直线与所成角即为与夹角， 在等腰直角三角形中，设，则，，， 在中，由余弦定理得，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 连接，如图所示， 因为为的中点，为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 则，即，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$