江苏省南通市启东市2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷

2024-2025学年江苏省南通市启东市八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知一直角三角形两直角边的长分别为，，则它的斜边长为(    ) A. B. C. D. 2.如图，在平行四边形中，是边延长线上一点，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 3.若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是(    ) A. B. C. D. 4.古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说：“美的线型和其他一切美的形体，都必须有对称形式．”下面以数学家名字命名的图形中，是中心对称图形的是(    ) A. 谢尔宾斯基三角形 B. 科克曲线 C. 赵爽弦图 D. 毕达哥拉斯树 5.对于一次函数，下列描述正确的是 A. 随的增大而减小 B. 图象与直线平行 C. 点在函数图象上 D. 图象与轴的交点为 6.如图，四边形的对角线，交于点，根据图中所标数据，再添加一个条件，使四边形为矩形，添加的条件可以是(    ) A. B. C. D. 7.关于的一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8.学校组织运动会报名，每位学生最多能报个项目下表是八年级六班名学生报名项目个数的统计表： 报名项目个数 人数 其中报名个项目和个项目的学生人数还未统计完毕无论这个班报名个项目和个项目的学生各有多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是(    ) A. 中位数，众数 B. 平均数，方差 C. 平均数，众数 D. 众数，方差 9.在、两地之间有汽车站、、三地在同一直线上，甲车由地驶往站，乙车由地驶往地，两车同时出发，匀速行驶甲、乙两车离站的路程，千米与行驶时间小时之间的函数图象如图所示下列说法错误的是(    ) A. 两车经过小时后相遇 B. 甲车的速度是千米小时 C. 乙车小时后到达终点 D. 乙车到达站后，还要行驶千米到达终点 10.如图，为菱形的对角线上的动点，以，为邻边作平行四边形，若，，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，共30分。 11.如图，从电线杆离地面处向地面拉一条长为的钢缆，则地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为______． 12.一元二次方程的根是______． 13.如图，小宇注意到跷跷板处于静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面分别为，的中点，若，则点距离地面的高度为______． 14.一次排球邀请赛中，每个队之间都要比一场、赛程计划安排天，每天安排场比赛设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列一元二次方程为______化用一般式表示 15.学校举办的体育运动会中，铅球选手小亮、小松两名同学分别投掷了次铅球，把小亮、小松同学的成绩绘制成折线图如图所示小亮、小松两名同学成绩较稳定的是______ 16.如图，把个相同的矩形填充到菱形中，如果测得每个矩形的周长为，那么菱形的周长为______． 17.风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用如图，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为轴建立平面直角坐标系如图所示，已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为______． 18.在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位长度，得到点，点在直线上如果一次函数的图象与线段有公共点，则的取值范围为______． 三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 如图，在边长为的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． 画出关于原点对称的； 画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点，点的坐标． 20.本小题分 小龙在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图勘测，得到如下记录：测得水平距离的长为米；根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；小龙牵线放风筝的手到地面的距离长为米． 求风筝到地面的距离线段的长； 如果小龙想要风筝沿方向再上升米，和的长度不变，则他应该再放出______米线． 21.本小题分 关于的方程 求证：方程恒有两个不相等的实数根； 若此方程的一个根为，求的值； 求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长． 22.本小题分 【阅读材料】 老师的问题： 已知：如图，直线，点在上，点在上． 求作：菱形，使点，分别在 ，上 小明的作法： 分别以和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧和较于，两点； 作直线，分别交，于，； 连接，． 四边形就是所求作的菱形． 【解答问题】 请你判断小明的作法是否正确，并说明理由． 23.本小题分 为了解、两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了、两款智能玩具飞机各架，记录下它们运行的最长时间分钟，并对数据进行整理、描述和分析运行最长时间用表示，共分为三组：合格，中等，优等，下面给出了部分信息： 款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间是：，，，，，，，，，． 款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：，，，，． 两款智能玩具飞机运行最长时间统计表 类别 平均数 中位数 众数 方差 根据以上信息，解答下列问题： 上述图表中 ______， ______， ______； 根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由写出一条理由即可； 若某玩具仓库有款智能玩具飞机架、款智能玩具飞机架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？ 24.本小题分 如图，甲容器已装满水，高为厘米的乙容器装有一定高度的水，由甲容器向乙容器注水，单位时间注水量一定，设注水时间为分，甲容器水面高为，乙容器水面高度为，其中与成正比例，且当时，；与成一次函数关系，部分对应值如表： 分 分别写出与与的函数关系式，并求出未注水时乙容器原有水的高度． 当两个容器水面高度相同时，这个高度称为平衡高度，求甲、乙两个容器的平衡高度． 当甲容器的水完全注入乙容器时，乙容器是否注满？是，说明理由；不是，需调整乙容器原有水的高度，求符合条件的乙容器原有水的高度． 25.本小题分 【问题情境】 如图，在矩形中，，将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点． 【猜想证明】 当时，判断四边形的形状并说明理由； 如图，当时，连接，求此时的面积； 【能力提升】 在【问题情境】的条件下，是否存在，使点，，三点共线若存在，请直接写出此时的长度；若不存在，请说明理由． 26.本小题分 如图是一个“函数求值机”的示意图其中是的函数下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组与的对应值． 输入 输出 根据以上信息，解答下列问题： 当输入的的值为时，此时输出的的值为______； 当输出的的值满足时，求输入的的值的取值范围； 若输入的值分别为，，对应输出的值分别为，，是否存在实数，使得恒成立？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：直角三角形两直角边的长分别为，， 斜边长为， 故选：． 直接根据勾股定理求解即可． 本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：四边形是平行四边形， ， ． 故选：． 利用平行四边形的性质求出，可得结论． 本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质． 3.【答案】  【解析】解：由一元二次方程的定义可知，“”可以是， 故选：． 根据一元二次方程的定义判断作答即可． 本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：． 根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合． 5.【答案】  【解析】解：、函数中，，随的增大而增大，故本选项错误； B、函数的图象沿轴向上平移个单位长度得，故图象与直线平行，故本选项正确； C、把代入解析式得到，即点在函数图象上，故本选项错误； D、把代入解析式得到，即图象与轴的交点为，故本选项错误； 故选：． 根据一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可． 本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数的性质：当，图象经过第一、三象限，随增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随增大而减小；当，图象与轴的交点在的上方；当，图象经过原点；当，图象与轴的交点在的下方，也考查了一次函数的图象与几何变换． 6.【答案】  【解析】解：添加， 理由：，， ， ， ， ， 四边形为矩形， 故选：． 根据直角三角形的性质得到，推出，根据矩形的判定定理即可得到结论． 本题考查了矩形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：对于一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 判断出判别式的值，可得结论． 本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系： 当时，方程有两个不相等的两个实数根； 当时，方程有两个相等的两个实数根； 当时，方程无实数根． 8.【答案】  【解析】解：， ， 和均小于， 众数为，不会发生改变； 由题意知，将报名项目个数按大小顺序排列后，第、位均是， 中位数为，不会发生改变 故选：． 求出，根据中位数和众数的定义求出中位数和众数，即可得解． 本题考查中位数和众数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 9.【答案】  【解析】解：、两地相距千米， 设小时相遇，则有：， 小时， 两车行驶小时后相遇， 故A说法错误，符合题意； 甲车的平均速度千米小时， 故B说法正确，不符合题意； 乙车的平均速度千米小时， 小时， 乙车行驶小时后到达地， 故C说法正确，不符合题意； 乙车到达站后，还要行驶千米到达终点， 故D正确，不符合题意． 故选：． 利用图象信息以及速度，时间，路程之间的关系一一判断即可． 本题考查了一次函数的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意结合图象说出其图象表示的实际意义，这样便于理解题意及正确的解题． 10.【答案】  【解析】解：如图，连接，，与交于点， 由题意得：，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 当，即时，最小， 此时，的最小值为． 故选：． 连接，，根据可得当，最小，据此即可求解． 本题考查了菱形以及平行四边形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 11.【答案】  【解析】【分析】 根据勾股定理求出即可．本题考查了勾股定理的应用，能熟记勾股定理的内容是解此题的关键． 【解答】 解：由勾股定理得：， 故答案为． 12.【答案】，  【解析】解：移项，得， 提公因式得，， 或， ，． 故答案为：，． 先移项，再提公因式，使每一个因式为，从而得出答案． 本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 13.【答案】  【解析】解：、分别为、的中点，， ， ， 点距离地面的高度为． 故答案为：． 根据三角形中位线定理即可解决问题． 题考查三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半． 14.【答案】  【解析】解：依题意，得， 即． 故答案为：． 根据排球邀请赛的总场数，即可得出关于的一元二次方程，将其变形为一般式即可得出结论． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及一元二次方程的一般式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15.【答案】小亮  【解析】解：从图中看出小亮的成绩波动较小，则小亮的成绩稳定． 故答案为：小亮． 通过折线统计图获取信息成绩波动的大小从而表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 本题考查了折线统计图，通过折线统计图获取信息是关键． 16.【答案】  【解析】解：如图， 由题意可知：、、三点共线，， 个矩形相同， ， ， ， ， ， 每个矩形的周长为， ， ， 四边形是菱形， ， 菱形的周长为， 故答案为：． 先证明，得，进而求出，再利用勾股定理求出，则可求解． 本题考查了矩形的性质，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：如图， ， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ，，，， 点的坐标以每秒为一个周期依次循环， ， 第时，点的对应点的坐标与相同，为， 故答案为：． 根据旋转的性质分别求出第、、、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 本题主要考查坐标规律探索，找出一般规律是解题的关键． 18.【答案】  【解析】解：点向左平移个单位长度，得到点， 点的坐标为：， 点在直线上， ， 解得：， ，， 一次函数的图象与线段有公共点， 将点代入中得：， 将点代入中得：， ． 故选：． 根据题意将点表示出，再代入中即可求出和点的坐标，再利用一次函数图象及性质即可得到本题答案． 本题考查一次函数图象及性质，点坐标平移，一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的性质是关键． 19.【答案】见解析；   见解析，，．  【解析】解：根据题意，即为所求图形， ； 解：根据题意，即为所求图形，，， ． 本题考查了画中心对称图形，画旋转图形，写出点的坐标． 根据中心对称的性质作图即可； 根据旋转的性质作图，即可得出答案． 本题考查了画中心对称图形，画旋转图形，写出点的坐标，掌握在坐标轴中图形的转换是解题的关键． 20.【答案】米；   ．  【解析】解：在中，由勾股定理得，米， 米， 米； 如图， 米， 在中，由勾股定理得，米， 他应该再放出米线， 故答案为：． 根据勾股定理求出的长即可推出结果； 根据勾股定理求出的长即可推出结果． 本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 21.【答案】证明：， 在实数范围内，无论取何值，，即， 关于的方程恒有两个不相等的实数根； 解：根据题意，得 ， 解得，； 解：方程的另一根为：； 当该直角三角形的两直角边是、时，由勾股定理得斜边的长度为：； 该直角三角形的周长为； 当该直角三角形的直角边和斜边分别是、时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为； 则该直角三角形的周长为．  【解析】根据关于的方程的根的判别式的符号来证明结论； 根据一元二次方程的解的定义，将代入方程，即可求得的值； 先由根与系数的关系求得方程的另一根为，再分类讨论：当该直角三角形的两直角边是、时，由勾股定理得斜边的长度为：；当该直角三角形的直角边和斜边分别是、时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；再根据三角形的周长公式进行计算． 本题综合考查了勾股定理、根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程解的定义．解答时，采用了“分类讨论”的数学思想． 22.【答案】解：小明的作法正确，理由如下： 由作法得垂直平分， ，，， ， ， ， ， ， 四边形为菱形．  【解析】先利用基本作图得垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，，，再根据平行线的性质得到，进而得到，得到，所以，然后根据菱形的判定方法可判断四边形为菱形． 本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的判定． 23.【答案】，，； 款智能玩具飞机运行性能更好，理由如下： 虽然两款智能玩具飞机运行最长时间的平均数相同，但款智能玩具飞机运行最长时间的中位数和众数均高于款智能玩具飞机，所以款智能玩具飞机运行性能更好；答案不唯一； 架， 答：估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有架．  【解析】解：款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间中，出现的次数最多，故众数， 把款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间从小到大排列，排在中间的两个数是和，故中位数， ，即． 故答案为：，，； 款智能玩具飞机运行性能更好，理由如下： 虽然两款智能玩具飞机运行最长时间的平均数相同，但款智能玩具飞机运行最长时间的中位数和众数均高于款智能玩具飞机，所以款智能玩具飞机运行性能更好；答案不唯一； 架， 答：估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有架． 根据众数的定义可得的值，根据中位数的定义可得的值，用“”减去其他两组所占百分百可得的值； 可比较中位数，众数与方差得出结论； 利用样本估计总体可求解． 本题考查扇形统计图，频数分布表，中位数，众数，方差以及用样本估计总体，解题关键是从统计图表中获取有用信息是解题的关键． 24.【答案】解：设， 当时，， ， 解得， ，即； 设， 由表格可得：， 解得：， ； 令得， 未注水时乙容器原有水的高度为厘米； 当时，， 解得：， 此时，即， 甲、乙两个容器的平衡高度为厘米； 当甲容器的水完全注入乙容器时，乙容器不能注满，理由如下： 在中，令得， 在中，令得， 乙容器高为厘米，， 当甲容器的水完全注入乙容器时，乙容器不能注满； 厘米， 当甲容器的水完全注入乙容器时，乙容器刚好注满，则乙容器原有水的高度应为厘米．  【解析】根据题意用待定系数法可得，；在中令得，知未注水时乙容器原有水的高度为厘米； 当时，求出，此时，故甲、乙两个容器的平衡高度为厘米； 在中，令得，在中，令得，可知当甲容器的水完全注入乙容器时，乙容器不能注满；由厘米，知当甲容器的水完全注入乙容器时，乙容器刚好注满，则乙容器原有水的高度应为厘米． 本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 25.【答案】解：如图， 四边形是矩形， ， 将边绕点逆时针旋转得到线段， ，，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； 如图，作于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图，当点在上时，连接， ，，， ≌， ， 设，则， 根据旋转的性质得：， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：； 如图，当点在的延长线上时， 同理，， 设，则，， ， 解得：， 综上所述，或．  【解析】根据矩形的性质和旋转的性质可得，，即可； 作于，可得，从而得到，再根据勾股定理可得，即可； 分两种情况讨论：当点在上时；当点在的延长线上时，根据三角形全等可得，然后根据勾股定理列出方程即可求解． 本题考查了矩形、正方形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是分类讨论． 26.【答案】；  ；  ．  【解析】解：， 将代入， 得，， 故答案为：； 由题意，当时，，当时，， 时，； 又当时，，当时，， 时，； 综上，当输出的的值满足时，或； ，， 将、，、代入， 得，， 解得：，， ， ，图象如图所示， ， 恒成立， 当时，单调递减，恒成立； 当，时，恒成立，即， 解得：， 综上，当时，恒成立． 因为，所以将代入，可解得此时输出的的值； 观察表格可得； 先求出时，与的函数，画出图象，分析的取值范围． 本题考查了函数值、函数的概念、函数自变量的取值范围，关键是在平面直角坐标系中画出两个与的函数，辅助分析的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$